江苏省南通市如皋市2025届高三第一次适应性考试（1.5模）数学试题（解析版）

第第页2025南通（如皋）1.5模一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由对数函数的单调性可得集合，再由集合间的包含关系可得.【详解】，因为，所以，所以，即实数的取值范围为.故选：C2.若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出准线方程，进而可求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得结果.【详解】抛物线的准线方程为，圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为，所以，截圆所得的弦长为，故选：A.3.在公差不为的等差数列中，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依题意可得，再由乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】，，，显然，，当且仅当，即，时取等号.故选：D．4.若非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】运用投影向量的公式，结合数量积运算即可.【详解】在上投影向量，，，则，由于，，故选：B．5.在复平面内，复数（i为虚数单位）与点对应，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的几何意义得到方程组，然后相加，结合同角三角函数关系式和两角差的余弦公式计算即可.【详解】，，，，故选：C．6.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件，利用多项式的运算及组合，得，即可求解.【详解】由题知，故选：D．7.已知一几何体上半部分为圆台，下半部分为圆锥，其中圆锥底面的半径为，高为．圆台的两底面的半径分别为和，高为．该几何体内接于表面积为的球，则圆台的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】组合体的存在外接球，作出图形，由图形去列出关系式，从而求出半径和高，然后求体积．【详解】外接球半径，则．，设外接球球心，在即在即则，，故选：D．8.已知椭圆，称点和直线是椭圆的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系当在圆外时，其极线是椭圆从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）结合阅读材料回答下面的问题：已知是直线上的一个动点，过点向椭圆引两条切线，切点分别为，直线恒过定点，当时，直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据极点极线的定义，写出极点坐标和极线方程，再利用切点弦和弦中点斜率乘积为定值，得直线的方程.【详解】设,则的直线方程为，，整理得,由解得，，定点，则为中点，，即．故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某市对高三年级学生进行体育测试，其中甲班的成绩与乙班的成绩均服从正态分布，且，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据条件，利用正态分布的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解.【详解】因为，所以，，所以选项A正确，选项B错误，对于选项C，因为，所以选项C正确对于选项D，易知，所以选项D错，故选：AC．10.把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.在上单调递增D.若在区间上存在极大值点和极小值点，则实数的取值范围为【答案】ABD【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数，由已知求出即得解析式，再利用正弦函数的图象性质逐项判断.【详解】，由关于原点对称，得，，而，则，，对于A，的最小正周期，A正确；对于BC，由，得，直线是的图象一条对称轴，B正确，C错误；对于D，由，得，而在上有极大值点又有极小值点，则，解得，D正确故选：ABD11.已知正项等比数列的公比为，前项的积为，当且仅当时，取得最大值，则下列说法正确的是（）A.B.数列为等比数列C.使数列的前项的积取最大值时，最大正整数的值为198D.若数列的前项的积大于1成立最大正整数的值为396，则的最大正整数的值为198【答案】ABD【解析】【分析】根据等比数列结合前n项的积分别判断A，B，再根据通项与1的大小关系计算前n项的积的最大值判断C，D.【详解】正项等比数列，当且仅当时，取最大值，则且时，时，，是等比数列，A，B正确；的前197项都大于1，第198项开始可能小于1，第199项后一定小于1前197项积最大，C错误；的前项积成立的最大正整数为396，即，即，，时，时，的最大正整数为198，D正确；故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.一组从小到大排列的数据：，若删去前后它们的百分位数相同，则______．【答案】【解析】【分析】根据百分位数计算规则得到第百分位数，从而得到方程，解得即可.【详解】原来有10个数据，，原来第百分位数为，删去后有9个数据，，则第百分位数，依题意可得，解得．故答案为：13.从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，则这3项能构成等比数列的概率为______．【答案】【解析】【分析】根据等比数列的性质，可知任取3项能构成等比数列共有12种取法，根据计数原理，前8项中任取三项，共有种取法，结合古典概型可得答案.【详解】从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，共有种取法，其中能构成等比数列的有，，，，，，，，，，，，共12种取法，假设任取三项并能构成等比数列为事件A，所以．故答案为：.14.已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则______．【答案】3【解析】【分析】先根据是偶函数得出的一个等式关系，再对其求导得到的一个等式关系，然后结合推出的周期，最后根据周期求出的值.【详解】因为是定义域为的偶函数，所以，即.两边求导，可得：，可得.因为，所以的图象关于直线对称，则.用代替可得.将代入中，可得①.用代替可得②.由②-①可得：.所以是周期为的周期函数.所以.在中，令，可得.又因为的图象关于直线对称，所以.在中，令，可得，解得，所以，即.故答案为：3.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.近年来，盲盒经济在消费市场中掀起了一阵热潮，成为一种普遍的经济现象．商家通过不断变换花样吸引消费者．某商店推出一款售价为1元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲盒，会开出3款不同颜色（分别记为红色、黄色、蓝色）的某一商品，开出红色、黄色、蓝色商品的概率分别为．（1）若某顾客一次性购买了3个盲盒，求该顾客恰好开出两个红色商品的概率；（2）若某顾客只想要红色商品，与老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出红色商品则停止，否则再开一个盲盒，若连续4次均未开出红色商品，老板就赠送一个红色商品给他为了得到红色商品，求该顾客的平均花费．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由二项分布求解概率；（2）记该顾客打开盲盒的次数为，的所有可能取值为，求出分布列，找出均值，即可求出平均消费.【小问1详解】记“该顾客恰好开出两个红色商品”为事件，．【小问2详解】为了得到红色商品，记该顾客打开盲盒次数为，的所有可能取值为．，，的分布列如下：1234则该顾客的平均花费为元．16.在四棱锥中，底面是等腰梯形，，面底面．（1）证明：；（2）求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质可得平面再利用线面垂直的性质可得结论.（2）以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量以及平面的一个法向量，利用空间向量夹角公式求解即可.【小问1详解】平面底面，平面平面平面平面又因为平面.【小问2详解】因为底面是等腰梯形，，，，，由（1）平面以为原点，以分别为轴，建立如图所示的坐标系．，设平面的一个法向量，，令可得，而平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为．17.已知的三边所对的角分别为．（1）求证：；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）可以采用正弦定理边角互化，再用余弦定理得到，最后结合和角公式和同角三角函数关系式计算即可;（2）有了，两角之间正切关系，直接将用和表示，转变成关于的函数，借助函数单调性求范围即可．【小问1详解】由正弦定理得，．【小问2详解】，令,由于在上单调递增，则原函数也是在上单调递增.，即的取值范围为．18.若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线．（1）当时，求函数与在公共点处的切线方程；（2）求的最小值；（3）求证：当时，．【答案】（1）（2）1（3）证明见解析【解析】【分析】（1）设为与一个公共点，再根据斜率相等和切点在函数图像上列出等式，即可求得结果.（2）设为与的一个公共点，再根据斜率相等和切点在函数图像上列出等式，得到，再构造函数利用函数的单调性与最大值即可求得结果.（3）证：时，，即证：对恒成立，再通过构造函数利用函数的单调性即可证明.【小问1详解】当时，，设为与的一个公共点，，切点与在公共点处的切线方程为．【小问2详解】设为与的一个公共点，，由，代入①，，令当时，在区间单调递增；当时，在单调递减，当时，，，当且仅当时取“”，．【小问3详解】由（2）知，证：时，，即证：对恒成立令，当时，在上单调递减；当时，在单调递增,当时，，故函数在时取最小值，，证毕！19.双曲线，射线和射线分别与交于点和点．（1）求双曲线的离心率；（2）作射线（异于与分别交于点，记的面积为．①求证：；②若，且，记，证明：．【答案】（1）（2）①证明见解析；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得，再利用，从而可求解；（2）①中将直线与双曲线方程分别联立求出，，从而求出，同理求出，从而可证；②中由（1）可得当时，且，则可得直线方程为：，再由到到的距离，从而求出，令，再利用导数求出，从而得，又因为而时，，从而可证.【小问1详解】双曲线，双曲线离心率.【小问2详解】①证明：由题意将与双曲线联立，，化简得，，，同理将与双曲线联立，，同理可得，同理，，．从而可证．②由（1）可知，当时，且，直线方程为：，且，则到的距离，，令，则，令，解得，当时，单调递增；当时，单调递增，，，又因为时，，．从而可证．【点睛】方法点睛：第二问的第一小问可分别将两条射线，和双