中考数学重难题型突破题型三图形动态探究题

题型三图形动态研究题线段问题类型一 类型二图形形状问题类型三图形面积问题1/28类型一线段问题例(岳阳)已知直线m∥n,点C是直线m上一点,点D是直线n上一点,CD与直线m、n不垂直,点P为线段CD中点．(1)操作发觉：直线l⊥m,l⊥n,垂足分别为点A、B,当点A与点C重合时(如图①所表示),连接PB,请直接写出线段PA与PB数量关系：___________；(2)猜测证实：在图①情况下,把直线l向上平移到如图②位置,试问(1)中PA与PB关系式是否依然成立？若成立,请证实；若不成立,请说明理由；2/28(3)延伸探究：在图②情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°(如图③所表示)，若两平行线m、n之间距离为2k，求证：PA·PB=k·AB.3/28(1)【思维教练】要判断PA与PB数量关系，观察图形，已知点P为CD中点，联想到直角三角形斜边上中线等于斜边二分之一，经过证实△ABD为直角三角形，即可得到结论；解：PA=PB；【解法提醒】∵l⊥n，∴△ABD是直角三角形，又∵点P是AD中点，∴PB=PA.4/28

(2)【思维教练】要证PA=PB，只需证实点P在线段AB垂直平分线上即可；解：成立．证实：如解图①，过点C作CE⊥n于点E，过点P作PF⊥CE于点F，∴PF∥n，∵点P是CD中点，∴点F是CE中点，∴PF垂直平分CE，∵m∥n，AB⊥m，∴AB=CE，且AB∥CE，∴PF垂直且平分AB，∴PA=PB；5/28【一题多解】如解图②，过P作EF∥AB，交m于点E，交n于点F，∵AB⊥m，AB⊥n，∴EF⊥m，EF⊥n，∴四边形EFBA是矩形，∴AE=BF.∵P是CD中点，∴PC=PD，∵m∥n，∴∠PCE=∠PDF，又∵∠EPC=∠FPD，∴△PCE≌△PDF(ASA)，∴PE=PF，∴Rt△PEA≌Rt△PFB(SAS)，∴PA=PB.6/28(3)【思维教练】延长AP交直线n于点F，过点A作AE⊥n于点E，易证△AEF∽△BPF，即可得到AF·BP=AE·BF，从而证得PA·PB=k·AB.证实：如解图③，延长AP交直线n于点F，过A作AE⊥n

于点E.∵m∥n，点P为线段CD中点，∴，∴AP=PF，∵∠APB=90°，∴BP⊥AF，∴BF=AB，7/28∵AE⊥n，∴∠AEF=90°，又∵∠AFE=∠BFP，∴Rt△AEF∽Rt△BPF，∴，∴AF·BP=AE·BF，又∵AF=2AP，AE=2k，BF=AB，∴2PA·PB=2k·AB，即PA·PB=k·AB.8/28与线段相关动态探究题，通常有以下几类：1.探究或者证实两线段数量关系：(1)要证实线段在某一四边形中，考虑利用特殊四边形性质，经过量转换、等量代换进行求证；(2)假如所要证实线段在某个三角形中，考虑利用等腰、直角三角形性质进行求证；(3)假如所要证实线段在两个三角形中，考虑经过三角形全等判定及性质进行证实；(4)三条线段数量关系，可转化为两条线段进行探究．导方法指9/282.探究或者证实两线段位置关系：两线段位置关系通常为平行或垂直．观察图形，依据图形先推断两线段位置关系是平行或垂直．

若平行，则常经过以下方法进行证解：(1)平行线判定定理；(2)平行四边形对边平行；(3)三角形中位线性质等．

若垂直，则常经过以下方法进行证解：(1)证实两线段所在直线夹角为90°；(2)两线段是矩形邻边；(3)两线段是菱形对角线；(4)勾股定理逆定理；(5)利用等腰三角形三线合一性质等方式证实．导方法指10/283.求线段长度、比值时普通多包括三角形全等和相同相关证实和性质利用，详细方法以下：要计算线段比、面积比时，可考虑从以下两方面思索：(1)直接利用特殊图形性质先求出对应线段、面积值，再求比值；(2)经过寻找相同三角形，利用相同三角形性质求对应比值．导方法指11/28类型二图形形状问题例(郴州)如图①，矩形ABCD中，AB=7cm，AD=4

cm，点E为AD上一定点，点F为AD延长线上一点，且DF=acm.点P从A点出发，沿AB边向点B以2cm/s速度运动．连接PE，设点P运动时间为ts，△PAE面积为ycm2.当0≤t≤1时，△PAE面积y(cm2)关于时间t(s)函数图象如图②所表示．连接PF，交CD于点H.(1)t取值范围为________，AE=________cm；(2)如图③，将△HDF沿线段DF进行翻折，与CD延长线交于点M，连接AM，当a为何值时，四边形PAMH为菱形？并求出此时点P运动时间t；12/28(3)如图④，当点P出发1s后，AD边上另一动点Q从E点出发，沿ED边向点D以1cm/s速度运动．假如P，Q两点中任意一点抵达终点后，另一点也停顿运动，连接PQ，QH.若a=cm，请问△PQH能否组成直角三角形？若能，请求出点P运动时间t；若不能，请说明理由．13/28(1)【思维教练】t最小值为0，t最大值与AB长相关；要求AE长，将y与t关系式表示出来，结合图②即可求解；解：，1；【解法提醒】由2t≤7，得，∴.，从图象可知，当t=0.5时，y=0.5，即0.5=0.5·AE，解得AE=1.14/28(2)【思维教练】依据PF∥AM和翻折性质得到AM=MF，可得DF=AD=a；要求t值只能放在直角三角形中，用勾股定理处理，而各边长可经过菱形性质和翻折性质用t表示即可求解；解：由翻折性质可知：∠PFA=∠MFA，而当四边形PAMH为菱形时，PF∥AM，∴∠PFA=∠MAF=∠MFA,∴MA=MF，∵MD⊥AF，∴DF=AD=4cm，∴a=4.15/28∵MH=PA=2t，∴DM=t，在Rt△ADM中，AM2=AD2＋DM2=16＋t2，若四边形PAMH为菱形，则AP2=AM2，∴4t2=16＋t2，解得：t=（负值舍去）∴当a=4时，四边形PAMH为菱形，此时点P运动时间t为s16/28(3)【思维教练】将相关线段用含t式子表示出来，经过分类讨论：①∠PQH=90°；②∠PHQ=90°；③∠QPH=90°，分别利用相同三角形百分比关系式求出t值即可．解：由题意得，AP=2t，AQ=1＋1×(t－1)=t，DQ=4－t，,∵DH∥PA，17/28当∠PQH=90°时，∠PQA＋∠HQD=∠HQD＋∠QHD=90°，∴∠PQA=∠QHD，又∵∠A=∠HDQ=90°，∴△PQA∽△QHD，

解得t=2；当∠PHQ=90°时，∵DH⊥FQ，∴△QDH∽△HDF，∴18/28∴DH2=DF·DQ，∴

当∠QPH=90°时，这种情况不存在．综上，当t=2或t=时，△PQH为直角三角形．19/28与图形形状相关动态探究题,通常见有以下几个类型：一、探究等腰三角形问题详细方法以下：1．分情况讨论.当所给条件中没有说明哪条边是等腰三角形底,哪条边是等腰三角形腰时,这时要对其进行分类讨论,假设某两条边相等,得到三种情况；2．求边长.在每种情况下,用题设中已设出自变量(时间t或线段长x)表示出假设相等两条边长或第三边长；3．建立关系式并计算依据等腰三角形性质、勾股定理或相同三角形性质列等量关系式,依据等量关系求出t值或x值即可．导方法指20/28二、探究直角三角形问题详细方法以下：1．分情况讨论．当所给条件不能确定直角顶点时，分情况讨论，分别令三角形某个角为90°；2．求边长．在每种情况下，用题设中已设出自变量(时间t或线段长x)表示出三边长；3．验证求解：用相同三角形性质或勾股定理进行验证并求解出结论成立时t值或x值即可．导方法指21/28类型三图形面积问题例(益阳)如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D为AB中点，EF为△ACD中位线，四边形EFGH为△ACD内接矩形(矩形四个顶点均在△ACD边上)．(1)计算矩形EFGH面积；(2)将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停顿移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重合部分面积为时，求矩形平移距离；22/28(3)如图③，将(2)中矩形平移停顿时所得矩形记为矩形E1F1G1H1，将矩形E1F1G1H1绕G1点按顺时针方向旋转，当H1落在CD上时停顿转动，旋转后矩形记为矩形E2F2G1H2，设旋转角为α，求cosα值．例题图23/28

(1)【思维教练】要求矩形EFGH面积，需求EF、GF长，利用中位线性质可得EF、DF，从而在△FGD中可求得GF，即可得解；

解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2，∠A=60°又∵D是AB中点，∴AD=1，CD=AD=AB=1又∵EF是△ACD中位线，∴EF=AD=CD=DF在△ACD中，AD=CD,∠A=60°，∴∠ADC=60°.在△FGD中，GF=DF·sin60°=∴S矩形EFGH=EF·GF=×=；24/28

(2)【思维教练】分情况讨论，当矩形与△CBD重合部分为三角形和四边形时，分别令重合部分面积为即可求解；

解：由第(1)问，易得GD=DF=，设矩形平移距离为x，则0＜x≤，如解图①，当矩形与△CBD重合部分为三角形时，则0＜x≤，25/28如解图②，当矩形与△CBD重合部分为四边形时，则<x≤，即当矩形平移距离为