解三角形的教学设计 高三公开课

解三角形的教学设计高三公开课一、教学目标1.知识与技能目标学生能够熟练掌握正弦定理、余弦定理及其变形公式。能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与三角形有关的实际问题，如测量距离、高度、角度等。理解三角形面积公式的多种形式，并能灵活运用其解决相关问题。2.过程与方法目标通过对正弦定理、余弦定理的推导过程，培养学生的逻辑推理能力和数学探究能力。在解决实际问题的过程中，引导学生学会分析问题、建立数学模型，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。通过课堂练习和小组讨论，让学生体会数学知识之间的联系和综合应用，培养学生的合作交流能力和运算求解能力。3.情感态度与价值观目标通过对解三角形问题的学习，让学生感受数学在实际生活中的广泛应用，提高学生学习数学的兴趣。在解决问题的过程中，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生学好数学的信心。

二、教学重难点1.教学重点正弦定理和余弦定理的推导及应用。利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的各类问题，包括边和角的求解、三角形面积的计算等。2.教学难点正弦定理和余弦定理的多种证明方法及灵活应用。根据已知条件，合理选择正弦定理或余弦定理解决问题，并能准确判断解的个数。实际问题的数学建模，将实际问题转化为解三角形问题。

三、教学方法1.讲授法：讲解正弦定理、余弦定理的概念、推导过程和应用，使学生系统地掌握基础知识。2.讨论法：组织学生对一些典型例题和实际问题进行讨论，鼓励学生积极思考、发表见解，培养学生的合作交流能力和思维能力。3.练习法：通过课堂练习和课后作业，让学生及时巩固所学知识，提高运用能力。4.启发式教学法：在教学过程中，通过提问、引导等方式启发学生自主思考，培养学生的探究能力。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）利用多媒体展示一些生活中与三角形有关的实际问题图片，如：测量河对岸两点间的距离。测量山顶的高度。确定航海中船只的位置和航向等。

提问学生："如何解决这些问题呢？这就需要用到我们今天要学习的解三角形的知识。"从而引出课题解三角形。

（二）知识讲解（20分钟）1.正弦定理首先，在一个三角形中，引导学生观察三角形的边与角之间的关系。通过在不同类型的三角形（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）中测量各边和角的数据，让学生计算比值\(\frac{a}{\sinA}\)、\(\frac{b}{\sinB}\)、\(\frac{c}{\sinC}\)。然后，让学生发现规律：在任意三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}\)。接下来，给出正弦定理的严格证明。证法一：（利用三角形的面积公式）已知\(\triangleABC\)，设\(BC=a\)，\(CA=b\)，\(AB=c\)。作\(AD\perpBC\)，垂足为\(D\)。则\(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}BC\cdotAD=\frac{1}{2}a\cdotc\sinB=\frac{1}{2}a\cdotb\sinC\)。所以\(c\sinB=b\sinC\)，即\(\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}\)。同理可得\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}\)，从而证得正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}\)。证法二：（利用外接圆）设\(\triangleABC\)的外接圆半径为\(R\)，圆心为\(O\)。连接\(BO\)并延长交圆于\(A'\)，连接\(A'C\)。因为\(A'A\)是直径，所以\(\angleA'CB=90^{\circ}\)，\(\angleA'=\angleA\)。在\(Rt\triangleA'BC\)中，\(\sinA'=\frac{BC}{A'B}\)，即\(\sinA=\frac{a}{2R}\)，所以\(a=2R\sinA\)。同理可得\(b=2R\sinB\)，\(c=2R\sinC\)，即\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R\)。最后，讲解正弦定理的变形公式：\(a=2R\sinA\)，\(b=2R\sinB\)，\(c=2R\sinC\)；\(\sinA=\frac{a}{2R}\)，\(\sinB=\frac{b}{2R}\)，\(\sinC=\frac{c}{2R}\)；\(a:b:c=\sinA:\sinB:\sinC\)。2.余弦定理同样地，先让学生观察三角形的边与角之间的另一种关系。通过在三角形中测量三边长度和一个角的度数，利用勾股定理和三角函数的知识，引导学生推导出余弦定理。对于任意三角形\(ABC\)，有\(a^{2}=b^{2}+c^{2}2bc\cosA\)，\(b^{2}=a^{2}+c^{2}2ac\cosB\)，\(c^{2}=a^{2}+b^{2}2ab\cosC\)。证明余弦定理：以\(a^{2}=b^{2}+c^{2}2bc\cosA\)为例。已知\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\overrightarrow{AB}\)，则\(\overrightarrow{BC}^{2}=(\overrightarrow{AC}\overrightarrow{AB})^{2}\)。即\(a^{2}=b^{2}+c^{2}2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}\)。又因为\(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AC}|\cdot|\overrightarrow{AB}|\cosA=bc\cosA\)，所以\(a^{2}=b^{2}+c^{2}2bc\cosA\)。同理可证其他两个式子。讲解余弦定理的变形公式：\(\cosA=\frac{b^{2}+c^{2}a^{2}}{2bc}\)，\(\cosB=\frac{a^{2}+c^{2}b^{2}}{2ac}\)，\(\cosC=\frac{a^{2}+b^{2}c^{2}}{2ab}\)。

（三）例题讲解（20分钟）1.利用正弦定理解三角形例1：在\(\triangleABC\)中，已知\(A=30^{\circ}\)，\(B=45^{\circ}\)，\(a=2\)，求\(b\)，\(c\)和\(C\)。解：由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}\)，可得\(b=\frac{a\sinB}{\sinA}\)。已知\(A=30^{\circ}\)，\(B=45^{\circ}\)，\(a=2\)，则\(b=\frac{2\sin45^{\circ}}{\sin30^{\circ}}=\frac{2\times\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=2\sqrt{2}\)。因为\(A+B+C=180^{\circ}\)，所以\(C=180^{\circ}AB=180^{\circ}30^{\circ}45^{\circ}=105^{\circ}\)。又因为\(\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC}\)，所以\(c=\frac{a\sinC}{\sinA}=\frac{2\sin105^{\circ}}{\sin30^{\circ}}\)。而\(\sin105^{\circ}=\sin(60^{\circ}+45^{\circ})=\sin60^{\circ}\cos45^{\circ}+\cos60^{\circ}\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)。则\(c=\frac{2\times\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{6}+\sqrt{2}\)。总结：利用正弦定理可以解决已知两角和一边求其他边和角的问题。2.利用余弦定理解三角形例2：在\(\triangleABC\)中，已知\(a=7\)，\(b=3\)，\(c=5\)，求最大角和\(\sinC\)。解：因为\(a\)最大，所以\(A\)为最大角。由余弦定理\(\cosA=\frac{b^{2}+c^{2}a^{2}}{2bc}\)，可得\(\cosA=\frac{3^{2}+5^{2}7^{2}}{2\times3\times5}=\frac{9+2549}{30}=\frac{1}{2}\)。因为\(0^{\circ}\ltA\lt180^{\circ}\)，所以\(A=120^{\circ}\)。再由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC}\)，可得\(\sinC=\frac{c\sinA}{a}\)。已知\(a=7\)，\(c=5\)，\(A=120^{\circ}\)，则\(\sinC=\frac{5\times\sin120^{\circ}}{7}=\frac{5\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{7}=\frac{5\sqrt{3}}{14}\)。总结：利用余弦定理可以解决已知三边求角的问题，先求出最大角，再利用正弦定理求其他角的正弦值。3.正弦定理和余弦定理的综合应用例3：在\(\triangleABC\)中，\(a\cosB+b\cosA=2c\cosC\)，求\(C\)。解：由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R\)（\(R\)为外接圆半径），可得\(a=2R\sinA\)，\(b=2R\sinB\)，\(c=2R\sinC\)。将其代入\(a\cosB+b\cosA=2c\cosC\)中，得到：\(2R\sinA\cosB+2R\sinB\cosA=2\times2R\sinC\cosC\)。根据两角和的正弦公式\(\sin(A+B)=\sinA\cosB+\sinB\cosA\)，可得：\(\sin(A+B)=2\sinC\cosC\)。因为\(A+B+C=180^{\circ}\)，所以\(A+B=180^{\circ}C\)，则\(\sin(A+B)=\sin(180^{\circ}C)=\sinC\)。所以\(\sinC=2\sinC\cosC\)。因为\(0^{\circ}\ltC\lt180^{\circ}\)，所以\(\sinC\neq0\)，两边同时除以\(\sinC\)得：\(2\cosC=1\)，即\(\cosC=\frac{1}{2}\)，所以\(C=60^{\circ}\)。总结：在解决此类综合问题时，需要灵活运用正弦定理和余弦定理，将已知条件进行合理转化。

（四）课堂练习（15分钟）1.在\(\triangleABC\)中，已知\(a=8\)，\(B=60^{\circ}\)，\(C=75^{\circ}\)，求\(b\)。2.在\(\triangleABC\)中，已知\(a=5\)，\(b=4\)，\(\cos(AB)=\frac{31}{32}\)，求\(c\)。3.在\(\triangleABC\)中，\(a\)，\(b\)，\(c\)分别是角\(A\)，\(B\)，\(C\)所对的边，且\(a=3\)，\(b=\sqrt{6}\)，\(A=60^{\circ}\)，求\(C\)。

让学生在练习本上独立完成，教师巡视指导，及时纠正学生的错误，最后进行点评，讲解解题思路和方法。

（五）课堂小结（5分钟）1.请学生回顾正弦定理、余弦定理的内容及其推导过程。2.总结利用正弦定理、余弦定理解三角形的常见题型和方法。3.强调在解决问题时需要注意的事项，如解的个数的判断、公式的正确运用等。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业：教材课后习题第[X]页第[X]、[X]、[X]题。2.拓展作业：在\(\triangleABC\)中，已知\(a\)，\(b\)，\(c\)满足\(a^{2}+b^{2}c^{2}=ab\)，且\(2\cosA\sinB=\sinC\)，判断\(\triangleABC\)的形状。如图，为了测量河对岸两点\(A\)，\(B\)之间的距离，在河岸这边取点\(C\)，\(D\)，测得\(\angleADC=85^{\circ}\)，\(\angleBDC=60^{\circ}\)，\(\angleACD=47^{\circ}\)，\(\angleBCD=72^{\circ}\)，\(CD=100m\)，求\(A\)，\(B\)之间的距离。（结果保留整数）

五、教学反思通过本节课的教学，学生对正弦定理和余弦定理有了较深入的理解和掌握，能够运用这两个定理解决一些简单的三角形问题。在教学过程