四川省成都市第四十九中学校2024-2025学年高二下学期3月监测考试数学试题（原卷版+解析版）

成都四十九中高2023级高二下学期3月监测考试数学试题卷一、单选题1.是数列的（）A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项2.已知等差数列中，，则等于（）A.56 B.53 C.55 D.543.由公差的等差数列组成一个新的数列，下列说法正确的是（）A.新数列不是等差数列 B.新数列是公差为d等差数列C.新数列是公差为2d的等差数列 D.新数列是公差为3d的等差数列4.中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走252里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.则最后一天走了（）A.4里 B.16里 C.64里 D.128里5.正项等比数列中，是方程的两根，则的值是（）A.2 B.3 C.4 D.56.等差数列中，，，设，则（）A.281 B.651 C.701 D.7917.已知函数，则（）A. B. C. D.8.已知数列满足，，若成立，则的最大值为（）A.4 B.6 C.8 D.10二、多选题9.已知等比数列的公比为且成等差数列，则的值可能为（）A. B.1 C.2 D.310.已知等差数列的前项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（）A. B. C.当时，取得最小值 D.11.2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，这个政策就是我们所说的“双减”政策，“双减”政策极大缓解了教育的“内卷”现象，而“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示.如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.设正方形边长为，后续各正方形边长依次为，，…，，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为，，…，，….下列说法正确的是（）A.从正方形开始，连续3个正方形的面积之和为B.使得不等式成立的最大值为4C.D.数列的前项和三、填空题12.在等差数列中，，，求____13.数列满足：，数列的前项和记为，则______．14.若正整数m，n的公约数只有1，则称m，n互质.对于正整数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数.函数以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如，则.若数列的前n项和为，则____________.四、解答题15.在等差数列中，已知公差，．（1）判断和是否是数列中的项．如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．（2）求数列的前项和．16已知数列，若，且．（1）证明数列是等比数列，并求出的通项公式；（2）若，且数列的前项和为，求．17.等比数列中，，数列的前n项和.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前n项和，求.18.年月日，小刘从各个渠道融资万元，在某大学投资一个咖啡店，年月日正式开业，已知开业第一年运营成本为万元，由于工人工资不断增加及设备维修等，以后每年成本增加万元，若每年的销售额为万元，用数列表示前年的纯收入．（注：纯收入前年的总收入前年的总支出投资额）（1）试求年平均利润最大时年份（年份取正整数）并求出最大值．（2）若前年的收入达到最大值时，小刘计划用前年总收入的对咖啡店进行重新装修，请问：小刘最早从哪一年对咖啡店进行重新装修（年份取整数）？并求小刘计划装修的费用．19.已知数列的相邻两项是关于的方程的两根，且.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前项和；（3）设函数，若对任意的都成立，求的取值范围．

成都四十九中高2023级高二下学期3月监测考试数学试题卷一、单选题1.是数列的（）A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项【答案】A【解析】【分析】利用观察法分析数列的规律即可.【详解】观察条件式可知原数列为：，而，即为第6项，故选：A2.已知等差数列中，，则等于（）A.56 B.53 C.55 D.54【答案】D【解析】【分析】利用计算公差，根据等差数列的求和公式即可得到结果.【详解】由得，故，则.故选：D.3.由公差的等差数列组成一个新的数列，下列说法正确的是（）A.新数列不是等差数列 B.新数列是公差为d的等差数列C.新数列是公差为2d的等差数列 D.新数列是公差为3d的等差数列【答案】C【解析】【分析】结合已知根据等差数列定义判断即可.【详解】因为，所以数列是公差为2d的等差数列.故选：C4.中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走252里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.则最后一天走了（）A.4里 B.16里 C.64里 D.128里【答案】A【解析】【分析】先根据题意转化为等比数列模型，相当于求，直接套公式求即可.【详解】由题意得此人每天走的路程构成公比为的等比数列，且前6项和为252.设首项为，则有，解得：=128.∴故选：A【点睛】（1）数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；（2）等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换．5.正项等比数列中，是方程的两根，则的值是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】由韦达定理、等比数列性质以及对数运算即可得解.【详解】由题意得，所以.故选：A.6.在等差数列中，，，设，则（）A.281 B.651 C.701 D.791【答案】C【解析】【分析】根据给定条件,求出等差数列的公差及通项公式,判断正数、负数项,再求出.【详解】等差数列中,由,得公差,则,显然当时,,当时,,所以故选：C7.已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用倒序相加法，可得答案.【详解】，，故选：B.8.已知数列满足，，若成立，则的最大值为（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】【分析】分析可知数列是首项为3，公差为1的等差数列，进而可得，根据题意利用裂项相消法可得，运算求解即可.【详解】因为数列满足，，可得，可得数列是首项为3，公差为1的等差数列，则，即，则，可得，因为，可得，解得，即所求的最大值为6.故选：B.二、多选题9.已知等比数列的公比为且成等差数列，则的值可能为（）A. B.1 C.2 D.3【答案】AC【解析】【分析】运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比的值．【详解】因为成等差数列，所以，因为.又是公比为的等比数列，所以由，得，即，解得或.故选：10.已知等差数列的前项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（）A. B. C.当时，取得最小值 D.【答案】BC【解析】【分析】由题意得，结合等差数列求和公式可判断ABD；进一步有，由此可判断C.【详解】由题意可知，故B正确D错误；所以，故A错误；而，所以当时，取得最小值，故C正确.故选：BC.11.2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，这个政策就是我们所说的“双减”政策，“双减”政策极大缓解了教育的“内卷”现象，而“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示.如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.设正方形边长为，后续各正方形边长依次为，，…，，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为，，…，，….下列说法正确的是（）A.从正方形开始，连续3个正方形的面积之和为B.使得不等式成立的的最大值为4C.D.数列的前项和【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，找出计算规律，得到，求得数列的通项公式，进而得到的通项公式，结合等比数列的性质和求和公式，逐项判定，即可求解.【详解】根据题意，可得，，所以，所以数列是以4为首项，以为公比的等比数列，所以，所以C正确；由连续3个正方形的面积之和为，所以A正确；又由，即，所以，所以为等比数列，令，可得，因为，所以B不正确；又由，所以D正确.故选：ACD.三、填空题12.在等差数列中，，，求____【答案】484【解析】【分析】利用等差数列片段和性质有，结合已知求，即可得的值.【详解】由等差数列片段和的性质有，∴．∴故答案：48413.数列满足：，数列的前项和记为，则______．【答案】2191【解析】【分析】，对分类讨论，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出.【详解】数列是以公差的等差数列;.,数列是以公比的等比数列;..故答案为：2191.14.若正整数m，n的公约数只有1，则称m，n互质.对于正整数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数.函数以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如，则.若数列的前n项和为，则____________.【答案】【解析】【分析】根据的定义求得和，进而是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列前n项和公式计算即可求解.【详解】小于等于的正整数有，与不互质的数是2的倍数，即，共个，所以与互质的数有个，即；小于等于的正整数有，与不互质的数是3倍数，即，共个，所以与互质的数有个，即；所以，故数列是以为首项，为公比的等比数列，则.故答案为：四、解答题15.在等差数列中，已知公差，．（1）判断和是否是数列中的项．如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．（2）求数列的前项和．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解即可．（2）利用等差数列的前项和公式求解即可．【小问1详解】等差数列中，公差，，，，，令，，不是数列中的项，令，，是数列中的项，是第21项小问2详解】16.已知数列，若，且．（1）证明数列是等比数列，并求出的通项公式；（2）若，且数列的前项和为，求．【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义证明即可，求出的通项，即可得到的通项公式；（2）由（1）可得，则，利用裂项相消法求和即可.【小问1详解】因为，所以，又，所以，所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，则.【小问2详解】由（1）可得，所以，所以.17.等比数列中，，数列的前n项和.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前n项和，求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据求出公比，再代入求出，即可求出的通项公式，再根据作差即可求出的通项公式；（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可【小问1详解】设等比数列的公比为，在等比数列中，，，所以，所以，所以，所以，又数列的前项和，当时，当时，经检验当时也成立，所以.【小问2详解】因，所以，所以，，两式相减得，即，也即.18.年月日，小刘从各个渠道融资万元，在某大学投资一个咖啡店，年月日正式开业，已知开业第一年运营成本为万元，由于工人工资不断增加及设备维修等，以后每年成本增加万元，若每年的销售额为万元，用数列表示前年的纯收入．（注：纯收入前年的总收入前年的总支出投资额）（1）试求年平均利润最大时的年份（年份取正整数）并求出最大值．（2）若前年的收入达到最大值时，小刘计划用前年总收入的对咖啡店进行重新装修，请问：小刘最早从哪一年对咖啡店进行重新装修（年份取整数）？并求小刘计划装修的费用．【答案】（1）到年或年，年平均利润最大，最大值为万元；（2）小刘最早从年对咖啡店进行重新装修，计划装修费用为万元．【解析】【分析】（1）每年的运营成本构成一个等差数列，每年的销售额是一个常数列，根据题意，列出等式年平均利润为，之后应用基本不等式，结合求得结果；（2）由（1）知，利用二次函数的性质以及的条件，得到当或时，取得最大值，进而得到结果.【详解】（1）由条件可知，每年的运营成本构成首项为，公差为的等差数列，，则年平均利润为，由，当且仅当，即时取等号．但，且或时，．此时，取最大值．到年或年