2025版高中数学课时作业12用样本的数字特征估计总体的数字特征新人教A版必修3

PAGE1-[课时作业12]用样本的数字特征估计总体的数字特征[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成果的平均数、众数、中位数分别为()A．85,85,85B．87,85,86C．87,85,85D．87,85,90解析：平均数为：eq\f(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75,10)＝87(分)，众数为85，中位数为85.答案：C2．样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本的方差为()A．－1B．0C．1D．2解析：由题意得eq\f(a＋0＋1＋2＋3,5)＝1，所以a＝－1.所以样本的方差s2＝eq\f(－1－12＋0－12＋1－12＋2－12＋3－12,5)＝2.答案：D3．已知一组数据按从小到大的依次排列为－8，－1,4，x,10,13，且这组数的中位数是7，那么这组数据的众数是()A．7B．6C．4D．10解析：由题意，得eq\f(1,2)(x＋4)＝7，解得x＝10，所以这组数据的众数是10.答案：D4．假如数据x1，x2，…，xn的平均数是eq\o(x,\s\up6(－))，方差是s2，则3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的平均数和方差分别是()A.eq\o(x,\s\up6(－))和s2B．3eq\o(x,\s\up6(－))和9s2C．3eq\o(x,\s\up6(－))＋2和9s2D．3eq\o(x,\s\up6(－))＋2和12s2＋4解析：3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的平均数是3eq\o(x,\s\up6(－))＋2，由于数据x1，x2，…，xn的方差为s2，所以3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的方差为9s2.答案：C5．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发觉有2名同学的分数登错了，甲实得80分，却记了50分，乙得70分却记了100分，更正后平均分和方差分别是()A．70,75B．70,50C．75,1.04D．65,2.35解析：因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，设更正后的方差为s2，则由题意可得：s2＝eq\f(1,48)[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x48－70)2]，而更正前有：75＝eq\f(1,48)[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x48－70)2]，化简整理得s2＝50.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．某校从参与高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成果(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…[90,100]后画出如下频率分布直方图．估计这次考试的平均分为________．解析：利用组中值估算抽样学生的平均分．45·f1＋55·f2＋65·f3＋75·f4＋85·f5＋95·f6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71，平均分是71分．答案：71分7.如图是某市歌手大奖赛七位评委为某位选手打分的茎叶图，若去掉一个最高分和一个最低分，则剩余分数的方差为________．解析：由茎叶图知去掉一个最高分和一个最低分以后，该选手的得分是84,84,84,86,87，∴该选手的平均分是eq\f(84＋84＋84＋86＋87,5)＝85，∴该选手的成果的方差是eq\f(1,5)(1＋1＋1＋1＋4)＝eq\f(8,5).答案：eq\f(8,5)8．在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：甲273830373531乙332938342836选________(填甲或乙)参与某项重大竞赛更合适．解析：eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,6)(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,6)(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2]＝eq\f(47,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[02＋(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝eq\f(38,3).∵eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，∴甲、乙二人的成果相当，但乙的成果比甲稳定，∴应选乙参与竞赛更合适．答案：乙三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图是甲、乙两人在一次射击竞赛中中靶的状况(击中靶中心的圆面为10环，靶中各数字表示该数字所在圆环被击中所得的环数)，每人射击了6次．(1)请用列表法将甲、乙两人的射击成果统计出来．(2)请你用学过的统计学问，对甲、乙两人这次的射击状况进行比较．解析：(1)列表如下：环数678910甲命中次数222乙命中次数132(2)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝9环，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝9环，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(2,3)，seq\o\al(2,乙)＝1.因为eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，所以甲与乙的平均成果相同，但甲发挥比乙稳定．10．为了了解高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2:4:17:15:9:3，其次小组的频数为12.(1)其次小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？(3)在这次测试中，估计学生跳绳次数的众数、中位数和平均数．解析：(1)∵各小长方形面积之比为2:4:17:15:9:3，∴其次小组的频率是eq\f(4,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0.08.∵其次小组的频数为12，∴样本容量是eq\f(12,0.08)＝150.(2)易知，第一小组的频率是eq\f(2,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0.04，∴次数在110以上(含110次)的频率为1－0.04－0.08＝0.88，∴估计该学校全体高一学生的达标率是88%.(3)依据频率分布直方图得，众数是eq\f(110＋120,2)＝115.易知第三、四小组的频率分别为0.34,0.30.0．04＋0.08＋0.34＝0.46<0.5，0．04＋0.08＋0.34＋0.30＝0.76>0.5.∴中位数在第四小组，且中位数为120＋eq\f(0.5－0.46,0.3)×10≈121.易知第五、六小组的频率分别为0.18,0.06，∴平均数eq\o(x,\s\up6(－))＝95×0.04＋105×0.08＋115×0.34＋125×0.30＋135×0.18＋145×0.06＝121.8.[实力提升](20分钟，40分)11.如图是甲、乙两位学生在高一至高二的七次重大考试中，数学学科的考试成果(单位：分)的茎叶图，若8，x,6的平均数是x，乙的众数是81，设甲7次数学成果的中位数是a，则eq\f(a,y)的值为()A.eq\f(85,6)B.eq\f(87,6)C．85D．87解析：若8，x,6的平均数是x，乙的众数是81，则x＝7，y＝1，所以甲的数据是：78,79,80,85,87,92,96，所以甲的中位数a＝85，所以eq\f(a,y)的值为85.答案：C12．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2＋y2＝________.解析：由平均数为10，得(x＋y＋10＋11＋9)×eq\f(1,5)＝10，则x＋y＝20；又由于方差为2，则[(x－10)2＋(y－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]×eq\f(1,5)＝2，整理得x2＋y2－20(x＋y)＝－192.则x2＋y2＝20(x＋y)－192＝20×20－192＝208.答案：20813．对某校高三年级学生参与社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参与社区服务的次数，依据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如图所示．分组频数频率[10,15)100.25[15,20)24n[20,25)mp[25,30]20.05合计M1(1)求出表中M，p及图中a的值．(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参与社区服务的次数在区间[10,15)内的人数．解析：(1)由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25，知eq\f(10,M)＝0.25，所以M＝40.因为频数之和为40，所以10＋24＋m＋2＝40，m＝4，p＝eq\f(m,M)＝eq\f(4,40)＝0.10.因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以a＝eq\f(24,40×5)＝0.12.(2)因为该校高三学生有240人，分组在[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参与社区服务的次数在此区间内的人数为60.14．某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图所示．(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？解析：(1)由直方图的性质，可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1，解得x＝0.0075，所以直方图中x的值是0.0075.(2)月平均用电量的众数是eq\f(220＋240,2)＝230.因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a，由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0