2025版高考数学大一轮复习第十章概率1第1讲随机事件的概率新题培优练文含解析新人教A版

PAGE1-第1讲随机事务的概率[基础题组练]1．(2024·宁夏银川四校联考)下列结论正确的是()A．事务A的概率P(A)必满足0＜P(A)＜1B．事务A的概率P(A)＝0.999，则事务A是必定事务．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行冶疗，结果有380人有明显的疗效，现有一名胃溃疡病人服用此药，则估计有明显的疗效的可能性为76%D．某奖券中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，肯定有5张中奖解析：选C.由概率的基本性质可知，事务A的概率P(A)满足0≤P(A)≤1，故A错误；必定事务的概率为1，故B错误；某奖券中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，不肯定有5张中奖，故D错误．故选C.2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产状况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件产品是正品(甲级)的概率为()A．0.95 B．0.97C．0.92 D．0.08解析：选C.记抽检的产品是甲级品为事务A，是乙级品为事务B，是丙级品为事务C，这三个事务彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为eq\f(1,7)，都是白子的概率是eq\f(12,35)，则从中随意取出2粒恰好是同一色的概率是()A.eq\f(1,7) B.eq\f(12,35)C.eq\f(17,35) D．1解析：选C.设“从中取出2粒都是黑子”为事务A，“从中取出2粒都是白子”为事务B，“随意取出2粒恰好是同一色”为事务C，则C＝A∪B，且事务A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35).即随意取出2粒恰好是同一色的概率为eq\f(17,35).故选C.4．设A与B是互斥事务，A，B的对立事务分别记为eq\o(A,\s\up10(－))，eq\o(B,\s\up10(－))，则下列说法正确的是()A．A与eq\o(B,\s\up10(－))互斥 B．eq\o(A,\s\up10(－))与eq\o(B,\s\up10(－))互斥C．P(A＋B)＝P(A)＋P(B) D．P(eq\o(A,\s\up10(－))＋eq\o(B,\s\up10(－)))＝1解析：选C.依据互斥事务的定义可知，A与eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))都有可能同时发生，所以A与eq\o(B,\s\up6(－))互斥，eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))互斥是不正确的；P(A＋B)＝P(A)＋P(B)正确；eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))既不肯定互斥，也不肯定对立，所以D错误．5．某城市2024年的空气质量状况如下表所示：污染指数T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为稍微污染，则该城市2024年空气质量达到良或优的概率为________．解析：由题意可知2024年空气质量达到良或优的概率为P＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)6．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有________个．解析：由题意知，摸出黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.设黑球有n个，则eq\f(0.42,21)＝eq\f(0.3,n)，故n＝15.答案：157．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，结果如下：贫困地区参与测试的人数3050100200500800得60分以上的人数162752104256402得60分以上的频率发达地区参与测试的人数3050100200500800得60分以上的人数172956111276440得60分以上的频率(1)计算两地区参与测试的儿童得60分以上的频率(保留两位小数)；(2)依据频率估计两地区参与测试的儿童得60分以上的概率．解：(1)贫困地区表格从左到右分别为0.53，0.54，0.52，0.52，0.51，0.50；发达地区表格从左到右分别为0.57，0.58，0.56，0.56，0.55，0.55.(2)依据频率估计贫困地区参与测试的儿童得60分以上的概率为0.52，发达地区参与测试的儿童得60分以上的概率为0.56.8．(2024·高考北京卷)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类其次类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟变更投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变更．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变更，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率削减0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，获得好评的第四类电影的部数是200×0.25＝50.故所求概率为eq\f(50,2000)＝0.025.(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.故所求概率估计为1－eq\f(372,2000)＝0.814.(3)增加第五类电影的好评率，削减其次类电影的好评率．[综合题组练]1．下列结论正确的是()A．若事务A，B互斥，则P(A)＋P(B)＜1B．若事务A，B对立，则P(AB)＝0C．对随意事务A，B，P(AB)＜P(A)或P(AB)＜P(B)D．对随意事务A，B，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)解析：选B.互斥事务包含对立事务，所以P(A)＋P(B)≤1，所以A不正确；因为A，B对立，所以A，B不行能同时发生，故P(AB)＝0，B正确；若A＝B，则P(AB)＝P(A)＝P(B)，所以C不正确；若A，B可能同时发生，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以D不正确．2．掷一个骰子，事务A为“出现的点数为偶数”，事务B为“出现的点数小于6”，记事务A，B的对立事务为eq\o(A,\s\up6(－))，eq\o(B,\s\up6(－))，则P(eq\o(A,\s\up6(－))＋eq\o(B,\s\up6(－)))＝()A.eq\f(5,6) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,6)解析：选B.因为P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(5,6)，所以P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－eq\f(5,6)＝eq\f(1,6)，事务eq\o(A,\s\up6(－))为“出现的点数为奇数”，eq\o(B,\s\up6(－))为“出现的点数为6”，明显eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))互斥，所以P(eq\o(A,\s\up6(－))＋eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))＋P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).3．随着互联网的普及，网上购物已渐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满足状况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种状况回答)，统计结果如下表：满足状况不满足比较满足满足特别满足人数200n21001000依据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满足”或“满足”的概率为________．解析：由题意，n＝4500－200－2100－1000＝1200，所以对网上购物“比较满足”或“满足”的人数为1200＋2100＝3300，所以对网上购物“比较满足”或“满足”的概率为eq\f(3300,4500)＝eq\f(11,15).答案：eq\f(11,15)4．已知随机事务A，B互斥，其发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝3a－4，则实数a的取值范围为________．解析：由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜2－a＜1，,0＜3a－4＜1，,2－a＋（3a－4）≤1，))解得eq\f(4,3)＜a≤eq\f(3,2).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(3,2)))5.(应用型)如图，从A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用频率估计相应的概率为44÷100＝0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，因为P(A1)＞P(A2)，所以甲应选择L1.同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，因为P(B1)＜P(B2)，所以乙应选择L2.6．(应用型)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，支配一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市全部顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简洁随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×