二次函数实际问题教案

二次函数实际问题教案一、教学目标1.知识与技能目标学生能够理解二次函数在实际问题中的应用，掌握通过建立二次函数模型来解决最值等实际问题的方法。能根据实际问题中的数量关系，准确列出二次函数的表达式，并确定自变量的取值范围。2.过程与方法目标通过分析实际问题，经历建立二次函数模型并求解的过程，培养学生的数学建模能力和逻辑思维能力。体会函数思想在解决实际问题中的作用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。3.情感态度与价值观目标通过解决实际问题，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生的数学应用意识和实践能力。

二、教学重难点1.教学重点建立二次函数模型解决实际问题。确定二次函数表达式中自变量的取值范围。利用二次函数的性质求实际问题中的最值。2.教学难点如何引导学生将实际问题转化为二次函数模型。根据实际情况准确确定自变量的取值范围，并理解其对函数最值的影响。

三、教学方法1.讲授法：讲解二次函数实际问题的基本概念、解题方法和步骤，使学生系统地掌握知识。2.讨论法：组织学生对实际问题进行讨论，鼓励学生积极思考，发表自己的见解，培养学生的合作交流能力和思维能力。3.练习法：通过适量的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力，及时反馈学生对知识的掌握情况。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.展示一些生活中与二次函数相关的图片，如抛物线形状的桥梁、喷泉等，引导学生观察并思考这些现象与二次函数有什么联系。2.提问学生在之前的学习中，二次函数有哪些重要的性质，如顶点坐标、对称轴等，为后续解决实际问题做铺垫。

（二）知识讲解（15分钟）1.二次函数在实际问题中的应用类型面积问题：例如，用一定长度的篱笆围成矩形场地，求矩形面积的最大值。设矩形的一边长为x，根据篱笆长度表示出另一边长，进而得到面积关于x的二次函数表达式。利润问题：某商品的进价为每件a元，售价为每件b元，每天可销售m件。经市场调查发现，若每件商品每涨价x元，每天的销售量就减少n件。求每天的利润y与x之间的函数关系式及最大利润。利润=（售价进价）×销售量，根据已知条件列出函数表达式。运动问题：物体做抛物运动时，其高度h与水平距离x之间的关系可以用二次函数来表示。例如，一个小球从一定高度水平抛出，求小球运动轨迹的相关问题。2.建立二次函数模型的一般步骤分析问题：仔细阅读题目，明确已知条件和所求问题，找出问题中的等量关系。设未知数：根据问题的特点，选择合适的变量设为未知数，通常设自变量为x，因变量为y。列函数表达式：根据等量关系，用含x的代数式表示出其他相关量，进而列出y关于x的二次函数表达式。确定自变量的取值范围：结合实际问题的意义，确定自变量x的取值范围。例如，在面积问题中，边长不能为负数；在销售问题中，价格上涨或下降的幅度要符合实际情况等。求解函数问题：利用二次函数的性质，如顶点坐标公式、对称轴公式等，求出函数的最值或其他相关问题的解。

（三）例题讲解（20分钟）1.面积问题例1：用长为40m的篱笆围成一个矩形养鸡场，设矩形的一边长为xm，面积为ym²。求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。当x为何值时，养鸡场的面积最大？最大面积是多少？分析：因为矩形的周长为40m，一边长为xm，则另一边长为(20x)m，所以面积y=x(20x)=x²+20x。由于边长不能为负数，所以0<x<20。对于二次函数y=x²+20x，其a=1，b=20，根据顶点坐标公式x=b/(2a)=20/[2×(1)]=10，把x=10代入函数可得y=10²+20×10=100。所以当x=10m时，养鸡场面积最大，最大面积是100m²。2.利润问题例2：某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件。设每件衬衫降价x元，商场每天盈利y元。求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。当每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？最多盈利是多少？分析：原来每件盈利40元，降价x元后每件盈利(40x)元；原来每天销售20件，降价后每天销售(20+2x)件。所以盈利y=(40x)(20+2x)=2x²+60x+800。因为降价不能使盈利为负数，且要符合市场实际情况，所以0≤x≤40。对于二次函数y=2x²+60x+800，a=2，b=60，根据顶点坐标公式x=b/(2a)=60/[2×(2)]=15，把x=15代入函数可得y=2×15²+60×15+800=1250。所以当每件衬衫降价15元时，商场每天盈利最多，最多盈利是1250元。

（四）课堂练习（15分钟）1.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m³，深为3m。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？2.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

（五）课堂小结（5分钟）1.请学生回顾本节课所学内容，总结建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤。2.强调确定自变量取值范围的重要性以及如何根据实际情况准确确定取值范围。3.让学生分享在本节课学习过程中的收获和遇到的问题。

（六）布置作业（5分钟）1.必做题：课本P[具体页码]练习第[具体题号]题，习题第[具体题号]题。2.选做题：某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台。为了配合国家"家电下乡"政策的实施，商场决定采取适当的降价措施。调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台。假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式。商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？

五、教学反思通过本节课的教学，学生对二次函数在实际问题中的应用有了一定的认识和理解，掌握了建立二次函数模型解决实际问题的基本方法。在教学过程中，通过实际问题的引入，激发了学生的学习兴趣，让学生感受到数学的实用性。但在教学中也发现了一些问题，部分学生在将实际问题转化为二次函数模型时还存在困难，需要进一步加强引导和训练。在确定自变量