北京市第四中学2025届高三数学调研卷二文含解析

PAGEPAGE19北京市第四中学2025届高三数学调研卷（二）文（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，，，那么等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】可求出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．【详解】由题得或，，.故选：C【点睛】本题主要考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平和分析推理实力.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得：z=2【详解】由题意可得：z=则复数z对应的点为2,−本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等学问，意在考查学生的转化实力和计算求解实力.3.已知曲线C1:yA.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移πD.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π【答案】C【解析】【分析】干脆利用三角函数图像的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．【详解】对于选项A,把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线对于选项B,把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线对于选项C,曲线C1:y=sinx，把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到对于选项D,把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3故选：C【点睛】本题考查三角函数图像的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算实力和转化实力，属于基础题型．4.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，其次组工人用其次种生产方式．依据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确的是()A.第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所须要的时间至少80分钟B.其次种生产方式比第一种生产方式的效率更高C.这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D.无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所须要的时间都是80分钟．【答案】D【解析】【分析】依据茎叶图统计数据、求平均数、求中位数，再依据结果作选择.【详解】第一种生产方式的工人中，完成生产任务所须要的时间至少80分钟有15人,占1520第一种生产方式的中，完成生产任务所须要的平均时间为68+其次种生产方式的中，完成生产任务所须要的平均时间为65=74.7这40名工人完成任务所需时间从小到大排列得中间两数为79，81所以D错误.选D.【点睛】本题考查茎叶图，考查基本分析求解实力.属基本题.5.一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为A.1：3 B.1：4 C.1：5 D.1：【答案】A【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【详解】解：由题意可知：几何体被平面ABCD平面分为上下两部分，设正方体的棱长为2，上部棱柱的体积为：12下部为：2×2×故选：A．【点睛】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，棱柱的体积的求法，考查计算实力.6.若m,n是两条不同的直线，A.若α⊥β,m⊥β，则C.若m⊥α,n//【答案】D【解析】【分析】在A中，则m//α或m⊂α；在B中，则n与α相交、平行或n⊂α；在C【详解】由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若α⊥β，m⊥β，则m/在B中，若m//α，n⊥m，则n与α在C中，若m⊥α，n//β，m⊥n在D中，若m//β，m⊂α，α故选：D【点睛】本题考查命题真假的推断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础学问，考查空间想象实力，是中档题．7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A.2π15； B.3π20； C.【答案】C【解析】【分析】求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案．【详解】直角三角形的斜边长为52设内切圆的半径为，则5−r+∴内切圆的面积为πr∴豆子落在内切圆外部的概率P=故选：C【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平和分析推理实力.8.若函数fx在其图象上存在不同的两点Ax1,y1,Bx2,y2其中为“柯西函数”的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.【答案】B【解析】【分析】由柯西不等式得对随意的实数x1，x当且仅当x1x2=y1y2【详解】由柯西不等式得对随意的实数x1，x当且仅当x1x2结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数⇔f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线⇔过原点直线与f(x)有两个交点.①fx=x+1xx②fx=lnx0<③fx=c故选：B【点睛】本题主要考查柯西不等式，考查学生对新概念的理解和应用，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平和分析推理实力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9.曲线fx=xex【答案】x【解析】【分析】本题首先可以求出曲线f(x)=xex【详解】因为曲线f(x将x=0带入曲线中可得f(所以曲线f(x)=xex【点睛】本题考查了曲线的某一点处的切线方程的求法，首先可以依据曲线方程计算出切点坐标，然后依据曲线的导函数计算出切线斜率，最终依据点斜式方程即可得出切线方程，考查计算实力，考查对导数的理解，是简洁题。10.若变量x,y满意则目标函数x−【答案】28【解析】【分析】本题首先可以通过不等式组在平面直角坐标系上画出可行域，然后将目标函数化为直线方程的斜截式，通过数形结合即可得出最优解，最终带入目标函数中即可得出结果。【详解】如图所示，依据不等式组x-y+2≥0,x+y-2≥0,3x【点睛】本题主要考查简洁线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算实力，属于基础题。11.将数列3，6，9，……依据如下规律排列，记第m行的第n个数为am,n，如a3,【答案】44【解析】【分析】本题首先可以通过数列3、6、9⋯来确定2024是数列的第673【详解】由题意可知，数列3、6、9⋯令数列3、6、9⋯为数列{bn}，则有再由图可知：前1列共有1个数；前2列共有1+前3列共有1+前4列共有1+⋯⋯前36列共有1+前37列共有1+所以2024是第37列第7个数，故m+【点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查数列的某一项的项数以及数列的前n项和，考查推理实力以及计算实力，考查学生从题意中获得信息并找寻规律的实力，是中档题。12.已知函数f(x)=|lnx|，实数m,n满意【答案】e【解析】【分析】利用函数的单调性可得|lnm2【详解】由题意得﹣lnm＝lnn，∴1又函数f(∴|lnm2∴当|lnm2|＝2时，m=1e，又n=1m，∴n＝e，此时，f（当lnn＝2时，n＝e2，m=1e2，此时，f（x）在区间[m综上，n＝e，m=1e．故答案为e2【点睛】本题考查了含肯定值函数的单调性、函数的最值的求法，体现了分类探讨的数学思想，属于中档题．13.设D为ΔABC所在平面内一点，AD=【答案】-3【解析】【分析】干脆利用向量的线性运算求出结果．【详解】∵D为ΔABC∴B，C，D三点共线.若BC=λDC化为：AD=1λAB+λ−1λAC，与A即答案为-3.【点睛】本题考查的学问要点：向量的线性运算及相关的恒等变换问题．14.若圆x2+y2=【答案】−【解析】【分析】依据两圆相切得圆心之间距离等于半径之和或之差的肯定值，解得m的值.【详解】因为x2+y因为两圆相切，所以32+4解得m=-9【点睛】本题考查两圆位置关系，考查基本分析求解实力.属基本题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.若数列an的前n项和为Sn，且a1（1）求数列an（2）若an>0n∈N*，令b【答案】(1)an=((2)Tn【解析】分析：（1）an=Sn-Sn-1=an2+a详解：（1）当n=1时，2当n≥2时，即(an∴an=（2）由an>0，∴∴T16.设函数f(x)=3(1)求ω和(2)若f(【答案】（1）ω=2，ϕ【解析】【分析】1依据图象上相邻两最高点与最低点之间的距离由勾股定理列方程可得ω，再依据对称中心列式可解得φ；2依据已知等式解得sinα，再得cos【详解】解：1由图象上相邻两最高点与最低点之间的距离为π得(∵函数fx=∵-π2由1知：fx=∵0<∴cos【点睛】本题考查由y=17.某商场营销人员进行某商品M市场营销调查发觉，每回馈消费者肯定的点数，该商品当天的销量就会发生肯定的改变，经过试点统计得到以下表：反馈点数x12345销量（百件）/天0.50.611.41.7（1）经分析发觉，可用线性回来模型拟合当地该商品一天销量y（百件）与该天返还点数x之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于x的线性回来方程y=（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体非常浩大，经过营销部调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：返还点数预期值区间（百分比）[[[[[[频数206060302010将对返还点数的心理预期值在[1,3)和[11,13]的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采纳分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率.（参考公式及数据：①回来方程a=y-【答案】（1）y=0.32t+0.08【解析】【分析】(1)求出变量x,y的平均数，求出最小二乘法所须要的数据，可得线性回来方程的系数b,再依据样本中心点肯定在线性回来方程上，求出a的值，写出线性回来方程；x=6代入线性回来方程求出对应的y的值，即可预料返回6个点时该商品每天销量；(2)利用分层抽样方法求得“欲望膨胀型”消费者与“欲望紧缩型”消费者中抽取的人数，利用列举法得到全部的抽样状况共20种，其中至少有1名“欲望膨胀型”【详解】（1）易知x=i=15a=则y关于x的线性回来方程为y=当x=6时，（2）设从“欲望膨胀型”消费者中抽取m人，从“欲望紧缩型”消费者中抽取n人，由分层抽样的定义可知630=m在抽取的6人中，2名“欲望膨胀型”消费者分别记为A1，A共20种，其中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的状况有16种，记事务A为“抽出的3人中至少有1名‘欲望膨胀型’消费者”，则PA=【点睛】本题主要考查回来方程的求法与应用、分层抽样与古典概型概率公式的应用，属于中档题.利用古典概型概率公式求概率时，找准基本领件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本领件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为困难的问题中的基本亊件的探求.在找基本领件个数时，肯定要按依次逐个写出：先(A1,B1)，(A1,B2)….(A1,18.如图，四棱锥P−ABCD中，AB=AD=2BC（Ⅰ）证明：平面PAB⊥（Ⅱ）若点P究竟面ABCD的距离为2，E是线段PD上一点，且PB//平面【答案】（1）见解析（2）8【解析】【分析】（Ⅰ）证明AB⊥PB，AB（Ⅱ）如图，连接BD，AC交于点O，因为BC//AD，由（Ⅰ）点P到平面所以点E到平面ABCD的距离为h=23【详解】（Ⅰ）证明：∵AB⊥AD，且∵AB=AD=2，又∵AB⊥AD，BC//所以AB⊥平面PBC，又因为所以平面PAB⊥（Ⅱ）如图，连接BD，AC交于点O，因为BC且AD=2BC因为PB//平面ACE，所以PB//由（Ⅰ）点P到平面ABC所以点E到平面ABCD所以VA即四面体A-CD【点睛】本题考查面面垂直的证明以及锥体体积的实际，属中档题.19.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点(3,12)（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A,B两点．若△OAB【答案】（1）x24+y【解析】分析：（1）依据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再依据点在椭圆上，解方程组可得a,b，即得椭圆方程；（2）第一问先依据直线与圆相切得一方程，再依据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.其次问先依据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为F1可设椭圆C的方程为x2a2+y所以3a2因此，椭圆C的方程为x2因为圆O的直径为F1F2（2）①设直线l与圆O相切于P(x0所以直线l的方程为y=-x由x24+(4因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以Δ=因为x0,y因此，点P的坐标为(2②因为三角形OAB的面积为267，所以12设A(由（*）得x1,2所以A=(因为x0所以AB2=解得x02=52(x综上，直线l的方程为y=点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解；二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，