高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线的定义和标准方程（1）教学实录 湘教版选修1-1

高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线的定义和标准方程（1）教学实录湘教版选修1-1学校授课教师课时授课班级授课地点教具课程基本信息1.课程名称：高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线的定义和标准方程（1）

2.教学年级和班级：高一年级（1）班

3.授课时间：2023年4月10日星期一第2节课

4.教学时数：1课时核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象和数学运算等核心素养。通过双曲线的定义和标准方程的学习，学生能够理解数学对象的本质属性，提高对几何图形的直观感知和抽象思维能力；通过推导标准方程的过程，锻炼逻辑推理和数学建模能力；通过实际应用，强化直观想象和数学运算的实践应用。教学难点与重点1.教学重点：

-重点理解双曲线的定义，即平面内到两个定点F1和F2的距离之差为常数（大于零）的点的轨迹。

-掌握双曲线的标准方程，即(x/a)²-(y/b)²=1的形式，其中a和b分别是实轴和虚轴的半长轴。

-理解双曲线的几何性质，如渐近线的方程和焦距c与a、b的关系。

2.教学难点：

-难点在于将双曲线的定义转化为数学表达式，特别是理解距离之差为常数的几何意义。

-难点在于推导双曲线的标准方程，特别是在推导过程中涉及到平方差公式和代数变形。

-难点在于记忆和应用双曲线的几何性质，尤其是在解决实际问题时如何灵活运用。例如，在求解双曲线上任意一点到焦点的距离时，学生可能难以直接应用标准方程进行计算。教学资源-软硬件资源：多媒体教学设备（如投影仪、计算机）、电子白板、数学教具（如双曲线模型、直尺、圆规）

-课程平台：湘教版选修1-1数学教材配套电子资源

-信息化资源：在线数学学习平台、数学教育软件、相关数学教学视频

-教学手段：实物演示、小组讨论、黑板板书、多媒体教学课件教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：展示生活中常见的双曲线形状的例子，如卫星轨道、建筑设计中的曲线等，引导学生思考这些曲线的数学本质。

-回顾旧知：简要回顾平面直角坐标系和抛物线的定义、标准方程及几何性质，为学习双曲线打下基础。

2.新课呈现（约30分钟）

-讲解新知：

-首先，介绍双曲线的定义，通过两个定点F1和F2，距离之差为常数（大于零）的点的轨迹来阐述。

-接着，讲解双曲线的标准方程，通过具体的几何图形和代数推导，让学生理解方程的由来。

-详细讲解双曲线的几何性质，包括实轴、虚轴、焦距、渐近线等概念。

-举例说明：

-通过绘制双曲线的标准图形，让学生直观地看到双曲线的对称性、中心对称性等特点。

-通过具体的例子，如求解双曲线上任意一点到焦点的距离，帮助学生理解标准方程的应用。

-互动探究：

-组织学生讨论双曲线在实际问题中的应用，如卫星轨道的设计、光学系统的分析等。

-引导学生思考如何通过双曲线的标准方程来描述不同的几何形状。

3.巩固练习（约20分钟）

-学生活动：

-分发练习题，包括填空题、选择题和计算题，让学生独立完成。

-设计一些开放性问题，鼓励学生发挥想象，用双曲线的几何性质解决实际问题。

-教师指导：

-巡视教室，观察学生的解题过程，及时发现并纠正错误。

-对于学生提出的疑问，给予解答和指导，帮助学生巩固所学知识。

4.课堂小结（约5分钟）

-回顾本节课所学内容，强调双曲线的定义、标准方程和几何性质。

-鼓励学生在课后继续思考双曲线的应用，将所学知识运用到实际生活中。

5.作业布置（约2分钟）

-布置相关练习题，要求学生在课后完成。

-提醒学生注意复习本节课的重点内容，为下一节课的学习做好准备。

备注：以上教学过程为示例，实际教学时可根据学生的具体情况和教学资源进行调整。教学资源拓展1.拓展资源：

-双曲线的历史背景：介绍双曲线的发现者和历史发展，如古希腊数学家阿波罗尼奥斯对双曲线的研究。

-双曲线在物理学中的应用：探讨双曲线在光学、电磁学、天体物理学等领域中的应用，如双曲线天线、卫星轨道设计等。

-双曲线与解析几何的关系：深入探讨双曲线作为解析几何中一类重要曲线的数学性质，包括其对称性、几何变换等。

-双曲线在计算机图形学中的应用：介绍双曲线在计算机图形渲染、图像处理等方面的应用，如双曲线镜面效果、图像压缩等。

2.拓展建议：

-学生可以通过阅读相关的数学史书籍或学术论文，了解双曲线的历史发展和数学家的研究成果。

-鼓励学生参与物理实验，观察双曲线在光学系统中的应用，如通过实验观察双曲线反射镜的光路。

-利用数学软件或在线资源，进行双曲线的几何变换和性质探究，如使用MATLAB或Python进行编程模拟。

-鼓励学生参与科学竞赛或项目，将双曲线的知识应用于实际问题解决，如设计卫星轨道模型或光学系统模拟。

-组织学生进行小组讨论，分享各自对双曲线的理解和应用，促进知识的交流和深化。

-推荐学生阅读与双曲线相关的科普书籍，如《数学之美》等，以增加对数学知识的兴趣和认识。

-鼓励学生参与数学建模活动，将双曲线的数学知识应用于解决实际问题，如模拟经济模型中的市场波动等。板书设计①双曲线的定义

-定义：平面内到两个定点F1和F2的距离之差为常数（大于零）的点的轨迹。

-特点：常数大于零，轨迹为曲线，两个定点为焦点。

②双曲线的标准方程

-形式：\((x/a)^2-(y/b)^2=1\)

-参数：\(a\)（实轴半长轴），\(b\)（虚轴半长轴），\(c\)（焦距）

-关系：\(c^2=a^2+b^2\)

③双曲线的几何性质

-对称性：关于其中心对称，关于其两条渐近线对称。

-渐近线：\(y=\pm\frac{b}{a}x\)

-焦距：\(c=\sqrt{a^2+b^2}\)

-实轴和虚轴：实轴平行于x轴，虚轴平行于y轴。

④双曲线的图形

-中心在原点，左右开口。

-焦点在实轴上，渐近线为斜渐近线。

⑤双曲线的应用

-光学：反射镜设计，光学系统分析。

-天文学：卫星轨道设计。

-工程学：结构设计，形状优化。课后拓展1.拓展内容：

-阅读材料：《数学之美》中关于双曲线的应用章节，了解双曲线在科学研究和工程技术中的实际应用。

-视频资源：在线教育平台上的数学讲座，特别是关于圆锥曲线的讲座，帮助学生从不同角度理解双曲线的性质。

-数学历史资料：收集有关双曲线发现和发展的历史文献，让学生了解数学家的研究过程和双曲线在数学史上的地位。

2.拓展要求：

-鼓励学生阅读《数学之美》中关于双曲线的应用章节，思考双曲线在现代科技中的应用，如卫星轨道的设计和光学系统的优化。

-观看数学讲座视频，通过视频中的实例和讲解，加深对双曲线几何性质的理解，并尝试将所学知识应用于实际问题中。

-学生可以收集数学历史资料，撰写一篇关于双曲线发展历史的短文，分享给同学，增进对数学历史的认识。

-教师推荐阅读《圆锥曲线及其应用》等书籍，提供更深入的数学知识和双曲线应用的案例。

-鼓励学生利用网络资源，如数学论坛、学术期刊等，查找