工程流体力学答案陈卓如第四章

工程流体力学答案陈卓如第四章一、第四章习题及解答

（一）思考题1.描述流体运动有哪两种方法？它们的区别和联系是什么？描述流体运动有拉格朗日法和欧拉法。区别：拉格朗日法是以研究单个流体质点的运动为基础，通过追踪每个流体质点的运动轨迹来描述整个流体的运动。它关注的是每个质点的位移、速度等随时间的变化。欧拉法是以研究流场中固定空间点上流体的运动为基础，描述流体在空间各点的运动参数（如速度、压力等）随时间的变化。联系：两者都用于描述流体的运动，拉格朗日法从质点个体角度出发，欧拉法从空间点的角度出发，通过一定的转换可以相互关联。例如，通过拉格朗日法得到的质点运动规律可以转换为欧拉法下的流场描述。2.什么是定常流动和非定常流动？试举例说明。定常流动是指流场中各空间点上的流动参数（如速度、压力等）不随时间变化的流动。例如，在一个稳定运行的管道系统中，流体的流速、压力等在各点处保持恒定，就是定常流动。非定常流动是指流场中至少有一个空间点上的流动参数随时间变化的流动。比如，在给一个水箱注水的过程中，水箱内不同位置的水位和流速随时间不断变化，这就是非定常流动。3.流线和迹线有什么区别？在什么情况下流线和迹线重合？区别：流线是某一时刻在流场中画出的一条曲线，曲线上每一点的切线方向与该点处流体的速度方向一致。流线表示的是同一时刻不同流体质点的运动方向。迹线是流体质点在一段时间内的运动轨迹。迹线反映的是单个流体质点在不同时刻的位置变化。流线和迹线重合的情况：在定常流动中，流线和迹线重合。因为定常流动时，流场中各点的速度不随时间变化，流体质点将沿着流线运动，所以流线和迹线一致。4.什么是流管、流束和总流？流管：在流场中，取一微小的封闭曲线，通过曲线上各点作流线，这些流线所形成的管状曲面称为流管。流束：流管内部的流体称为流束。流束可以看作是由无数个流体质点组成的。总流：由无数个微小流束组成的宏观流体流动称为总流。例如，一条河流、一个管道中的流体流动等都可以看作总流。5.连续性方程的物理意义是什么？它的理论依据是什么？物理意义：连续性方程反映了流体在流动过程中质量守恒的规律。即在没有流体源或汇的情况下，单位时间内通过流管任意截面的流体质量是相等的。理论依据：质量守恒定律。在流体流动过程中，虽然流体的形状可能发生变化，但质量不会凭空产生或消失。6.伯努利方程的物理意义是什么？它的应用条件有哪些？物理意义：伯努利方程表明在理想流体、定常流动情况下，沿同一流线，单位重量流体的动能、势能和压力能之和保持不变。它反映了流体在流动过程中各种能量之间的转换关系。应用条件：理想流体（即不可压缩、无黏性的流体）。定常流动。沿同一流线。7.什么是水头损失？它分为哪几类？水头损失是指流体在流动过程中由于黏性摩擦、局部阻碍等原因导致的机械能损失。分类：沿程水头损失：流体在等直径直管中流动时，由于流体与管壁之间的摩擦而产生的水头损失，用$h_f$表示。局部水头损失：流体在流经管道中的管件（如弯头、阀门等）、设备（如突然扩大或缩小的截面）等局部障碍处时，由于流速大小和方向的突然改变而引起的水头损失，用$h_j$表示。8.圆管层流和紊流的流速分布各有什么特点？圆管层流流速分布特点：呈抛物线分布，管轴处流速最大，管壁处流速为零，平均流速为最大流速的一半。圆管紊流流速分布特点：在紊流核心区，流速分布比较均匀，接近对数分布；在靠近管壁的黏性底层，流速呈线性分布。总体来说，紊流的流速分布比层流更均匀，平均流速也相对较大。

（二）习题1.已知流场的速度分布为$u=x+2t$，$v=yt$，$w=0$，求：（1）$t=1$时，通过点$(2,1)$的流线方程；（2）$t=0$时位于点$(1,1)$的流体质点在$t=1$时的位置。

解：（1）流线方程的微分方程为：\(\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}\)已知\(u=x+2t\)，\(v=yt\)，当\(t=1\)时，\(u=x+2\)，\(v=y1\)，则有：\(\frac{dx}{x+2}=\frac{dy}{y1}\)两边积分：\(\int\frac{dx}{x+2}=\int\frac{dy}{y1}\)\(\ln|x+2|=\ln|y1|+C\)\(x+2=C(y1)\)将点\((2,1)\)代入上式：\(2+2=C(11)\)，此时\(C\)无解，说明给定的速度分布在\(t=1\)时，通过点\((2,1)\)的流线方程为\(x+2=0\)（这是因为该点处\(v=0\)，流线与\(y\)轴平行）。

（2）由拉格朗日法，设\(t=0\)时位于点\((1,1)\)的流体质点坐标为\((a,b)\)，则有：\(a=1\)，\(b=1\)\(x=a+\int_{0}^{t}u(a+\int_{0}^{\tau}ud\tau,b+\int_{0}^{\tau}vd\tau,\tau)d\tau\)\(y=b+\int_{0}^{t}v(a+\int_{0}^{\tau}ud\tau,b+\int_{0}^{\tau}vd\tau,\tau)d\tau\)已知\(u=x+2t\)，\(v=yt\)，先求\(x\)：\(x=1+\int_{0}^{1}(1+2\tau)d\tau\)\(=1+[\tau+\tau^{2}]_{0}^{1}\)\(=1+(1+1)\)\(=3\)再求\(y\)：\(y=1+\int_{0}^{1}(1\tau)d\tau\)\(=1+[\tau\frac{1}{2}\tau^{2}]_{0}^{1}\)\(=1+(1\frac{1}{2})\)\(=\frac{3}{2}\)所以\(t=1\)时该流体质点的位置为\((3,\frac{3}{2})\)。

2.已知某二维流场的速度分布为\(u=x^2y^2\)，\(v=2xy\)，试证明该流场是无旋流场，并求其流函数。

解：（1）证明无旋流场：对于二维流场，旋度\(\omega_z=\frac{\partialv}{\partialx}\frac{\partialu}{\partialy}\)\(\frac{\partialv}{\partialx}=2y\)，\(\frac{\partialu}{\partialy}=2y\)则\(\omega_z=2y(2y)=0\)所以该流场是无旋流场。

（2）求流函数：由流函数与速度的关系\(u=\frac{\partial\psi}{\partialy}\)，\(v=\frac{\partial\psi}{\partialx}\)已知\(u=x^2y^2\)，则\(\frac{\partial\psi}{\partialy}=x^2y^2\)积分得：\(\psi=x^2y\frac{1}{3}y^3+f(x)\)又因为\(v=2xy\)，则\(\frac{\partial\psi}{\partialx}=2xy\)对\(\psi=x^2y\frac{1}{3}y^3+f(x)\)求\(x\)的偏导数：\(\frac{\partial\psi}{\partialx}=2xy+f^\prime(x)\)所以\(f^\prime(x)=0\)，取\(f(x)=0\)则流函数\(\psi=x^2y\frac{1}{3}y^3\)

3.如图41所示，水从水箱经一水平管道流出，水箱水位保持恒定。已知管道直径\(d_1=0.1m\)，\(d_2=0.05m\)，\(h=2m\)，不计水头损失，求管道内水的流量和管道出口处的流速。


解：根据伯努利方程，取水箱液面为11断面，管道出口为22断面，基准面为管道中心线。\(z_1+\frac{p_1}{\rhog}+\frac{v_1^2}{2g}=z_2+\frac{p_2}{\rhog}+\frac{v_2^2}{2g}+h_w\)因为水箱液面和管道出口处均与大气相通，\(p_1=p_2=p_a\)，且水箱液面流速\(v_1\approx0\)，不计水头损失\(h_w=0\)，\(z_1z_2=h=2m\)则\(h=\frac{v_2^2}{2g}\)\(v_2=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times9.8\times2}\approx6.26m/s\)根据连续性方程\(Q=A_1v_1=A_2v_2\)\(A_1=\frac{\pid_1^2}{4}=\frac{\pi\times(0.1)^2}{4}\)，\(A_2=\frac{\pid_2^2}{4}=\frac{\pi\times(0.05)^2}{4}\)\(Q=A_2v_2=\frac{\pi\times(0.05)^2}{4}\times6.26\approx0.0123m^3/s\)

4.如图42所示，水从水箱流入一水平管道，水箱水面与管道中心线的高差\(H=3m\)，管道直径\(d=0.05m\)，管道长度\(L=10m\)，沿程阻力系数\(\lambda=0.03\)，求管道内水的流量。


解：根据伯努利方程，取水箱液面为11断面，管道出口为22断面，基准面为管道中心线。\(z_1+\frac{p_1}{\rhog}+\frac{v_1^2}{2g}=z_2+\frac{p_2}{\rhog}+\frac{v_2^2}{2g}+h_w\)因为水箱液面和管道出口处均与大气相通，\(p_1=p_2=p_a\)，且水箱液面流速\(v_1\approx0\)，\(z_1z_2=H=3m\)则\(H=\frac{v_2^2}{2g}+h_f\)沿程水头损失\(h_f=\lambda\frac{L}{d}\frac{v_2^2}{2g}\)所以\(H=\frac{v_2^2}{2g}(1+\lambda\frac{L}{d})\)\(v_2=\sqrt{\frac{2gH}{1+\lambda\frac{L}{d}}}=\sqrt{\frac{2\times9.8\times3}{1+0.03\times\frac{10}{0.05}}}\approx2.14m/s\)流量\(Q=Av_2=\frac{\pid^2}{4}v_2=\frac{\pi\times(0.05)^2}{4}\times2.14\approx0.0042m^3/s\)

5.如图43所示，水从水箱经一收缩管道流入大气，水箱水位保持恒定。已知管道进口直径\(D=0.2m\)，出口直径\(d=0.1m\)，收缩段水头损失\(h_j=0.05v_2^2/2g\)，不计进口水头损失，求管道出口处的流速\(v_2\)。


解：根据伯努利方程，取水箱液面为11断面，管道出口为22断面，基准面为管道中心线。\(z_1+\frac{p_1}{\rhog}+\frac{v_1^2}{2g}=z_2+\frac{p_2}{\rhog}+\frac{v_2^2}{2g}+h_w\)因为水箱液面和管道出口处均与大气相通，\(p_1=p_2=p_a\)，且水箱液面流速\(v_1\approx0\)，\(z_1z_2=H\)（设水箱液面与管道出口高差为\(H\)）则\(H=\frac{v_2^2}{2g}+h_j\)由连续性方程\(A_1v_1=A_2v_2\)，\(A_1=\frac{\piD^2}{4}\)，\(A_2=\frac{\pid^2}{4}\)，可得\(v_1=\frac{d^2}{D^2}v_2\)又因为不计进口水头损失，\(h_j=0.05v_2^2/2g\)所以\(H=\frac{v_2^2}{2g}(1+0.05)\)\(v_2=\sqrt{\frac{2gH}{1.05}}\)将\(A_1v_1=A_2v_2\)代入伯努利方程可得：\(H=\frac{v_2^2}{2g}(1+0.05+\frac{A_2^2}{A_1^2}1)\)\(H=\frac{v_2^2}{2g}(0.05+\frac{d^4}{D^4})\)\(v_2=\sqrt{\frac{2gH}{0.05+\frac{d^4}{D^4}}}\)假设\(H=2m\)（题目未给出，自行假设以便计算）\(v_2=\sqrt{\frac{2\times9.8\times2}{0.05+\frac{(0.1)^4}{(0.2)^4}}}\approx5.83m/s\)

二、第四章重点知识总结

（一）流体运动的描述方法1.拉格朗日法以流体质点为研究对象，跟踪每个质点的运动轨迹、速度、加速度等随时间的变化。通过对单个质点运动的描述来构建整个流体