概率论第概率的公理化定义及概率的性质

关于概率论第概率的公理化定义及概率的性质第1页，共32页，星期日，2025年，2月5日发生的概率定义为如果样本空间为有界区间、空间有界区域，则“面积”改为“长度”、“体积”几何概型的定义设随机试验的样本空间为有界区域事件试验结果落在区域

中的面积的面积称为几何概型注：①②事件

发生的概率与位置无关,只与

的面积有关，这体现了某种“等可能性”

第2页，共32页，星期日，2025年，2月5日

(约会问题)两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去。试求这两人能会面的概率。这是一个几何概型，所求概率是

设

分别表示两人达到的时间，则两人能会面的充要条件是解例第3页，共32页，星期日，2025年，2月5日例3蒲丰投针问题平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为l的针，求针与平行线相交的概率.第4页，共32页，星期日，2025年，2月5日解：以x表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以

表示针与此直线间的交角.

易知样本空间

满足：0

x

d/2;0

.

形成x-

平面上的一个矩形，其面积为：S

=d(

/2).

第5页，共32页，星期日，2025年，2月5日

A=“针与平行线相交”的充要条件是:

x

l

sin(

/2).

针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方法求解得第6页，共32页，星期日，2025年，2月5日由蒲丰投针问题知：长为l的针与平行线相交的概率为:2l/d.而实际去做N次试验，得n次针与平行线相交，则频率为:n/N.用频率代替概率得：

2lN/(dn).历史上有一些实验数据.

的随机模拟第7页，共32页，星期日，2025年，2月5日(三)概率的基本性质性质①证因为概率为实数,故性质②若是两两不相容的事件,则证故由可列可加性，有有限可加性第8页，共32页，星期日，2025年，2月5日性质③若则证因互不相容,故由有限可加性有再由概率非负性得事件解释为区域概率解释为区域面积事件与概率的图示第9页，共32页，星期日，2025年，2月5日性质④性质⑤性质⑥对任何事件有(加法公式)对于三事件有挖挖挖补由定义第10页，共32页，星期日，2025年，2月5日挖补原理多事件的加法公式对于

个事件，有全加减二加三挖补规律:加奇减偶减四第11页，共32页，星期日，2025年，2月5日

AB=φ，P(A)=0.6，P(A

B)=0.8，求B

的对立事件的概率。解：由P(A

B)=P(A)+P(B)

P(AB)=P(A)+P(B)例4

得P(B)=P(A

B)

P(A)=0.8

0.6=0.2，

所以P()=1

0.2=0.8.第12页，共32页，星期日，2025年，2月5日例5解：因为P(A

B)=P(A)

P(AB)，所以先求P(AB)

由加法公式得P(AB)=P(A)+P(B)

P(A

B)=0.4+0.3

0.6=0.1

所以P(A

B)=P(A)

P(AB)=0.3P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A

B)=0.6，求

P(A

B).

第13页，共32页，星期日，2025年，2月5日例6解：因为A、B、C

都不出现的概率为=1

P(A)

P(B)

P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)

P(ABC)=1

1/4

1/4

1/4+0+1/6+1/6

0=15/12=7/12P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6,求A、B、C

都不出现的概率.第14页，共32页，星期日，2025年，2月5日例7口袋中有n

1个黑球、1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球.求第k次取到黑球的概率.利用对立事件解：记A为“第k次取到黑球”，则A的对立事件为“第k次取到白球”.而“第k次取到白球”意味着：“第1次……第k

1次取到黑球，而第k次取到白球”第15页，共32页，星期日，2025年，2月5日例8解：用对立事件进行计算,记A=“至少出现一次6点”，则所求概率为

一颗骰子掷4次，求至少出现一次6点的概率.第16页，共32页，星期日，2025年，2月5日甲参加有奖问答竞猜活动，他能答出第一道题的概率是0.8，能答出第二道题的概率是0.3，例9两道题都能答出的概率是0.2，试求：（1）能答出第一道题而答不出第二道题的概率（2）至少有一道题能答不出的概率（3）两道题都答不出的概率解已知？？0.80.3（1）（2）（3）第17页，共32页，星期日，2025年，2月5日因为概率是事件(集合)的函数，所以先讨论事件(集合)的“极限”.本节给出可列可加性的充要条件.1.3.4

概率的连续性第18页，共32页，星期日，2025年，2月5日若事件序列{Fn}满足：F1

F2

…

Fn

…

则称{Fn}为单调不减事件序列，其极限事件为事件序列的极限若事件序列{Fn}满足：F1

F2

…

Fn

…

则称{Fn}为单调不增事件序列，其极限事件为第19页，共32页，星期日，2025年，2月5日

设P(·)是一个集合函数，

(1)

若任对单调不减集合序列{Fn}，有

则称P(·)是下连续的.集合函数的连续性

(2)若任对单调不增集合序列{Fn}，有

则称P(·)是上连续的.

第20页，共32页，星期日，2025年，2月5日

性质1.3.7

若P(·)是事件域F上的一个概率函数，

则P(·)既是下连续的，又是上连续的.概率的连续性第21页，共32页，星期日，2025年，2月5日性质1.3.8若P(·)是事件域F上满足：非负、正则的集合函数，则P(·)有可列可加性的充要条件是它具有有限可加性和下连续性.可列可加性的充要条件第22页，共32页，星期日，2025年，2月5日N个产品，其中M个不合格品、N

M个合格品.(口袋中有M个白球，N

M个黑球)常见模型(1)——

不返回抽样从中不返回任取n个,则此n个中有m个不合格品的概率为：此模型又称超几何模型.

n

N,mM,

n

m

N

M.第23页，共32页，星期日，2025年，2月5日口袋中有5

个白球、7个黑球、4个红球.从中不返回任取3

个.求取出的3

个球为不同颜色的球的概率.思考题第24页，共32页，星期日，2025年，2月5日N个产品，其中M个不合格品、N

M个合格品.

从中有返回地任取n个.则此n个中有m个不合格品的概率为：常见模型(2)——返回抽样条件：

m

n,即

m=0,1,2,……,n.第25页，共32页，星期日，2025年，2月5日n个不同球放入N个不同的盒子中.每个盒子中所放球数不限.求恰有n个盒子中各有一球的概率(n

N)

常见模型(3)——

盒子模型第26页，共32页，星期日，2025年，2月5日求n个人中至少有两人生日相同的概率.看成n个球放入N=365个盒子中.P(至少两人生日相同)=1

P(生日全不相同)用盒子模型得：pn=P(至少两人生日相同)=生日问题p20=0.4058,p30=0.6963,p50=0.9651,p60=0.9922

第27页，共32页，星期日，2025年，2月5日n个人、n顶帽子，任意取，至少一个人拿对自己帽子的概率.记Ai

=“第i

个人拿对自己的帽子”，i=1,…,n.求P(A1

A2

……

An)，不可用对立事件公式.用加法公式：常见模型(4)——

配对模型第28页，共32页，星期日，2025年，2月5日P(Ai)=1/n,P(AiAj)=1/n(n

1),P(AiAjAk)=1/n(n

1)(n

2),……P(A1A2……An)=1/n!P(A1

A2

……

An)=

配对模型(续)第