转子动力学分析方法第1章 转子系统涡动分析的直接法

转子动力学分析方法前言转子动力学的分析方法是解决工程中各类旋转机械动力学问题的实用有效工具。本书主要介绍了基于欧拉动力学方程和拉格朗日方程的盘轴结构动力学分析的直接法、基于Riccati变换的整体传递矩阵法、转子系统的动力优化设计方法和稳定性分析方法。轴承与旋转机械本体共同构成了转子支承系统。

本书对现代工业中新兴的磁悬浮轴承转子系统的涡动作了详细分析。针对旋转机械的流固耦合问题，介绍了充液转子的涡动分析方法，对于连续质量分布系统模型，本书介绍了分析弹性盘轴转子涡动特性的解析法。最后介绍了大型旋转机械动力计算的有限元法。转子动力学分析方法目录第1章

转子系统涡动分析的直接法；第2章

磁悬浮轴承转子系统的涡动特性；第3章

多轴转子系统动力分析的整体传递矩阵法；第4章转子系统动力优化设计方法；第5章

转子系统动力稳定性分析方法；第6章

充液转子的涡动及稳定性分析方法；第7章

连续质量转子系统的涡动分析方法；第8章

转子系统动力分析的有限元法。内容提要：1.1非对称支承转子涡动分析的直接法；1.2弹性支承双刚度轴转子的稳态涡动；1.3非对称弹性支承多盘转子的瞬态涡动。第1章转子系统涡动分析的直接法非对称弹性支承多盘转子动力学模型示意图第1章转子系统涡动分析的直接法1.1非对称支承转子涡动分析的直接法1.1.1非对称弹性支承多盘转子的涡动模型图在oxz平面内的投影关系图在oyz平面内的投影关系（1）圆盘与支承的动能（2）圆盘与支承的势能同理，可得Vdy

。1.1非对称支承转子涡动分析的直接法1.1.1非对称弹性支承多盘转子的涡动模型（3）广义力（4）单跨多盘转子系统的稳态涡动微分方程取广义坐标：代入第二类拉格朗日方程，得：1.1.2稳态自由涡动的频率方程与临界角速度稳态自由涡动微分方程为：简记为：1.1非对称支承转子涡动分析的直接法1.1.2稳态自由涡动的频率方程与临界角速度得频率方程：同步正向涡动化为：同步反向涡动化为：1.1.3算例：非对称弹性支承三盘转子的稳态涡动图对称放置单跨三盘转子系统的稳态涡动示意图求：①导出转子系统刚度矩阵，建立固定坐标系下的稳态涡动微分方程；②求解稳态自由涡动方程，导出频率方程和临界转速表达式；③画出涡动频率与自转角速度的关系曲线图，并讨论支承刚度和支承质量对临界转速的影响。1.1非对称支承转子涡动分析的直接法1.1.3算例：非对称弹性支承三盘转子的稳态涡动解：两端弹性支承单跨多盘转子系统的涡动微分方程为得频率方程：涡动频率与自转角速度的关系：同步正向涡动临界角速度/rad.s-1临界转速/r.min-1314.493003448.684285同步反向涡动临界角速度/rad.s-1临界转速/r.min-1-314.49-3003-448.68-42851.1非对称支承转子涡动分析的直接法1.1.3算例：非对称弹性支承三盘转子的稳态涡动图支承质量对临界角速度的影响曲线图非对称支承刚度对临界角速度的影响曲线非对称支承刚度和支承质量对临界角速度的影响：随着支承刚度比值kAy/kAx的增加，转子系统正向涡动的低阶临界角速度变化很小。但第四阶临界角速度变化比较明显，随着支承刚度比值kAy/kAx的增加而不断升高，接近线性增加趋势。随着支承质量比值mA/mB的增加，转子系统正向涡动的临界角速度出现较明显的下降趋势。且在支承质量比值mA/mB小于5以内下降幅度更大，同时低阶临界角速度随支承质量比值mA/mB变化更明显。1.2弹性支承双刚度轴转子的稳态涡动1.2.1弹性支承双刚度轴转子的稳态涡动微分方程图弹性支承双刚度轴转子的动力学模型图圆盘的二维简图图中O为两端支承静平衡位置连线与圆盘平面的交点，O’和O”分别为轴承中心及圆盘形心，c为圆盘质心。以O为坐标原点选取固定坐标系Oxyz，同时选取原点在O’处随圆盘旋转的动坐标系O’xyz。圆盘的二维示意图中r为圆盘形心的矢径，rO’为盼形心的动挠度，rc为圆盘质心的矢径，rb为支撑中心的矢径，e为偏心距。1.2弹性支承双刚度轴转子的稳态涡动1.2.1弹性支承双刚度轴转子的稳态涡动微分方程根据相对质心运动定理，可得旋转动坐标系下的运动微分方程：整理，得：1.2弹性支承双刚度轴转子的稳态涡动1.2.2弹性支承双刚度轴单盘转子的稳态自由涡动弹性支承双刚度轴转子稳态自由涡动方程：解得弹性支承双刚度轴转子稳态自由涡动的频率方程：设稳态解为：1.2弹性支承双刚度轴转子的稳态涡动1.2.2弹性支承双刚度轴单盘转子的稳态自由涡动算例：已知弹性支承双刚度轴对称放置单盘转子，圆盘质量md=5kg，支承质量mb=0.5kg

，设转子自转角速度为Ω。弹性轴两主刚度方向的刚度系数kη=20000N/m，kξ=10000N/m，支承等效刚度kb=2×106N/m。求：①该转子涡动角速度随自转角速度变化关系；②求解转子的临界角速度，并分别讨论支承等效刚度和弹性轴两主刚度系数对转子临界角速度的影响。解：弹性支承双刚度轴转子稳态自由涡动的频率方程：1.2弹性支承双刚度轴转子的稳态涡动1.2.2弹性支承双刚度轴单盘转子的稳态自由涡动通过此自由涡动的频率方程，可求得单盘对称放置弹性支承双刚度轴转子的涡动角速度随自转角速度变化关系。图涡动角速度与自转角速度的关系1.2弹性支承双刚度轴转子的稳态涡动1.2.3固定坐标系下双刚度轴单盘转子的稳态涡动

1.弹性支承双刚度轴单盘转子的运动微分方程图涡动角速度与自转角速度的关系把系统在某瞬时所具有的动能、势能、耗散函数的表达式及相应的广义力代入拉格朗日方程，得到转子的运动微分方程：其中：1.2弹性支承双刚度轴转子的稳态涡动1.2.3固定坐标系下双刚度轴单盘转子的稳态涡动

2.弹性支承双刚度轴单盘转子的稳态涡动响应图圆盘的瞬时位置在偏心激励下作无阻尼强迫运动，则原运动微分方程简化为：设：带入运动微分方程，整理得：1.2弹性支承双刚度轴转子的稳态涡动1.2.3固定坐标系下双刚度轴单盘转子的稳态涡动

3.算例：双刚度轴单盘转子的稳态涡动与临界转速已知：单盘弹性支承双刚度轴转子系统，材料密度ρ=7.8×10-3kg/m3，转轴的双刚度分别为kη=3.15×104N/m，kξ=4.56×104N/m，圆盘厚△=2cm，直径D=16cm，e=0.003mm。两端的滚动轴承简化为弹性支座，质量mb=1kg，支承刚度分别为kx=105N/m，

ky==1.5×105N/m。阻尼为c=9.303，cx=12.864，cy=15.755。

(1)固定坐标下弹性支承单盘转子的涡动微分方程可得单盘弹性支承对称放置双刚度轴转子的运动微分方程：其中：1.2弹性支承双刚度轴转子的稳态涡动1.2.3固定坐标系下双刚度轴单盘转子的稳态涡动

(2)弹性支承双刚度轴单盘转子的稳态涡动响应利用MATLAB进行数值计算，得到系统的稳态响应曲线：1.2弹性支承双刚度轴转子的稳态涡动1.2.3固定坐标系下双刚度轴单盘转子的稳态涡动

(3)弹性支承双刚度轴单盘转子的临界转速图涡动角速度与自转角速度的关系同步正向涡动临界角速度/rad.s-1临界转速/r.min-192.92887127.251215同步反向涡动临界角速度/rad.s-1临界转速/r.min-1-92.92-887-127.25-1215忽略系统阻尼，则有：求解并绘制图线，如下：1.3非对称弹性支承多盘转子的瞬态涡动1.3.1非对称弹性支承多盘转子的涡动模型图两端弹性支承多盘转子动力学模型设转轴两端支承在轴承A和B上，轴承简化为弹性支承。支承质量分别为mA

和MB，支承刚度分别为kA和kB。静平衡时，两支承弹簧长度为δ0。距离左端支承点为

ai处放置第i个刚性薄圆盘，其质量、极转动惯量与赤道转动惯量分别为mdi，Jpi，Jdi

。该转子在圆盘运动的任意瞬时的动力学模型如图右所示。1.3非对称弹性支承多盘转子的瞬态涡动1.3.2非对称弹性支承多盘转子的瞬态涡动微分方程

本节采用Lagrange方程建立多盘弹性支承偏置转子系统的瞬态涡动微分方程。忽略轴向变形和扭转变形的影响，瞬态涡动时N个圆盘与两个支承，以及整个转轴共计4N＋5个自由度。选取广义坐标为：把系统的动能、势能等代入拉格朗日方程，得到得到两端弹性支承单跨多盘转子系统的涡动微分方程可写成一个4N+4阶矩阵式和一个转动方程：1.3非对称弹性支承多盘转子的瞬态涡动1.3.3算例：非对称弹性支承三盘转子的瞬态涡动已知：单跨三盘转子对称放置如图1-15所示。两端轴承简化为非对称弹性支承，A端支承刚度kAx=1×106N/m，kAy=2×106N/m，B端支承刚度kBx=1×106N/m，kBy=2×106N/m。A端支承质量mA=10kg，B端支承质量mB=10kg。转轴长l=400mm=0.4m，圆盘1距左端支承距离a1=100mm，圆盘2居中，圆盘3距左端支承距离a3=300mm；转轴直径为10mm，抗弯刚度EI=4×105N.cm2，各圆盘直径均为D=80mm，偏心距e=0.002mm，厚度Δ=1cm。轴与盘的弹性模量E=2.1×106kg/cm2=20.58×106N/cm2，材料密度ρ=7.8×10-3kg/cm3。求：①建立固定坐标系下的瞬态涡动微分方程；②求解系统的瞬态涡动响应。图对称放置单跨三盘转子系统瞬态涡动1.3非对称弹性支承多盘转子的瞬态涡动1.3.3算例：非对称弹性支承三盘转子的瞬态涡动将数据代入各矩阵中，利用MATLAB软件编程，根据龙格-库塔法