高等数学（第2版）课件：导数与微分

微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度导数与微分英国数学家Newton

一、引例二、导数的定义四、导数的几何意义五、函数的可导性与连续性的关系六、单侧导数第一节导数的概念

三、基本初等函数的导数公式七、导数定义的变形一、引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为

到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为自由落体运动，求时刻的瞬时速度

2.曲线的切线斜率曲线在M点处的切线割线MN的极限位置MT(当时)割线MN的斜率切线MT的斜率

两个问题的共性:瞬时速度切线斜率函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度线密度是速度增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限

二、导数的定义定义1.设函数在点存在,并称此极限值为记作:即则称函数如果的某邻域内有定义,在点处可导,在点（对变量x）的导数.

运动质点的位置函数在时刻的瞬时速度曲线在M点处的切线斜率若上述极限不存在,在点不可导.若也称在就说函数的导数为无穷大.

例1.设函数解:，求（1）（2）（3）

若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意:就称函数在

I内可导.例2.求函数(C

为常数)的导数.解:即

例3.求函数解:说明：对一般幂函数(为常数)导数。在x=a处的

例如，

例4.求函数的导数.解:则即类似可证得

例5.求函数的导数.解:

即或

三、基本初等函数的导数公式

四、导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若切线与x轴平行,称驻点;若切线与x轴垂直.切线方程:法线方程:

例6.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解:令得对应则在点(1,1),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线

五、函数的可导性与连续性的关系定理1.注意:函数在点x连续未必可导.在x=0处连续,但不可导.在点x

处连续例7.证明函数证:不存在,

在点的某个右六、单侧导数若极限则称此极限值为在处的右导数,记作即(左)(左)例如,在x=0处有定义2.设函数领域内有定义,存在,

定理2.函数在点且存在简写为若函数与都存在,则称显然:在闭区间[a,b]上可导在开区间

内可导,在闭区间

上可导.可导的是且充分必要条件

例8.设函数求

解：七、导数定义的变形与极限无关的点两部分相同

例9.

设存在,则例10.已知则

原式是否可按下述方法作:例11.设存在,求极限解:原式

例12.设

解:因为存在,且求所以内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.基本求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;

P524,5,7(1,2),9,11作业

第二节

牛顿Newton(1642–1727)伟大的英国数学家,物理学家,天文学家和自然科学家.他在数学上的卓越贡献是创立了微积分.1665年他提出正流数(微分)术,次年又提出反流数(积分)术，并于1671年完成《流数术与无穷级数》一书(1736年出版).他还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等.

莱布尼兹Leibniz(1646–1716)德国数学家,哲学家.他和牛顿同为微积分的创始人,他在《学艺》杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿.他还设计了作乘法的计算机，系统地阐述二进制计数法，并把它与中国的八卦联系起来.

第二节二、反函数的求导法则三、复合函数求导法则四、初等函数的求导问题一、四则运算求导法则

函数的求导法则

五、分段函数的求导问题

思路:(构造性定义)求导法则其它基本初等函数求导公式证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题本节内容

一、四则运算求导法则

定理1.的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x可导,且对上述结论，还有一些相应的推论.数

此法则可推广到任意有限项的情形.(2)推论:(C为常数)(3)

例1.，求

解：例2.，求解：，求及例3.例4.，求

解：解：二、反函数的求导法则

定理2.y的某邻域内单调可导,例5.求反三角函数及指数函数的导数.解:1)设则

在点x可导,三、复合函数求导法则定理3.在点可导复合函数且在点x可导,例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.v

例6.(1)，求(2)，求解:解:关键：函数的最后一道运算

例7.，求例8.解:

解:例9.，求例10.，求

解:解:例11．

，求

解:例12．

，求解:四、初等函数的求导问题1.基本初等函数的导数

2.函数和差积商的求导法则(C为常数)3.复合函数求导法则4.初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数

例13.求解:例14.设解:求

求解:

方法1利用导数定义.方法2利用求导公式.

例15.其中在因故正确解法:下列做法是否正确?求.处连续,

例16.五、分段函数的求导问题分段函数在分段点处的导数按导数定义计算，

而其它点处的导数按求导公式、求导法则计算。例17.设求当时，解:当时，内容小结求导公式及求导法则注意:1)2)搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.关键：函数的最后一道运算

作业P601(单数);4(双数);6第四节

第三节一、高阶导数的概念高阶导数

二、高阶导数的求法

一、高阶导数的概念速度即加速度即引例：变速直线运动

定义.若函数的导数可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n阶导数,或的二阶导数,记作的导数为依次类推,分别记作则称

例1.，求，其中均二阶可导，求例2.二、高阶导数的求法

解：设求解:依次类推,例3.思考:设问可得

例4.设求解:特别有:解:规定0!=1思考:例5.设求

例6.设求解:一般地,类似可证:

例7.试从

导出解：同样可求

作业P631(7,8,10),3,5(3,4,5);第五节

第四节一、隐函数的求导方法二、幂指函数及乘积型复杂函数的求导方法隐函数的导数和参数方程所确定函数的导数

三、由参数方程确定的函数的导数

一、隐函数的求导方法若由方程可确定y是x

的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x

的函数,但此隐函数不能显化.则称该函数为隐函数.隐函数求导方法:对x求导数，在隐函数方程两边凡是y的因子，则先对y求导，再乘以，最终解出

例1.求由方程在x=0

处的导数解:方程两边对x求导得因x=0时y=0,故确定的隐函数

例2.求椭圆在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x求导故切线方程为即

例3.设由方程确定,解:方程两边对x求导,得再求导,得②当时,故由①得再代入②得求①

解:解得例4.设方程两边对求导，得例5.求的导数.解:两边取对数,化为隐式两边对x求导二、幂指函数及乘积型复杂函数的求导方法等式两边先取对数，然后再求导数的方法

例6.对x求导两边取对数

例7.两边取对数两边对x求导

三、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个y与x之间的函数可导,且则时,有关系,

若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得

解:例8.，求设及

?例9.设,且求已知解:注意:

作业P671(2，4);2;4(2);

5(2,4);7;9(1，3)第六节

二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用第五节一、微分的概念函数的微分

一、微分的概念

引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x

,面积为A,则面积的增量为关于△x

的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分当x

在取得增量时,变到响，其边长由

的微分,定义:若函数在点的增量可表示为(A为不依赖于△x

的常数)则称函数而称为记作即1.微分的定义在点可微,

2.可微与可导的关系定理:函数在点可微的充要条件是即

可微可导，且定理的结论可简单表示为说明:按可微的定义所以时很小时,有近似公式与的差是比Δx高价无穷小,故当微分计算公式：自变量的微分,记作

例1.解:设例2.已知求解：因为所以

3.微分的几何意义当很小时,这是利用微分作近似计算的基础从而导数也叫作微商曲线上纵坐标的增量切线上纵坐标的增量

例如,基本初等函数的微分公式又如,利用微商作参数方程一阶、二阶导数公式的推导。

二、微分运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C

为常数)分别可微,的微分为微分形式不变5.复合函数的微分则复合函数

例3.求解:

例4.解:设

例5.解:设例6.设求解:利用一阶微分形式不变性,有

例7.在下列括号中填入适当的函数使等式说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.成立:

三、微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则:得近似等式:

特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得

的近似值.解:设取则例8.求

的近似值.解:例9.计算

思考与练习1.设函数的图形如下,试在图中标出的点处的及并说明其正负.

作业P742;3(2,4,6,7);4;7(1);习题课

一、边际分析二、弹性分析第六节导数概念在经济学中的应用

一、边际分析定义1.

设函数在区间Ｉ上可导，为函数则称其导函数的边际函数．

１．边际函数２．边际成本

解:

它表示当产量为50件时，再多生产一件，总成本增加30元．

２．边际收益与边际利润

解:

其经济意义为：当产量为40个单位时，再多生产一个单位产品，总收益增加4个单位；当产量为60个单位时，再多生产一个单位产品，反而使总收益减少4个单位．二、弹性分析

１．弹性概念

解:2．需求弹性解:习题课导数与微分

一、符号辨析二、导数和微分的概念三、用导数定义求导数的情形四、导数计算中的两个不容忽视的问题五、导数计算计算分段点处的导数六、借助于导函数在分段点处的左右极限

表示函数在点处对变量如，一、符号辨析表示函数对变量的导数；的导数；先代入，后求导。必有表示函数对整体变量的导数；表示函数对变量的导数；先求导，后代入。

按复合函数求导法则，有例1设，求解：，，

二、导数和微分的概念♦导数:当时,为右导数当时,为左导数♦导数定义变形1:♦导数定义变形2:与极限无关的点两部分相同

♦微分:♦关系

:可导可微存在,求例2设♦导数的几何意义

:表示曲线切线的斜率♦微分