自动控制原理第二章第一二讲学习资料

2.1傅立叶变换与拉普拉斯变换

2.2控制系统的时域数学模型

第二章控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.3控制系统的复数域数学模型

2.4控制系统的结构图与信号流图

①数学模型：是描述系统特性或状态的数学表达式。它表达了系统输入输出及系统各变量之间的定量关系，是系统内部本质信息的反映，是系统内在客观规律的写照或缩影。(举例:电路模型)几点说明:1.模型是系统内部本质信息的反映，这说明它不是实际过程的重现，并未考虑过程所有因素，而只是抓住主要的本质的因素。2.系统的本质特征与建模的目的密切相关。建模目的不同，系统的输入输出及结构就不同，本质信息也不同，模型自然也不同。3.模型的的精度与所考虑影响系统的因素有关，一般来说考虑的因素越多，模型越精确，当然也越复杂(工程实用性变差)。建模时，需正确处理好模型准确性与实用性(简化性)的矛盾，应紧紧围绕建模的目的做文章。导言②建模的目的：1可以定量分析系统动静态性能，看是否能满足生产工艺要求。2可以用于定量的控制计算，对系统行为进行预测，并加以控制。控制精度与模型精度有关。3利用模型可以进行有关参数的寻优。③建模的方法:1分析法:适用于机理已知的系统，即处理的是“白箱问题”。2实验法(又称系统辨识法):适用于机理未知的系统，处理的是“黑箱”、“灰箱问题”④模型的种类:1经典控制理论：微分方程、差分方程、传递函数、频率特性。2现代控制理论：状态方程、状态空间表达式.本章重点以分析法为基础，介绍微分方程和传递函数的建立。2.1傅里叶变换与拉普拉氏变换1、傅里叶级数周期为Ｔ的任一周期函数ｆ（ｔ），若满足下列Dirichlet条件：１）在一个周期内，如果有间断点，则只有有限个；２）在一个周期内，只有有限个极大值和极小值；３）在一个周期内，信号是绝对可积的，即等于有限值。则ｆ（ｔ）可展开为如下的傅里叶级数：式中系数由下式给出：周期函数f(t)的傅里叶级数还可以写为复数(或指数)形式：式中系数2、周期函数f（t）的对称性周期函数对称性傅氏级数特点anbnf1（t）偶函数f1（t）＝f1（－t）只有余弦项0f2（t）奇函数f2（t）＝－f2（－t）只有正弦项0f3（t）只有偶次谐波f3（t±T/2）＝f3（t）只有偶数nf4（t）只有奇次谐波f4（t±T/2）＝－f4（t）只有奇数n3、傅里叶积分和傅里叶变换对于非周期函数f（t），可将其视为周期T趋于无穷大，角频率趋于零的周期函数。在傅里叶级数展开式中，各相邻的谐波频率之差很小，谐波频率须用一个变量代替。则式（2-4）、（2-5）可改写为：则当时，，求和式变为积分式，上式可写为：式（2－8）是非周期函数f（t）的傅里叶积分形式之一。在式（2－8）中，若令则（2－8）式可写为：式（2－9）和式（2－10）称为傅里叶变换对，称为f（t）的傅里叶变换，记为，而f（t）称为傅立叶反变换，记为。4、拉普拉斯变换（单边傅里叶变换）⑴拉氏变换定义设函数f(t)满足：

①t<0时f(t)=0

②t>0时，f(t)分段连续

F(s)称象函数,

f(t)称原函数。则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作

常用函数的拉氏变换

1、单位脉冲函数2、单位阶跃函数3、指数函数4、正弦函数5、余弦函数6、单位速度函数推广：还有复域位移定理的应用常用函数的拉普拉斯变换(32页)123456789序号原函数f(t)象函数F(s)⑵拉氏变换基本定理线性定理

复域位移定理

时域位移定理

终值定理

初值定理

微分定理

积分定理

拉普拉斯变换的基本定理(31页)⑶

拉氏反变换方法：（１）根据拉氏反变换公式；（２）对简单的象函数，查拉氏变换表；（３）对复杂的象函数，先用部分分式展开法，将其转换成简单函数的和，再查拉氏变换表。

F(s)→f(t)一般地，象函数F(s)可以表示成下列有理真分式的形式：

a. F(s)中具有不同的极点时，可展开为

于是：

b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为

c.F(s)含有多重极点时，可展开为

其余各极点的留数确定方法与上同。2.2控制系统的时域数学模型数学模型的几种表示方式LCR写出左图所示的以ur（t）为输入量，以UC（t）为输出量的网络微分方程。解：设回路电流为i（t），由基尔霍夫定律写出回路方程：消去中间变量i（t），得到其微分方程为：电气元件组成的电路系统１.线性系统的微分方程机电系统：电枢电压控制直流电动机SM负载写出上图所示的以电枢电压为输入量，电动机转速为输出量的微分方程。

其中：图中Ra，La分别是电枢电路的电阻和电感；Mc是折合到电动机轴上的总负载转矩；励磁磁通为常值。

fm为电动机和负载折合到轴上的粘性摩擦系数，Jm为电动机和负载折合到轴上的转动惯量。电动机轴上转矩平衡方程：解：电磁转矩方程：电枢回路电压平衡方程：反电动势：若以角速度为输出量、电枢电压为输入量，消去中间变量，直流电动机的微分方程为整理：电枢回路的电感La较小，可以忽略不计:若电枢回路电阻和电动机的转动惯量都很小，可忽略不计，则上式可进一步简化:弹簧-质量-阻尼器(机械位移系统）m求质量m在外力F(t)的作用下，质量m的位移x(t)的运动。设系统已处于平衡状态，相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为根据牛顿第二定律:即:相似系统（补充）现将RLC无源网络(电气系统)和弹簧-质量-阻尼器机械系统的微分方程列出来：经比较可知，它们都是二阶微分方程，称这两个物理系统为相似系统。任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式，就是相似系统，而在微分方程中占据相同位置的物理量，叫做相似量。相似系统揭示了不同物理现象间的相似关系，我们可以使用一个简单模型去研究与其相似的复杂系统，也为控制系统的计算机数字仿真提供了基础。齿轮系的运动方程（自学）J1J2基本关系式齿轮1和齿轮2的运动方程（1）以齿轮1的角速度为输出，外部为输入（1）（2）（2）以齿轮2的角速度

为输出，外部为输入列写系统微分方程的步骤：（1）确定系统的输入量、输出量（2）由物理或化学规律，列写微分方程；（3）消去中间变量，得到输入、输出之间关系的微分方程（４）将微分方程写成标准形式２线性系统的基本特性用线性微分方程描述的元件或系统，称为线性元件或线性系统。线性系统的重要性质是具有叠加性和齐次性。设有线性微分方程为线性系统的叠加原理表明，两个外作用同时加于系统所产生的总输出，等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和，且外作用的数值增大若干倍时，其输出也相应增大同样的倍数。

因此，对线性系统进行分析和设计时，如果有几个外作用同时加于系统，则可以将它们分别处理，依次求出各个外作用单独加入时系统的输出，然后将它们叠加。此外，每个外作用在数值上可只取单位值，从而大大简化了线性系统的研究工作。３线性定常微分方程的求解当系统微分方程列写出来后，只要给定输入量和初始条件，便可以对微分方程求解，并由此了解系统的输出量随时间变换的特性。线性定常微分方程的求解方法有经典法和拉氏变换法两种，也可以借助电子计算机求解。经典解法：r（t）c(t)求解微分方程求解代数方程C(s)R(s)拉氏变换法：LＰ40例2-12经典解法：优点：是时域解，有很明显的物理意义。缺点:(1)要根据初始条件确定积分常数，当方程的阶次很高时，解联立方程组非常麻烦；（2）如果系统中某参数或结构形式改变，则要重新列方程求解，不利于分析系统参数对性能的影响。拉氏变换法：优点：（1）将复杂的微分方程求解转化为简单的代数方程求解。（2）求得的解是完整的，初始条件已包含在拉氏变换中，不必另行确定积分常数。（3）如果所有的初始条件为零，则微分方程的拉氏变换可以简单地通过用s取代d/dt，用取代等来得到。1）考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量ｓ的代数方程；2）由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；3）对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。用拉氏变换求解线性常系数微分方程的步骤：４非线性微分方程的线性化（选讲）

严格来说，所有的系统都有不同程度的非线性，而我们所得到的那些“线性”微分方程，都是在做了一系列假设以后建立起来的。

我们之所以能得到一些简单的线性微分方程，正是由于忽略掉了一些次要的非线性因素。所以，除了参数基本上接近常数的系统外，前面得到的线性模型是相当近似的。要想精确地描述系统特性，或当系统的非线性因素必须考虑时，列写出来的系统方程都应该是非线性的。

因此，在研究控制系统动态过程时，就会遇到求解非线性微分方程的问题。然而对于高阶非线性微分方程来说，在数学上不可能求得一般形式的解。那么，在理论上研究工作将如何来处理这类问题呢？

正确的方法是：应用小偏差线性化（或称切线法）概念对那些符合条件的非线性方程进行线性化处理，从而得到一个线性模型来代替非线性模型。并采用线性理论来分析设计系统的性能。小偏差线性化的概念自动控制系统通常都工作在一个正常的工作状态，这个工作状态称为工作点。由于正常的控制过程总是连续不断地进行着，所以变换的变化范围（即偏离工作点的差值）一般都满足微量的要求。对于某些非线性系统，假若我们研究的是系统在某一工作点附近的性能，比如正常时工作在Ａ点，在控制过程中，调节的范围属于工作点Ａ附近的小范围内，我们就可以把Ａ点邻域内的特性用该点处的切线来代替。这样系统的特性在这个区域上就可以表示为线性的了。而精确度要比忽略非线性因素的简化性处理所得到的线性方程精确得多。这就是“小偏差理论”。2.3控制系统的复数域数学模型

有时候，在建立了时域的数学模型后，一般并不需要求出方程的解来，而直接可以用图解法预测系统的性能。还可以根据拉氏变换的一些性质，在复数域直接研究解的特征、解的初值和终值等重要数据，满足工程分析的需要。

在拉氏变换法求解线性常系数微分方程中引申出来了一种复数域的数学模型——传递函数。它不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响，是经典控制理论最重要的数学模型。定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数，用G(s)表示。二、传递函数的定义与性质设线性定常系统由n阶线性定常微分方程描述：式中，c(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，ai和bj是与系统结构和参数有关的常系数。设r(t)和c(t)及其各阶导数在t=0时的值均为零，即在零初始条件下，对上式两边取拉氏变换：分母中s的最高次幂n即为系统的阶次。得到系统传递函数为：在零初始条件下，对上述方程中各项求拉氏变换，可得s的代数方程为：由传递函数定义，网络传递函数为：P45例2-15试求例2-8RLC无源网络的传递函数。解：RLC网络的微分方程可表示为：速度控制系统(40页)uiR1负载SMTGk1k2功放u2u1uaωutcR2R1R1R+传递函数的性质：

1、传递函数是一种数学模型，与系统的微分方程相对应。

2、传递函数是系统本身的一种属性，与输入量的大小和性质无关。3、传递函数只适用于线性定常系统。

4、传递函数描述的是一对确定的变量之间的传递关系，即一个输入与一个输出之间的传递关系，称为单变量系统描述。

5、传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。

6、传递函数一般为复变量s的有理分式，它的分母多项式的阶次总是大于或等于分子多项式的阶次。且所有的系数均为实数。这是因为在物理上可实现的系统中，总是存在惯性，且能源又是有限的，故总有n≥m。

7、传递函数与单位脉冲响应一一对应，是拉氏变换与反变换的关系。三、传递函数的微观结构

线性定常系统的传递函数都是复变量s的有理分式，其分子多项式和分母多项式经分解后可写成各种形式。1、零极点表达式：

当给定一个传递函数时，它对应的零点、极点和根轨迹增益都被唯一地确定了，反之给定了所有的零极点和一个传递系数，那么它的传递函数也就被唯一确定。这样，传递函数G（s）可以转而采用零点、极点和传递系数来等价表示。该表示方法在根轨迹中应用较多。

在复平面上表示传递函数零极点的图形，称传递系数的零极点分布图。图中零点用“○”表示，极点用“×”表示。传递系数的零极点分布图可以更直观形象地反映系统的全面特性。2、时间常数表达式

传递函数的时间常数形式很容易将系统分解成一些典型环节，在以后的频率法分析中使用较多。传递函数的极点就是微分方程的特征根，极点决定了系统自由运动的模态，而且在强迫运动中也会包含这些自由运动的模态。自由运动的模态为四、传递函数极点和零点对输出的影响（不讲）则零初始条件响应：输入函数拉氏变换：传递函数的极点就是微分方程的特征根，极点决定了系统自由运动的模态，而且在强迫运动中也会包含这些自由运动的模态。自由运动的模态为四、传递函数极点和零点对输出的影响则零初始条件响应：输入函数拉氏变换：可见：

前两项具有与输入函数相同的模态后两项由极点决定的自由运动模态，其系数与输入函数有关输入函数输出函数输入信号，响应分别为

各个模态在两个系统输出响应中所占的比重不同，它取决于极点之间的距离和极点与零点之间的距离，以及零点与原点之间的距离。传递函数的零点影响各模态在响应中所占的比重，例如：电位器：一种将线位移或角位移变换为电压量的装置。由一对电位器组构成的误差检测器，空载时的传递函数五、典型元部件的传递函数单个线绕式圆环电位器（角位移型），空载时的传递函数使用电位器时要注意负载效应！负载效应：电位器输出端接有负载时对输出产生的影响。当负载不能忽略时，必须考虑负载效应。考虑具有负载效应时的电位器输入输出关系E例如则有不再具有线形关系,若负载电阻很大,测速发电机：测量角速度并转换为电压量的装置，一般有直流和交流两种。（１）永磁式直流测速发电机：TG或零初始条件下，拉氏变换得传递函数：或TG（２）交流测速发电机

在定子上有两个互相垂直放置的线圈激磁线圈：输入一定频率的正弦额定电压。输出线圈：产生与角速度成比例的交流电压u(t)，频率与激磁正弦电压频率相同。传递函数与直流测速发电机相同：或电枢控制直流伺服电动机：在控制系统广泛用作执行机构，对被控对象的机械运动实现快速控制。几个典型元件的传递函数直流伺服电机减速器直流测速发电机交流测速发电机无源网络

用途：在控制系统中引入无源网络作为校正元件，用复阻抗方法可直接求出