自动控制 第八章 非线性控制系统分析第一讲学习资料

第八章非线性控制系统分析1研究非线性控制理论的意义8-1非线性控制系统概述以上各章讨论了线性定常控制系统的分析和设计问题。但实际上，理想的线性系统并不存在，因为组成控制系统的各元件的动静态特性都存在不同程度的非线性。如饱和、死区、间隙等特性。因此，实际系统中普遍存在非线性因素。

这些非线性因素的存在，使得我们用线性系统理论进行分析时所得出的结论，与实际系统的控制效果不一致。线性系统理论无法解释非线性因素所产生的影响。除上述实际系统中的部件存在不可避免的非线性因素外，有时为了改善系统的性能或者简化系统的结构，人们还常常在系统中引入非线性部件或者更复杂的非线性控制器。非线性特性的存在，并不总是对系统产生不良影响。当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时，该系统称为非线性系统。一般地，非线性系统的数学模型可以表示为（1）当非线性程度不严重时，可将非线性环节视为线性环节；（2）当系统方程解析且工作在某一数值附近的较小范围内时，可运用小偏差法将非线性模型线性化。

例如液位系统的动态方程

运用小偏差法将非线性方程线性化为小偏差线性方程：（3）当非线性程度比较严重，且系统工作范围较大的非线性系统采用非线性系统的分析和设计方法。值得注意的是，非线性特性千差万别，对于非线性系统，目前还没有统一的普适的处理方法。线性系统是非线性系统的特例，线性系统的分析和设计方法在非线性控制系统中仍发挥着非常重要的作用。（1）对于线性系统，描述其运动状态的数学模型是线性微分方程，其根本标志在于能使用叠加原理。而非线性系统，其数学模型为非线性微分方程，不能使用叠加原理。由于两种系统特性上的这种差别，所以它们的运动规律是很不相同的。

目前，还没有像求解线性微分方程那样求解非线性微分方程的通用方法。而对非线性系统，一般并不需要求解其输出响应过程。通常是把讨论问题的重点放在系统是否稳定，系统是否产生自激振荡等有关稳定性的分析上。2非线性系统的特征（与线性系统的区别）（2）稳定性分析复杂。在线性系统中，稳定性只与其结构和参数有关，对常系数线性系统，只取决于特征方程根的分布，而与初始条件和外加作用没有关系；对于非线性系统，不存在系统是否稳定的笼统概念，必须具体讨论某一运动的稳定性问题。非线性系统运动的稳定性，除与系统结构及参数有关外，还和初始条件有密切的关系。在不同的初始条件下，运动的最终状态可能完全不同。（3）线性系统只有一个平衡状态，而非线性系统可能存在多个平衡状态。例令得到系统有两个平衡状态：x=1或x=0；为分析这两个状态的稳定性，令初始条件为x0，求解方程：x=1x=0x=1是不稳定的平衡状态：因无论x0是否大于1，如果系统受到小扰动，不能恢复至平衡状态。x=0是稳定的平衡状态：在一定范围（x0<1）下的扰动是稳定的。平衡状态的定义：在无外作用且系统输出的各阶导等于零时，系统处于平衡状态。xtx0>1x0<1因此，非线性系统可能存在多个平衡状态，各平衡状态可能是稳定的也可能是不稳定的。初始条件不同，自由运动的稳定性亦不同。（4）可能存在自激振荡现象。在非线性系统中，除了从平衡状态发散或收敛于平衡状态两种运动形式外，往往即使无外作用存在，系统也可能产生具有一定振幅和频率的稳定的等幅振荡。自激振荡：无外作用时非线性系统内部产生的稳定的等幅振荡。（初始状态不为零）二阶零阻尼线性系统线性系统在没有外作用时，周期运动只发生在零阻尼情况，而这一周期运动是物理上不可能实现的。例如：因此，对线性系统，围绕其平衡状态只有发散和收敛两种运动形式，其中不可能产生稳定的自激振荡。利用拉氏变换法求解方程：-110.52范德波尔方程：非线性阻尼的非线性二阶系统当|x|=1，零阻尼，x(t)运动呈等幅振荡形式。当扰动使|x|<1，负阻尼，系统从外界获得能量，x(t)运动呈发散振荡形式；当扰动使|x|>1，正阻尼，系统消耗能量，x(t)运动呈收敛形式；因此，系统能克服扰动对x的影响，保持幅值为1的等幅振荡。非线性系统的自激振荡x(t)t因此，非线性系统，在没有外作用时，系统能够克服扰动对状态的影响，保持固定振幅和频率的稳定的周期运动，如图所示，这个周期运动在物理上是可以实现的，即自激振荡，简称自振。非线性系统的自激振荡（5）频率响应发生畸变。在线性系统中，输入为正弦函数时，其输出的稳态分量也是同频率的正弦函数，输入和稳态输出之间仅在振幅和相位上有所不同，因此可以用频率响应来描述系统的固有特性。而非线性系统输出比较复杂，其稳态分量在一般情况并不具有与输入相同的函数形式。

非线性系统在正弦信号作用下，其稳态分量除产生同频率振荡外，还可能产生倍频振荡和分频振荡。如图所示波形。输入信号倍频信号分频信号ttt3非线性系统的分析与设计方法描述函数法

受线性系统频率法启发，而发展出的一种分析非线性系统的方法。它是一种谐波线性化的分析方法，是频率法在非线性系统分析中的推广。相平面法

用图解的方法分析一阶，二阶非线性系统的方法。通过绘制控制系统相轨迹，达到分析非线性系统特性的方法。逆系统法运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统，并以此为基础，设计外环控制网络，是非线性系统控制的一个发展方向。8-2常见非线性及其对系统运动的影响1非线性特性的等效增益对于非线性特性，定义非线性环节输出和输入的比值为等效增益变增益因而可将非线性特性视为变增益比例环节。理想继电器

具有死区和滞环的继电器继电特性常使系统产生振荡现象。P296：图8-8（a）具有饱和死区的单值继电器具有滞环的继电器（1）继电特性输入输出（2）死区特性很小时

作为线性特性处理（不灵敏区特性）当输入信号在零位附近变化时，系统没有输出。当输入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关系。各类液压阀的正重叠量；测量变送装置的不灵敏区；调节器和执行机构的死区；弹簧预紧力；等等。较大时

将使系统静态误差增加，

系统低速不平滑性死区或不灵敏区死区特性使系统存在稳态误差，但可减少扰动信号的影响，减小超调。P296：图8-8（b）当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随输入信号变化而保持恒定。输入输出放大器的饱和输出；磁饱和；元件的行程限制;功率限制。（3）饱和特性粗略地看，饱和特性的存在相当于大信号作用时，增益下降。饱和特性的等效增益饱和特性若随动系统的方块图当系统输入端加上一个幅值较大的阶跃信号时，若放大器无饱和限制，系统的时间响应曲线如右图中的曲线1；放大器有饱和限制时的时间响应曲线如右图中的曲线2。阶跃响应会是什么样？合理选择饱和特性线性区增益和饱和电压，可获得较小超调，又能保证较大开环增益，减小稳态误差。P