2024-2025学年高中数学 第一章 三角函数 1.1.1 任意角（6）教学教学实录 新人教A版必修4

2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.1.1任意角（6）教学教学实录新人教A版必修4学校授课教师课时授课班级授课地点教具设计意图本节课以“任意角”为切入点，通过具体实例引入任意角的概念，引导学生理解任意角与直角的关系，进而引出三角函数的定义。通过实际操作，让学生掌握三角函数的基本性质，为后续学习三角函数的应用奠定基础。核心素养目标培养学生数学抽象思维，理解数学概念的本质，发展数学建模能力，通过实际问题应用三角函数，提高学生的数学应用意识。增强逻辑推理能力，通过证明三角函数性质，锻炼学生的逻辑思维和证明技巧。重点难点及解决办法重点：任意角的定义及其与直角的关系，三角函数的基本性质。

难点：理解任意角的概念，掌握三角函数性质证明的方法。

解决办法：

1.通过实例引入，帮助学生理解任意角的概念，结合图形直观展示。

2.设计问题串，引导学生逐步推导三角函数性质，培养逻辑推理能力。

3.采用小组合作探究，让学生在互动中学习，共同突破难点。

4.课后布置相关练习，巩固所学知识，提高学生解决问题的能力。教学方法与策略1.采用讲授法结合实例讲解任意角的定义和三角函数的基本性质，确保学生理解概念。

2.通过小组讨论，让学生探究三角函数性质，培养合作学习和问题解决能力。

3.利用多媒体展示几何图形，帮助学生直观理解任意角与直角的关系。

4.设计互动游戏，如“三角函数猜猜看”，提高学生的学习兴趣和参与度。教学过程一、导入新课

（教师）同学们，我们之前学习了直角三角形的三角函数，那么在直角三角形的基础上，我们能否定义出任意角的三角函数呢？今天我们就来探讨这个问题。

（学生）老师，什么是任意角呢？

（教师）任意角是指角度大于0度且小于180度的角。接下来，我们将通过一系列的实例来理解任意角的概念。

二、任意角的定义

（教师）首先，我们来看一个实例。假设我们有一个单位圆，圆心为O，半径为1。现在，我们从这个圆心O出发，画一条射线OA，这条射线与圆相交于点A。我们以OA为始边，逆时针旋转这条射线，使得它与圆相交于另一个点B。这样，我们就得到了一个角AOB。

（学生）老师，这个角AOB就是任意角吗？

（教师）是的，角AOB就是一个任意角。我们可以用角度来表示这个角的大小，比如∠AOB=30°。

（学生）那我们如何表示这个角的大小呢？

（教师）我们可以使用弧度制来表示角的大小。弧度制是一种角度的度量单位，它以圆的半径为长度单位，一个完整的圆对应的角度是2π弧度。

（学生）老师，那如何将角度转换为弧度呢？

（教师）角度转换为弧度的公式是：弧度=角度×π/180。例如，30°转换为弧度就是π/6。

三、任意角的三角函数

（教师）接下来，我们来定义任意角的三角函数。以角AOB为例，我们可以定义正弦、余弦和正切函数。

（学生）老师，什么是正弦、余弦和正切函数呢？

（教师）正弦函数表示的是角AOB的终边与单位圆交点的纵坐标，记作sin(∠AOB)。余弦函数表示的是角AOB的终边与单位圆交点的横坐标，记作cos(∠AOB)。正切函数表示的是角AOB的正弦值除以余弦值，记作tan(∠AOB)。

（学生）老师，那如何计算这些函数的值呢？

（教师）我们可以通过单位圆上的坐标来计算。例如，如果∠AOB=30°，那么sin(30°)的值就是点B的纵坐标，即1/2。

四、三角函数的性质

（教师）三角函数具有一些重要的性质，比如周期性、奇偶性和单调性。我们来逐一探讨这些性质。

（学生）老师，什么是周期性？

（教师）周期性是指三角函数的值在每隔一定角度后会重复出现。例如，正弦函数和余弦函数的周期是2π。

（学生）那奇偶性是什么呢？

（教师）奇偶性是指三角函数在正负角度上的对称性。正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

（学生）老师，那单调性又是怎么回事？

（教师）单调性是指三角函数在某个区间内是单调递增或递减的。例如，正弦函数在0到π/2的区间内是单调递增的。

五、三角函数的应用

（教师）三角函数在许多领域都有广泛的应用，比如物理学、工程学、天文学等。我们来举几个例子。

（学生）老师，三角函数在物理学中有哪些应用？

（教师）在物理学中，三角函数可以用来描述简谐运动，比如弹簧振子的运动。

（学生）那在工程学中呢？

（教师）在工程学中，三角函数可以用来计算电路中的电压、电流和功率。

六、课堂小结

（教师）今天我们学习了任意角的三角函数，包括定义、性质和应用。希望大家能够掌握这些知识，为后续的学习打下坚实的基础。

（学生）老师，我们学到了很多新的知识，谢谢您的讲解。

七、布置作业

（教师）请同学们课后完成以下作业：

1.独立完成课本上的练习题，巩固所学知识。

2.查阅资料，了解三角函数在其他领域的应用。

3.准备下节课的讨论话题，分享你对三角函数的理解和应用。

（学生）好的，老师，我们明白了。教学资源拓展一、拓展资源

1.任意角的三角函数在物理学中的应用：通过介绍简谐运动、振动和波动的概念，展示三角函数在描述物理现象中的重要性。

2.三角函数在工程学中的应用：探讨三角函数在电路分析、信号处理和机械设计等领域的应用实例。

3.三角函数在计算机科学中的应用：介绍三角函数在图形学、图像处理和音频处理等方面的应用。

4.三角函数在数学分析中的基础：探讨三角函数的极限、导数和积分等高级数学概念。

二、拓展建议

1.阅读相关书籍和资料，深入了解三角函数在不同领域的应用，如《三角函数及其应用》等。

2.观看在线教育平台上的相关视频教程，如Coursera、edX等，以获得更深入的理解。

3.参与数学竞赛或挑战，如美国数学竞赛（AMC）、国际数学奥林匹克（IMO）等，提升解题能力和应用技巧。

4.实践项目：设计一个小项目，如制作一个简易的电子钟或振动分析器，将三角函数应用于实际操作中。

5.参加数学俱乐部或兴趣小组，与同学一起讨论和解决三角函数相关问题，提高团队合作能力。

6.利用数学软件，如MATLAB、Mathematica等，进行三角函数的计算和图形绘制，加深对函数性质的理解。

7.阅读数学历史书籍，了解三角函数的发展历程和重要人物，激发对数学的兴趣和探索精神。

8.参加数学讲座或研讨会，与专家和学者交流，拓宽视野，了解三角函数的最新研究进展。

9.制作个人学习笔记，总结三角函数的关键概念、性质和应用，便于复习和巩固。

10.与同学组成学习小组，定期进行三角函数的讨论和交流，互相解答疑问，共同进步。教学反思今天的这节课，我们学习了任意角的三角函数。回顾一下，我觉得有几个方面值得我反思。

首先，我觉得课堂的导入部分做得还不错。通过提问的方式，我引导学生回顾了直角三角形的三角函数知识，然后自然过渡到任意角的三角函数。我发现，学生们对于这个过渡点接受得比较快，这说明我在教学设计上还是有一定效果的。

但是，我也发现了一个问题。在导入环节，我用了比较多的时间来回顾旧知识，这可能导致一些学生觉得有些枯燥。因此，我需要在未来的教学中，更加注重新旧知识的衔接，同时也要注意保持课堂的生动性和趣味性。

在三角函数的性质讲解部分，我尝试让学生通过小组讨论的方式来探究。我发现，这种方法能够激发学生的积极性，让他们在互动中学习。但是，我也发现，有些学生可能因为基础知识的不足，导致在讨论中难以跟上进度。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加关注学生的个体差异，对基础较弱的学生给予更多的帮助。

在教学过程中，我还注意到了一些细节。比如，我在讲解三角函数的应用时，尽量结合实际生活中的例子，让学生感受到数学的实用性。我发现，这样的教学方法能够提高学生的学习兴趣，让他们更加主动地参与到课堂中来。

当然，我也发现了一些不足。比如，在课堂管理上，有时候我会发现一些学生注意力不集中，这可能会影响到其他学生的学习。因此，我需要在今后的教学中，加强对课堂纪律的管理，同时也要设法提高学生的课堂参与度。课后作业1.**计算题**：计算下列任意角的正弦、余弦和正切值。

-∠A=45°

-∠B=60°

-∠C=135°

答案：

-sin(45°)=√2/2

-cos(60°)=1/2

-sin(135°)=√2/2

-cos(135°)=-√2/2

-tan(45°)=1

-tan(60°)=√3

-tan(135°)=-√3

2.**证明题**：证明sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)。

答案：

-利用单位圆上对应点的坐标，设∠A=α，∠B=β，则点P的坐标为(cos(α),sin(α))，点Q的坐标为(cos(β),sin(β))。

-在单位圆上，∠AOB=α+β，连接OP和OQ，则三角形OPQ是一个等腰三角形。

-由等腰三角形的性质，OP=OQ，即cos(α)=cos(β)。

-在直角三角形OPQ中，sin(α+β)=OP/Q，而OP=√(cos²(α)+sin²(α))=1，Q=√(cos²(β)+sin²(β))=1。

-因此，sin(α+β)=1，即sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)。

3.**应用题**：一个物体在水平面上做匀速直线运动，速度为v。求物体在t时间内的位移s。

答案：

-位移s=速度v×时间t

-s=vt

4.**绘图题**：在单位圆上画出角α=30°的正弦和余弦函数图像。

答案：

-在单位圆上，找到对应角α=30°的点P，其坐标为(√3/2,1/2)。

-从原点O出发，画一条射线OP，使其与x轴正半轴的夹角为30°。

-在射线OP上找到点P，然后从点P向y轴正半轴画一条垂线，垂足为点Q。

-连接OQ，OQ的长度即为sin(30°)的值，即1/2。

-从点P向x轴负半轴画一条垂线，垂足为点R。

-连接OR，OR的长度即为cos(30°)的值，即√3/2。

-画出OP、OQ和OR，得到sin(30°)和cos(30°)的图像。

5.**综合题**：一个三角形的三个内角分别为α、β、γ，且α+β+γ=180°。已知sin(α)=1/2，cos(β)=√3/2，求sin(γ)的值。

答案：

-由于α+β+γ=180°，所以γ=180°-α-β。

-利用sin(γ)=sin(180°-α-β)=sin(α+β)（正弦函数的周期性）。

-由于sin(α)=1/2，cos(β)=√3/2，我们可以使用和角公式sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)。

-将已知的sin(α)和cos(β)代入公式，得到sin(α+β)=(1/2)(√3/2)+(√3/2)(1/2)=√3/4+√3/4=√3/2。

-因此，sin(γ)=√3/2。板书设计①任意角的定义

-任意角：角度大于0度且小于180度的角。

-单位圆：半径为1的圆。

-角度与弧度转换：弧度