牛吃草问题 教案

牛吃草问题教案一、教学目标1.让学生理解牛吃草问题的基本概念和特点，掌握牛吃草问题的解题思路和方法。2.通过分析、推理和计算，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。3.让学生体会数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重难点1.教学重点理解牛吃草问题中草的生长速度和原有草量的概念。掌握牛吃草问题的基本公式和解题方法。2.教学难点如何引导学生在不同类型的牛吃草问题中准确找出草的生长速度和原有草量。运用牛吃草问题的模型解决一些变形问题。

三、教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法相结合

四、教学过程

（一）导入（5分钟）1.展示图片：一片绿茵茵的草地，有几头牛在吃草。引导语：同学们，我们来看这幅图，在这片草地上，牛在不断地吃草，而草也在不断地生长。这就是我们今天要研究的牛吃草问题，它是一类非常有趣且富有挑战性的数学问题。2.提出问题：如果有一片草地，草每天都匀速生长。已知这片草地可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。那么请问，这片草地可供25头牛吃几天呢？

让学生思考一下，激发他们的好奇心和求知欲。

（二）知识讲解（20分钟）1.牛吃草问题的基本概念介绍：牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。举例说明：就像刚才我们看到的草地，草在不断生长，牛在不断吃草，草的总量在随着时间变化。我们要找出其中草生长速度和原有草量的规律。2.牛吃草问题的基本公式设每头牛每天的吃草量为1份。草的生长速度=（对应牛的头数×较多天数对应牛的头数×较少天数）÷（较多天数较少天数）原有草量=对应牛的头数×吃的天数草的生长速度×吃的天数吃的天数=原有草量÷（牛的头数草的生长速度）牛的头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度

以刚才提出的问题为例进行公式讲解：已知这片草地可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。草的生长速度：\[\begin{align*}&(10×2015×10)÷(2010)\\=&(200150)÷10\\=&50÷10\\=&5\text{（份/天）}\end{align*}\]原有草量：\[\begin{align*}&10×205×20\\=&200100\\=&100\text{（份）}\end{align*}\]那么25头牛可以吃的天数：\[\begin{align*}&100÷(255)\\=&100÷20\\=&5\text{（天）}\end{align*}\]

通过详细的计算过程，让学生理解每个公式的含义和应用方法。

（三）例题讲解（20分钟）例1：牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？1.分析题目：引导学生明确已知条件，即两种不同牛的头数和吃的天数，以及要求的是25头牛吃的天数。强调草是匀速生长的这一关键条件。2.解题过程：首先求草的生长速度：\[\begin{align*}&(10×2015×10)÷(2010)\\=&(200150)÷10\\=&5\text{（份/天）}\end{align*}\]然后求原有草量：\[\begin{align*}&10×205×20\\=&200100\\=&100\text{（份）}\end{align*}\]最后求25头牛吃的天数：\[\begin{align*}&100÷(255)\\=&100÷20\\=&5\text{（天）}\end{align*}\]3.总结：让学生回顾解题步骤，强调先求草的生长速度，再求原有草量，最后根据公式求出吃的天数。

例2：有一个水池，池底有泉水不断涌出。用5台抽水机20小时可以把水抽干，用8台抽水机15小时可以把水抽干。如果仅靠泉水涌出，多少小时可以把水池抽干？1.分析题目：提示学生把抽水机抽水问题类比为牛吃草问题，这里抽水机相当于牛，泉水涌出相当于草生长。明确已知条件是不同抽水机数量和抽干水的时间。2.解题过程：先求泉水的涌出速度：\[\begin{align*}&(5×208×15)÷(2015)\\=&(100120)÷5\\=&20÷5\\=&4\text{（份/小时）}\end{align*}\]这里的"4"表示泉水每小时涌出的量，因为是使水池水量增加的，所以用负数表示。再求水池原有水量：\[\begin{align*}&5×20(4)×20\\=&100+80\\=&180\text{（份）}\end{align*}\]最后求仅靠泉水涌出抽干水池的时间：\[\begin{align*}&180÷4\\=&45\text{（小时）}\end{align*}\]3.总结：通过这道题，让学生进一步理解牛吃草问题模型在不同情境下的应用，注意类比和对结果的理解。

（四）课堂练习（15分钟）1.一片牧场长满牧草，每天牧草都匀速生长。这片牧场可供12头牛吃20天，或者可供18头牛吃10天。问：可供30头牛吃几天？2.一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内。如果10人淘水，3小时淘完；如果5人淘水，8小时淘完。如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？

让学生在练习本上完成这两道题，教师巡视指导，及时纠正学生的错误，了解学生对知识的掌握情况。

（五）课堂小结（5分钟）1.回顾牛吃草问题的基本概念和特点，强调草匀速生长这一关键条件。2.总结牛吃草问题的基本公式和解题步骤：先根据已知条件求出草的生长速度和原有草量。再根据问题，利用公式求出相应的未知量，如牛的头数、吃的天数等。3.鼓励学生在课后多做一些类似的练习题，加深对牛吃草问题的理解和掌握。

（六）课后作业1.有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。2.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？

五、教学反思在本次牛吃草问题的教学中，通过多种教学方法相结合，让学生逐步理解和掌握了这一复杂的数学问题。从导入环节的实际情境引入，激发了学生的学习兴趣，使他们能够积极参与到后续的学习中。在知识讲解部分，详细阐述了牛吃草问题的基本概念、公式及推导过程，通过具体例题的讲解，让学生清晰地看到如何运用公式解决问题。课堂练习环节及时巩固了所学知识，通过巡视指导发现学生在理解和运用公式上存在一些问题，如草的生长速度计算错误、原有草量的计算混淆等，在后续教学中需要加强针对性练习。课堂小结对本节课的重点内容进行了回顾总结，有助于学生加深记忆