高等数学（第2版）课件：定积分在物理上的应用

一、变力沿直线所作的功二、液体的压力定积分在物理上的应用

利用元素法求总量U的步骤：第二步在[a,b]内任取一个典型小区间[x,x+dx]，U的元素（微元）第三步的近似值第一步选取积分变量（如x），确定积分区间（如[a,b]）“以常代变”计算相应于[x,x+dx]上部分量

一、变力沿直线所作的功设物体在连续变力F(x)作用下沿x轴从x＝a移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.在其上所作的功元素为因此变力F(x)在区间上所作的功为

例1.一端固定，的力，解:（1）从100cm长压缩为90cm长求外力各做多少功。压缩另一端，设有一弹簧，原长100cm。今欲将弹簧（2）从70cm长压缩为60cm长由虎克定律，弹性力为（l为压缩量，k为倔强系数）由题目条件：弹性力：如果每压缩1cm需要0.05牛顿

（1）建立如图所示坐标系压缩方向0.10.1取x为积分变量，则积分区间为[0,0.1]任取力：距离：功的元素：（焦耳）如果取弹簧上固定端为坐标原点

又解将坐标原点取在固定端处建立坐标系压缩方向取x为积分变量，则积分区间为任取力：距离：功的元素：（焦耳）注意：随着坐标系建立的不同，微元的形式也不同，但结果是相同的，恰当地建立坐标系

（2）建立如图所示坐标系压缩方向0.3取x为积分变量，则积分区间为[0.3,0.4]任取力：距离：功的元素：（焦耳）两种情况下同样是压缩10cm，0.40.30.4，导致所做的功是7倍的关系但由于力的大小不同

解决变力做功问题的分析方法：选取x为积分变量，确定积分区间（2）在所考虑的区间内任取x位置下的力移动的距离功的微元（1）建立坐标系，，在原题的背景下找出（3）将功的微元作积分

例2.定量的气体,求移动过程中气体压力所作的功。解:由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S的活塞从点a处移动到点b

处(如图),建立坐标系如图.压强p与体积V成反比,即作用在活塞上的力：所求功为在底面积为S

的圆柱形容器中盛有一活塞移动的距离：

例3.（2）要把容器中的水全部吸出需作多少功?解:建立坐标系如图重力一容器是由抛物线y=x2绕其轴旋转一周而成，（1）容器的容积0.4（1）（2）任取，针对一薄层水力：距离：已知容器深为0.4m，求

面积为A的平板二、液体的压力设液体密度为

深为h处的压强:当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决.平板一侧所受的压力为••求压力的关键是：求深度和面积

例4.密度为

的液体,

解:建立坐标系如图.所论半圆的压力元素：方程为一水平横放的半径为R

的圆桶,内盛半桶求桶的一个端面所受的压力.任取，考虑小块受的压力液面下的深度：面积：R0

解决压力问题的分析方法：（x轴正向向下，y轴的确定积分区间（2）在所考虑的区间内任取x位置在液面下的深度小块薄片的面积压力的微元（1）建立坐标系，在原题的背景下找出（3）将压力的微元作积分选取x为积分变量，选取使原点在图形的对称中心），

例5.如例4，当桶内充满液体时,奇函数求桶的一个端面所受的压力.解:建立坐标系如图.圆的方程为任取液面下的深度：面积：RR

例6.一块高为b，底为a的三角形薄片垂直沉没在密度为求薄片一侧所受的压力。解:建立坐标系如图.任取液面下的深度：面积：的液体中，已知顶在下，底与液面平行且相距h，设小矩形一边长为k，则由相似三角形关系，所以b0b0

思考与练习提示:作x轴如图.

为清除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底,泥后提出井口,缆绳每在提升过程中污泥以20N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,问克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30m,抓斗自重400N,将抓起污泥的抓斗由抓起污x提升dx所作的功为米重50N,

提升抓斗中的污泥:井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度