《函数与方程思想在高中数学中的应用研究15000字（论文）》

函数与方程思想在高中数学中的应用研究TOC\o"1-2"\h\z\u1绪论 11.1研究的意义 11.2研究内容 21.3研究方法 22函数与方程思想的理论基础 32.1函数与方程思想的含义 32.2函数与方程思想的联系 42.3函数与方程思想现有研究 43高中生学习函数与方程思想现状 53.1函数与方程思想调查目的、工具、对象 63.2数据收集与处理 63.3调查结果与结论 74提高高中生函数与方程思想应用水平的具体建议 164.1对学生的建议 164.2从性别因素提建议 174.3从年级方面提建议 185函数与方程思想方法的应用研究 205.1函数与方程的相互转化 205.2用函数与方程的思想解决关于不等式类型的问题 205.3用函数与方程的思想研究平面向量的问题 215.4函数与方程的思想在数列中的应用 215.5函数与方程思想在导数中的应用 236研究总结和启示 246.1研究总结 246.2研究的不足与展望 25参考文献 1摘要：学好数学，不仅仅包括掌握数学教材上的定义、定理等基础知识，更重要的是掌握所蕴含的数学思想和方法，函数与方程思想是高中数学中重要思想方法之一，是解决数学问题的一种工具，它贯穿于整个高中数学之中．本文采用问卷的方式从学生总体角度，性别角度，年级角度分析高中生学习函数与方程思想的现状，针对影响高中生函数与方程思想的性别因素与年龄因素提出相应的建议，并探讨函数与方程思想方法在不等式、平面向量、数列、导数中的应用．希望本研究可以为教师提供部分教学借鉴，提升教师教学质量，为学生学习数学提供一定的协助和引导．关键词：数学思想方法；函数与方程思想方法；应用1绪论1.1研究的意义生活中处处存在数学，从小到大，一直在接触，学好数学的意义在于可以利用数学的思想来帮助大家认识物质世界，引导人们把数学思维应用到实际生活中去，用数学逻辑看待问题，以推理性思维方式对信息进行整合和输出，找到解决问题的路径，许多看似完全不属于数学领域的问题，其实都需要用数学逻辑去解决.数学作为一门基础性的学科，同学们基本上从一开始学习就接触数学，在学习的过程中要求熟练掌握其中渗透的一些思维和方法，在大脑发育、逻辑能力的提高和综合能力发展等方面都体现出了至关重要的影响力，数学思想的教育贯穿于整个高中数学学习体系，涵盖在各个知识点领域，如函数、几何分析等，在高中阶段的数学学习中，培养学生的数学思想可以说至关重要，数学思想体现为应对和解决一切数学问题的思维能力以及其他学科、生活实践中处理问题的能力.这种思想不仅仅在数学领域发挥着作用，还渗透到现实的各方面，通过不断解决问题熟练运用这种思维方式，反过来使数学思维得到训练，能更灵活运用到其他问题上.

值得注意的是所提到的思想方法其实是属于一种工具的范畴，是利用数学解决实际问题必不可少的工具，只不过有些工具在日常生活中会经常用到，有些工具只是当一个摆设，但是归根结底，每种工具都有自身的作用和价值.这些工具就好像是代步的汽车一样，如果没有汽车，那么人类就无法远行，没有这些所谓的数学工具，就无法顺利的解决数学问题．把数学方法渗透到教学之中，突出数学工具的作用，体现出数学的实际价值和作用，实现数学教学和整个教育体系的实际运用目的，促进学生将课堂上掌握的知识充分内化，真正吸收和理解，构建出自身完整的知识体系．学生通过加强理论和生活的链接，把数学思想贯穿到解决问题的具体环节，通过发现、分析和推理、论证等思维惯性，不断提高用数学思想解决问题的意识，成为具备优秀数学能力的国家人才力量后备军.1.2研究内容（1）对象的选择本文选取的调研对象是昭通市民族中学的在校学生，这所学校位于云南省昭通市，在校高中生、初中生共有一千二百余人，教师共二百名．该学校颇具民族特色，除了普通的初中和高中班级，还特别设立了民族班级，师范班级、预科班级、少数民族专门班级等．根据本文研究的具体需要，选择了民族中学中高二年级文理科普通班学生作为调查对象进行问卷和测试卷调查．（2）研究内容本文将高中在校学生列为研究对象，将学生群体对于函数与方程思想方法掌握和认知情况作为调查要素，研究函数和方程思想的发展现状，并尝试探析函数与方程思想方法在测试卷中的应用研究．（3）研究的创新点创新点：对高中高一阶段函数，学生的理论数学逻辑思维进行有效的系统培养，是在新课改课程要求下数学学科核心素养培养的一个重要组成环节部分，在高中教学阶段一直以来起着非常关键性的指导作用．对于这一创新思想教育方法的学术论文虽然不在少数，但都仅仅只是停留在关于解决不同类型的考题，或者只是停留在关于解决中考、高考题，欠缺了对于高中阶段函数与数论方程学的思想教学方法及其数学实践现状上的分析．结合目前学生掌握程度，采用问卷法的方式对学生掌握的现状进行分析研究，以弥补这一研究空缺．1.3研究方法（1）问卷调查法．调查问题的设计主要包括以下几个方面：关于数学科目的兴趣情况、老师对该学科的教育现状、学生对于数学思想方法的认识与理解等等．民族中学高二共有20个班级，主要分重点班、瑞麟班，本次调查的调查对象范围是针对这两种班级的学生进行抽选的学生随机选择班级进行调查．（2）应用研究法．收集近期不同区域的重要测试中的试题，归纳函数和方程的思想在相关题目中的运用情况及出现概率，归纳出该方法在考核项目中的实际应用和出题偏好．（3）资料收集法．通过网络资料库查询和阅览室、图书馆调查资料，获得所需资源材料，进行分类和归纳整合．（4）文献研究法．查找相关问题的现有研究文献资料，研究、分析当前学术观点，结合当前实际和自身情况，做进一步探析论．2函数与方程思想的理论基础2.1函数与方程思想的含义函数基本思想教学方法是一种泛指用数学函数的一些基本概念和基本性质、方法来分析数学问题，并进行逻辑推理、解决问题的思想方法，它是一种抽象的思路，进而用来解决抽象问题的教学思想．它是高中数学阶段用来进行现代数学课程解题的一种重要思维指导方法和教学策略，通过考虑对应、运动、变化、相依等的关系，运用数学方法，从实践中善于挖掘问题并用数学逻辑思维寻找出解决问题的思路，到达化解具体问题的基本手段．由于数学函数较为抽象，学生单纯地想要依靠函数命题意义和基础理论知识解答抽象问题的学习难度很高，这就必然要求学生必须熟练一定的现代数学基本思想，才能达到化繁为简，才能达到正确有效地理清数学函数的基本性质，只有在实践中才能找到抽象化的问题，并找到抽象问题解决的突破口，进而才能达到完美地解答抽象问题的教学目标．高中阶段的数学学习综合程度较高，所涵盖的函数式数量多、复杂性强.特别是反比例函数、幂函数、复合函数，涉及的题目往往运算量很大，要求学生必须在熟练掌握基础公式的基础上反复练习，才能灵活掌握和运用．这些函数还常伴随着图形呈现，如定义域、值域和区间等．另外，有些函数还体现出与有物像之间的关联，这是由函数本身的特性决定的，如在方程和不等式等中的体现．这种函数式的思维引导方法在初中学习生活中它的应用非常普遍，它被广泛认为是在高中学习生活中最重要的一种思维引导方法．方程思想及应用：往往把所要探索和研究的一个问题当中未知量和其中的不同已知量之间形成一个相等大小或者数量的关系，通过构造一个方程来建立自己的方程，并且理解一个方程求出其中不同已知量的取值，这种将其中不同的未知量进行沟通，通过综合运算解决问题，得到答案的思想，就是一般意义上所称的方程思想．方程思想体现在生活实际中的各个方面，在学校中，单是体育运动轨迹就能反应出各种关于解析几何、数列等方程思想的具体应用．2.2函数与方程思想的联系函数与方程在思想上是紧密链接的，在数学基础理论上，方程被简单定义为“含有未知数的等式”，其实这种概括远不足以覆盖其本质内涵，甚至忽略了函数方程的模型思维，方程所展现的似乎是两边具体事物的等价特征，函数强调的则为特定事物的具体演化规律，这是二者之间的根本差别．函数方程的一个基础概念就是一个函数的实际图像和函数轴向的交点关系，作为坐标，函数也都同样可以被我们当作一个函数方程；某些函数的实际关系我们甚至可以简单地把它看成就是一个函数方程，某些函数的实际关系我们甚至可以简单地把它看成是一个函数的实际关系，在我们开始要求和理解某些实际数学问题时，函数与其中的一个方程概念思想常常都会发生相互转化并且相互联系渗透．所以，方程的概念思想与一个函数的概念思想之间必然有着密不可分的相互联系．而身为一个数学专业的学生，必须首先要充分弄清楚一个函数的概念思想和其中的一个方程概念思想之间的相互联系，才能更好地将其思想传授给学生．2.3函数与方程思想现有研究游丽琼的《函数与方程思想方法例谈》：主要详细介绍了等差，等比数列的各个通项公式，和项的求和及该公式与等差函数之间总是存在着很大的一种密切关系．主要阐述了等差函数与方程等比等差数列之间的密切关系，并试图透过若干例的问题分析来详细说明其实际上的应用．郭文元在《浅谈数学方法与数学思想概念内涵》中这样写道：新的数学课程标准要求数学教育必须要面向所有的全体学生，并且要体现其基础、普及和可持续发展的特征.数学方法与数学思想概念是我们在数学教学、数学科学技术研究中经常会碰到的两个重要观念．杨海珍、李艳在《数学思想方法的作用与渗透》中主要是对于介绍数学思想方法在数学教育中的作用，以及如何加强对数学思想方法的教育的主要路线等相关问题进行了初步的探讨．杨春元在《函数与方程思想在不等式数学中的应用》里运用的是相等关系这种常见方法，作为学生们常用的基本方法和熟悉的通道，研究数学中关于不等关系等．他的研究证明，通过列举实例代入的方法能够判断大小，充分体现了函数与方程思想的应用．通过函数图像能够得出不等式的相关求解集，运用列方程来表明不等式中的区域范围，搭建起各方面的具体应用．曾雪萍在其著作《函数与方程转化问题在高考题中的体现》中选取了高考数学试卷中的不同类型的题目，其中一类题目的特征是分别运用不同的考查方式，对学生掌握函数与方程的思想应用能力进行测评．具体来说，就是分段方程函数和方程时间的逻辑判断，针对分段方程中不同的实根交点转为两个分段函数里面的实际图像反映出来．又如选取2012年高考山东数学卷高考文科12题（该类试题主要考查一元二次分段函数与反比的实例分段函数的实际图像，函数与两个方程转化问题以及如何充分利用导函数理论来深入研究分段函数在数学性质的实际综合应用）：2012年高考福建语文卷15题（该类试题主要内容是重点考查一次分段方程函数，二次分段函数，新函的定义分段函数等几个方面的基础内容，考查分段函数和两个方程的基本关系，函数和两个方程之间的关系思想）．综上所述，现阶段关于函数与方程的思想研究已经存在大量文献，这个思想在各领域的应用价值和重要性不断吸引更多学者注入精力投入研究．3高中生学习函数与方程思想现状通过分析现有的研究文献，结合实际问卷资料收集的方法，对高中生群体在函数和思想方程学习领域的发展现状进行分析．本次调查问卷的选取对象是云南省昭通市民族中学的300名学生．根据问卷调查，首先能够清楚调查学生在学习函数与方程思想的过程中所呈现出来的学习态度、知识掌握情况等现状；其次是观察相关因素对于数学思想的掌握和应用方面的影响，如性别、年级、文理学科等，同时，给接下来研究学生函数与方程思想应用水平的其他具体问题作基础．3.1函数与方程思想调查目的、工具、对象3.1.1调查目的本研究的出发点是通过探析现阶段高中学生关于函数与方程思想的学习水平，进而探索高中生关于该思想的理解和应用．通过问卷调查方法，进一步掌握高中生在学习函数与方程的学习情况；并通过观察发现学生在运用函数与方程思想方法上存在缺陷和问题，针对所出现的问题，提出指导方案，为教师和学生提供一定的帮助．3.1.2调查工具本文使用了问卷调查的方法，通过实地采取数据，直观了解数学函数与方程思想在教育中的实际反映．问卷设计为函数与方程思想在高中数学中的应用（详见附录1）．本次调查研究，在问卷中一共做了9类问题设计，题目形式全部是选择，便于调查受众作答，同时节约时间成本.调查试卷中，前四道题和第八题的设计是为了了解学生关于基础知识理解，第五道题是考察关于学生的学习态度情况，第六道题是掌握学生利用函数与方程思想的意识，第5-6题是调查学生对函数于方程思想的运用情况，第7题和第9题是调查学生是否养成了良好的学习习惯．3.1.3调查对象本文选取的调研对象是昭通市民族中学的在校学生，具体把该民族中学高中生作为调查对象进行问卷调查．针对不同的年级采取总数量相同样本，为了保证调查结果的客观性和可参考价值，样本的采集来源分别平均取自于不同的班级．3.2数据收集与处理调查问卷的对象和收集情况：本次调查的学校针对学生高考文理科的不同，在高一的第二学期进行了班级分类，并且针对学生的学习能力水平对班级的情况进行了归类.为了保证调查结果更加客观有效，参考价值强，运用了随机抽样的方式，把高中全体学生作为整体样本进行采集，避免因为科目差别、学习水平的差异造成调查结果的偏差．本次调查分别从高中三个年级的学生中采样，每个年级发放100份问卷，共计三百份．问卷测试结束后，现场回收，其中高一年级回收99份（1人缺席），高二年级回收100份，高三年级回收96份（4人缺席），一共收回295份，回收率为98.3%．对收集的学生问卷调查进行阅读和审查，不存在作废的问卷，最终有效问卷为295份，有效率为98.3%．表3-1调查问卷有效的综合分布情况．表3-1有效问卷的分布性别高一高二高三合计女生474741135男生525355160合计9910096295接下来，对学生调查问卷结果进行认真统计、分析，计算各选项的百分比，同时采用统计软件Excel对所得数据进行输入、处理，制作表格、饼状图或柱状图，清晰反映各项情况．3.3调查结果与结论结合学生调查问卷以及调查问卷的结果，得出学生学习函数与方程思想时的现状，并总结出性别因素，年级因素对高中生函数与方程思想的理解与运用水平产生影响的结论．3.3.1从学生总体角度去分析（1）大部分同学对函数与方程思想的基础知识有一个基本的认识，但认知水平不高．以下表3-2和图3-1综合反映了学生关于函数与方程理解与认识的相关调查数据．表3-2学生对函数与方程的基础知识的认识内容选项1、你了解函数与方程思想的基本含义吗？非常了解10%基本了解78%不了解12%2、你对函数与方程思想的运算过程和步骤的掌握是否明确？清晰12%一般清晰62%不清晰26%图3-1通过表3-1，图3-2，发现约占10%的高中生对函数与方程的定义有一个准确的了解，有78%的高中生函数与方程的定义有一个基本的了解，对函数与方程的定义表示能够基本理解的占比约为12%；大概有12%的高中生表示清楚掌握函数与方程的基本步骤，约为62%的高中生能够基本清楚函数与方程的基本步骤，约26%的高中生表示关于函数与方程步骤的掌握情况为不清晰．由以上数据可得出结论：大部分学生对函数与方程的基础知识有一个基本的认识，但认知水平不高．（2）关于数学的学习态度，占比约为50%的高中生还认识不到数学思维的重要性，学习态度存在携带的情况，需要敲响警钟，进一步端正．表3-3，图3-2是老师在课堂上将函数与方程思想传授给学生的过程中，大家学习态度的反映情况．表3-3学习态度反馈情况表内容选项3、课堂上老师传达函数与方程思想时，你持什么样的学习态度？认真学习，主动思考57%简单听课，被动思考40%感觉无用，几乎不听3%图3-2根据表3-3和图3-2的数据统计情况，可以看出，在老师讲解函数与方程思想的过程中，态度特别端正并能主动思考问题的学生仅占57%.反观另外一个极端，有一小部分学生态度十分恶劣，课堂上根本不听老师讲课，更不会思考问题，这部分学生占比约3%．其余40%的学生态度一般，学习情况比较被动，学习的效果也很难让人满意．总结以上数据可以得知：综合计算有50%左右的高中生需要进一步提高学习积极性，端正基本态度．（3）有近一半的学生关于函数与方程思维的意识不够强．表3-4，图3-3是学生的函数与方程意识的统计结果．表3-4学生的函数与方程意识内容选项4、你会在课后总结有关函数与方程的题目吗？经常47%偶尔48%从不5%图3-3通过表3-3，图3-3发现有47%的学生的函数与方程意识比较强，约5%的学生这方面意识较弱．（4）学生对函数与方程思想的运用情况不容乐观．表3-4，图3-4是学生对函数与方程思想的运用情况的统计结果．表3-4学生对函数与方程思想的运用情况内容选项5、对于一道题，你能否判断是否需要利用函数与方程思想？能12%基本能51%不能37%图3-4根据表3-4以及图3-4，能够看出：调查受众学生中，约有51%能清楚判断出遇到一个问题是否需要函数与方程思想；约12%不能掌握函数与方程思想，37%的学生表示基本能利用函数与方程思想解决问题．通过以上数据分析可以得到结论：目前学生对函数与方程思想应用能力有待加强．（5）大部分学生的学习习惯不够科学合理．下表3-5及图3-5为学习习惯的调查数据．表3-5学生的学习习惯内容选项6、对于自己解题过程中出现错误的函数与方程题，是否经常自觉的改正，并对错误的原因进行分析？经常24%偶尔65%从不11%7、在解完一定量的函数与方程思想的题后，是否进行归纳和总结？经常20%偶尔52%从不28%图3-5通过表3-5，图3-5发现：只有24%的学生对自己在解决函数与方程问题中出现的错误能够做到及时改正，并探析和回顾错题原因；超过一半约为66%的学生没有把这种归纳总结的行为养成习惯，仅偶尔纠错；还有11%完全不纠错．另外，完成一个阶段的学习并做了一定数量的题目，仅占比20%的学生会对做题方法及错题情况等进行概括梳理，仅偶尔才会进行梳理的学生占比高达52%．通过以上调查情况分析得出：在数学学习中，养成较好习惯的学生仅占一少部分，大部分学生需要提高重视，进一步加强习惯的培养．3.3.2从性别的角度分析在被调查的300名同学中，有男生160名，女生135名．下面，根据学生调查问卷的数据，从性别的角度分析学生对函数与方程思想的理解与应用水平的影响．（1）男、女生对函数与方程思想的基础知识理解水平男生略微优于女生图3-6通过归纳问卷中第1题的相关数据可以看出，关于对函数与方程思想的定义水平的理解问题上，男生大概有88%“达到了基本了解的水平”，这个数据在女生群体中的占比表现为85%，男生和女生在这个问题上的比例虽有差别但不明显，几乎持平．通过分析第2题作答结果，对于分类讨论的一般步骤的认识水平，能够“达到基本清晰”程度的在男生中的占比约为79%，女生占比约为74%.女生稍微逊色于男生．（2）男、女生学习分类讨论时的学习态度没有明显差异从问卷题目中第5题的作答统计结果看出，在教师的授课过程中，逐渐渗透函数与方程的思想的时候，男生和女生在“听课的认真程度、思考的积极性”上基本上没有明显差异．男生“认真学习，主动思考”的占比是55%，女生是约57%，“态度为只是听听，思考比较被动”的学生中，男生占比为41%，女生占比为42%，“感觉根本没用，直接不听课”学生中男生占比4%，女生约有1%，男生的态度要稍差于女生，不过差别不是很大．（3）对函数与方程思想的理解、运用水平，男生明显强于女生.图3-7关于第7题的设定是这样的：面对数学题目，基本可以判断出是否使用函数与方程思想的人数中，男生占比为72%，女生明显占比较少，仅为56%；关于第8个题目，即面对数学题目时，可以基本确定研究对象并进行合理分析的学生中男生与女生的差距较大，男女生分别为68%和52%，这点值得引起重视和思考．（4）在函数与方程思想的学习习惯上，男生和女生各有特点，存在不同的优势图3-8根据关于第7题解答的整体情况，可以得知，在错题的纠正自觉性、深度挖掘错题原因方面，男生占比为27%，女生稍微偏低约为21%．根据第9题的调查结果显示，针对完成部分函数与方程的题目解答之后，经常对做过的同题目进行梳理和归纳的学生群体中，女生占比为21%左右，男生占比仅为13%，女生的整体总结习惯要比男生好.具有偶尔归纳行为的男生和女生占比不相上下，总体来说，男生有归纳行为的比例约为56%，低于女生占比64%的水平．通过对这两题的数据分析，可以发现：单纯地从学生对问题的思考程度进行分析，男生好于女生；单纯地从有无归纳总结的角度进行分析，女生明显好于男生．由此可得出结论：男、女生学习函数与方程思想时的学习习惯各有所长．3.3.3从年级角度进行分析（1）随年级的不断升高，学生们对函数与方程思想的理解在逐步加深调查数据显示，高中三个不同年级的人之间对于函数与数学思想方法的了解情况，能达到基本了解水平的，从高一到高三的占比分别为81%、87%、92%，随着年龄和年级的上升，呈现出理解加深的发展趋势．这个现象进一步证明数学思想的学习是一个循序渐进的过程，这不是一朝一夕的事情，需要不断地坚持．（2）随着年级的升高，学生对函数与方程的应用水平在逐步提高在对一道函数与方程问题进行求解时，高一年级只有43%的同学能够准确识别应用该方法，到高二年级变为64%，到高三年级这一数据变为76%．由以上数据得出，随着年级的升高，学生对函数与方程的应用在逐步提高．（3）随着年级的升高，学生的学习态度在逐步提高在课堂中接受函数与方程思想教育过程中，能够积极学习、主动思考的学生比例从高一到高三呈现出了逐级递增的表象．其中，高一学生中约有占比41%的人能够做到上课时认真学习、主动思考问题；高二学生中这个比例占到了54%，高三则上升为65%左右占比，呈现出明显的阶梯增长.学习态度随着年级增长日渐提升得到了证明．图3-9（4）高年级的学生比低年级的学生在学习习惯养成上普遍更好关于错题的纠错和分析，调查发现，针对函数与方程思想应用题目中出现的错误，可以主动进行纠错，且分析错因、进行总结的学生占比高一为15%、高二为27%高三为33%，能够做到经常纠错、整理总结的学生占比情况为高一15%、高二25%、高三31%.可以总结出结论：学生对着高中学习过程的推进，逐渐积累了纠正错误、总结归纳的习惯，随着年级增长，这个群体人数比例逐渐增加．图3-104提高高中生函数与方程思想应用水平的具体建议根据上一章的调查情况，尝试调查分析高中学生在函数与方程的思想方面的学习情况，并研究了学生群体对该思想的理解与应用能力有差别的导致因素，并深入探析了高中生在函数与方程思想学习中表现出来的障碍以及性别差异、年级差异等．接下来，本文将以调查数据和结论为基本依据，尝试提出几点对高中生函数与方程思想应用水平的几点建议．4.1对学生的建议4.1.1存在的问题根据第3章的调查结论，本文可得出学生在学习函数以方程思想时存在如下问题：（1）学生对函数与方程思想有一个基本的认识，但是认知水平不太高；（2）接近一半的学生学习态度不是很端正；（3）接近一半的学生对学习函数与方程意识不强；（4）学生对函数与方程思想的运用情况不容乐观；（5）大部分的学生有待养成良好的学习习惯．4.1.2提出建议对于学生在学习中存在的上述问题，提出以下几点建议：（1）增加学习力度，强化数学基础理论知识体系的牢固性在高中数学的整体课程中，运用函数与方程的思想拓展解题思路一直都是解决数学问题的重要方点，也是数学学习的难点．显而易见，学生培养数学思维能力是至关重要的，要想熟练并灵活御用函数与方程思想处理相关问题，需要在基础理论上牢固掌握函数与方程思想，端正学习态度，改良学习习惯，主动思考，培养善于发现问题、解决问题的良好习惯．扎实了解函数与方程思想的概念、原则以及应用步骤，把基础理论内化到个人的知识体系中，做到真正的扎实学习、灵活运用．基于此，当出现综合性高、复杂性强的难题时，都可以迎刃而解．（2）提高关于函数与方程思想的意识依据第3章的调查数据不难看出，占有相当比例的学生在数学问题的解答中缺乏函数与方程的思想，导致在解题过程中，没能及时地反映要用到函数与方程的思想．这就要求学生在教师的引导下，逐步提高自己函数与方程的意识．首先，学生可以求解一些简单的应用函数与方程思想的问题，感知对于什么样的问题需要应用函数与方程思想，然后根据自己已经掌握的知识，逐步加深所做函数与方程思想问题的难度，使自己的函数与方程思想意识增强．（3）端正自己的学习态度毛主席教育我们要振作精神，下苦功学习．同样，著名作家许杨曾经说过：“学习就像登上，只有坚持不懈的人，才能到达顶峰，并观赏到精美绝伦的风景”．由此可见，良好的学习态度对于学习的重要性．作为一名高中生，在人生的关键时刻，一定要端正自己的学习态度．（4）加强函数与方程思想方法相应题目的训练虽然函数与方程的思想入门难度不高，但如果想要深度掌握、并拥有灵活应用能力则有些困难．学生需要在掌握函数与方程的思想基础力量的前提下，加强题目训练，熟悉应用技巧，再结合到综合实践之中，加强和拔高自己的知识运用能力，真正做到学以致用．4.2从性别因素提建议4.2.1存在的问题根据第3章调查问卷的分析，可得出结论：（1）男、女生对函数与方程思想的基础知识理解水平男生略微优于女生；（2）男、女生学习函数与方程时的态度没有明显的差异；（3）对函数与方程思想的理解、运用水平，男生明显强于女生；（4）男、女生学习函数与方程思想时的学习习惯各有所长．4.2.2提出建议对于这种情况，提出以下建议：（1）以下三个不同的因素切入，探析男生在数学思想养成方面的优势产生的原因，进而思考帮助女生提高数学思想水平提升的办法．①生理因素：经科学研究反复论证，人类的右半球大脑发育情况中，男性比女性表现出内部链接更为发达的特性，而数学能力的管控区域位于大脑右半球.基于性别差别的先天性优势，男生在数学领域的学习更加容易，这就使得女生在数学学习的某些方面不具备优势．②心理因素：心理学家张厚粟等人经过实验发现，在高中生中，在较复杂和综合性较强的数学学习中，男生能自主的有主见的决定探索的方向，并且能够持之以恒，在遇到困难时不轻易放弃，有很强的自我控制能力，最后获得进步和成功．相比之下，女生比较缺乏独立思考的能力，遇到难题，比男生放弃的概率要更高一些，表现出来更被动、依赖性强的特点．③环境因素：历史条件和社会特性决定了男生具备耐力强、更理性等属性，而男生的社会评价与男生大相径庭，一般表现为细心、柔和、被动等，鉴于传统历史中男女社会分工不同，加上现代文明程度还不够，对于女生的弱势标签也从一定程度上削弱了女生学习数学思想的自信．通过以上探究，可以看出女生在数学学习方面更加需要加强学习态度的培养，注重数学思维能力的建设，正确接纳女性在数学学习上的弱势因素，摆脱依赖惯性．（2）注重女生思维品质的培养新课程理念要求以“学生为主体，教师为主导”的教学原则，因此在课堂上可以让女同学多多参与到课堂教学中来，充分发挥学生的主体作用，调动学生的积极性．（3）提高女生学习兴趣、树立自信心与男生相比，女生更倾向于形象的思维方式．鉴于这种特性，老师应该做出区别化的课程设计，针对女生更偏向于谆谆诱导的教学形式，更多地运用实际案例将把抽象的理论概念展现出来，培养女生的学习自信，在深入理解相关公式等基础知识的前提下，学会使用各种数学思维灵活运用，提高数学逻辑推理能力.具体来说，第一，应在教学中增加情景设计，将数学来源于实践、作用于生活的道理传输给学生；第二，尝试运用实例代入教学，使得学生能够充分理解和体会数学学科的实际应用价值．4.3从年级方面提建议4.3.1存在的问题根据第3章调查问卷的分析，本文可得出不同年级学习函数与方程思想存在如下结论：（1）随着年级的升高，学生对函数与方程思想的理解在逐步加深；（2）随着年级的升高，学生对函数与方程思想的应用水平在逐步提高；（3）随着年级的升高，学生的学习态度在逐步提高；（4）随着年级的升高，学生关于学习良好习惯上有提升趋势．4.3.2提出建议为了使学生在各个方面取得进步，提出如下几方面建议：（1）增设数学教育的研究实践活动．教学研究的出发点和目的都是为了优化教学方式、改善教学质量、提升学习效果．理想的教研活动能够起到增进老师间教育手段、专业技能、传授技巧、教育心得和先进经验等方面的互动交流，开展有效的教研活动，能够在交流和沟通中促使老师学习到各种教学方法，以便于在以后的教学中，选择最适合自身教育特点和班级学生具体情况的教学方法来进行教学．另外，还有利于使得教师认识到自己在教学中的不足并且发现其他老师具有的优点，取长补短，优化自己的教学方法．（2）注重校园的风气建设，营造良好的思想政治环境和校园学习氛围．学校要始终把重视风气树立，建设良好的学风，并将风气建设思想贯穿在学校治学的方方面面．搞好风气建设一方面能够在学校中以环境影响的方式强化学生的管理，严格落实学校各项规范的实施；另一方面，还可以鼓励学生主动参与到校园风气建设中来，增加参与感和主动性，通过这种方式促使学生们主动维持良好的校风和班风，构建良好的学习环境，从而保证学习质量．（3）创建多种形式的讲座活动，提高学生积极性．具体来说，可以规划和开展一些以爱国、励志为主题的知识讲座，增设名人名事的案例分享，帮助学生形成目标和志向，激发学习的主动性和能动性．通过分析讲座活动的开展成果，可以发现讲座的开展不仅能促进学生端正学习态度、培养优秀习惯，还能促使学生通过对比观察案例中的思考方法，进行思考和整合，内化成为自己的优秀品质，提高学习的最终成果．如果每个年级的学生都能在学习品质，学习态度，学习习惯上有所改变和提高的话，在一定的程度上会促进整个年级学生学习成绩的提高．5函数与方程思想方法的应用研究5.1函数与方程的相互转化例1：若，是正数，且满足，则的取值范围．思路：，是正数，可以构造二次方程，研究二次方程的根的分布处理问题．解析：设是正数，则，因此，是方程的两正根，故，所以，所以总结：构造法是函数与方程思想方法中经常用到的一个重要手段，其实质是在构造函数与方程后利用函数与方程的性质处理相关问题．5.2用函数与方程的思想解决关于不等式类型的问题数学中关于不等式的题目往往包含多个知识点的运用，如函数图像、方程式等．其中，二次函数问题一直是高中数学考查的重点，也是整个中学阶段数学的教育核心，因此，深度把握函数与方程思想解决二次函数和不等式之间的转化问题更显重要．例2：当时，不等式恒成立，，求的取值范围．解析：在这个题中有两个未知数和，其中，另一个未知量的取值范围就是我们需要求的解，此时我们需要先把和拆开，这个过程我们叫它分离．由分析可知，需要先移向，等价于永远大于的值即可．因此这道题成功的被转化成为求的值问题．由于，所以，则可以归纳出，解得：．总结：不等式是人教版高中必修五所学的内容，高二学生所接触的一个新的内容，随着年级的升高，学生对函数与方程思想的应用在逐步提高，所以该题难度比较适合高二的学生．5.3用函数与方程的思想研究平面向量的问题例3：已知，是互相垂直的单位向量，如果，，，则对于任意，，的最小值为．思路：考虑到本题有，两个参数，建立二元函数更有利于解决问题．解析：当且仅当，时，取得最小值2.此时取得最小值，故填．总结：平面向量最值问题更多的是利用向量的坐标运算，而本题是将平面向量问题转化为二元函数，进而求出最（小）值加以解决．5.4函数与方程的思想在数列中的应用高中的数学教育体系中一直将数列作为教学重点，属于考核比较集中的领域．由于数列所呈现的是一种特殊的形式，该部分知识点反应出来的数学思维包括函数与方程思想应用．通过引导学生运用函数和方程的思想来认识和解决数列问题，能够有利于学生从本质上把握数列的根本理论，处理和解决的思路得以清晰化和简化，鉴于此，函数知识在逻辑思维搭建的基础上融入数学知识体系，逐渐形成数学综合能力应用到具体问题中去．以数列中关于范围的问题，求最值的解答过程即可运用函数思想来完成．例4：设数列满足，．（1）计算，，推测的通项公式并证明．（2）求数列的前项和．解析：（1）由，，，，猜想的通项公式为．证明如下：（数学归纳法）时，显然成立；假设时，即成立；其中，①由②故假设成立，综上①②，所以解析：（2）令则前项和③由③两边同乘以2得：④由③—④得化简得．总结：该题是有关数列的一个综合性题目，试题的难度达到高考的难度．例5：设等比数列满足．（1）求数列的通项公式．（2）记为数列的前项的和.若，求．解析：（1）设公比为，则由得，，所以．（2）由（1）有，是一个以0位首，1为公差的等差数列，所以，所以解得：或（舍去），所以．5.5函数与方程思想在导数中的应用利用导数求函数极值和函数单调问题时，都不可避免地经历列方程的过程．我们可以使用方程思想，完成集合和代数问题之间的转换和计算．另外，联系运用其他数学思想，如数形结合，再次完成代数与几何问题之间的切换和处理．现在高考及相关测试题目中，常见的题型是将多种解题的数学思想综合于同一道题目中，考察学生对于函数和方程思想的掌握程度及应用能力的灵活性以此来达到考察学生数学综合能力的效果．例6：已知函数（1）讨论的单调性.（2）若有三个零点，求的取值范围.解析：（1）由题意可得，定义域为，①当时，，函数在上单调递增②当时，或，在单调递增或单调递增．，函数在上单调递减．（2）由（1）可知，时（舍去），当，由题易得且，，解得．例7：设，，在点处有极小值-1．（1）试确定，的值．（2）求出的单调区间．解析：（1），所以，即．（2）设为的一个零点，根据题意，，且，则，由，，显然在单调递减，单调递增，单调递减，易得，，，，所以，．设为的零点，则必有，即，，，即，所以的所有零点的绝对值小于等于1．6研究总结和启示6.1研究总结该论文论述和剖析了函数与方程思想方法的内涵及相关应用情况．运用运算演示论证、问卷调查等方法进一步探究高中数学中函数与方程思想的具体应用．数学思想的重要作用在这一领域得到了深度体现，切实理解并熟练运用好数学思想，对于数学解题及其他领域实际问题的处理都具有重大意义．思想与思想之间、思想与生活实践之间都体现出了高度链接性，通过与其他思想或方法的巧妙融合、科学发挥功能，能够使思想的应用发挥出更理想的效果.通过调查研究，本文针对函数和方程思维应用方面的教育和学习，提出以下具体意见：（1）分析逻辑规律，提升学生的学习兴趣众所周知，兴趣最好的老师，是学生增强学习主动性和积极性的内在动力来源，培养学生的兴趣是最终能达到学习目的先决因素.数学教师作为学生的数学思想启蒙者，有必要在课程开始前将数学思维的原理及重要应用给学生们讲述清楚，让学生明白学习数学思维的重要价值，学生自己是最终的受益者和使用者，其价值并不仅仅局限于解决纸面上的题目、取得理想的考试成绩.要重视学生学习积极性和主动性的培养，研究激发学生求知欲望的根本动力，灵活利用现有资源，发掘学生的天赋和数学创造性，采取更为恰当的形式培养学生对数学的认知和爱好，加强学生对数学思维的运用，从根本上增强其思考、解决问题的能力.（2）引导思维习惯的形成，培养重视数学思想的意识，提高学生的思维品质引导学生培养良好的思维习惯是数学教育首先要重视的问题.数学逻辑思维能力是解决一切数学问题的基础，加强思维能力教育对于学生的全面发展发挥着重要作用．品质思维的形成是增强数学思维能力的重要路径．这就要求把包含函数与方程思想在内的七大高中阶段的数学思想牢固掌握，以此为基础培养优秀的思维品质，进而培养举一反三、触类旁通、理论联系实际的各种能力，将数学思维灵活应用到各个方面．数学的学习区别于其他学科，一个知识点能体现诸多数学思想，各种思想综合发挥作用，具有高度复合性.鉴于此，教学过程中更加需要重视数学思想意识和思维品质的培养，对各类问题进行积极主动的思考，逐渐深化思维能力．6.2研究的不足与展望6.2.1研究的不足之处（1）更广泛的应用领域尚未研究，如函数与方程思想与二项式定理之间的联系等，这些领域与数学思想的联系有待深入思考．（2）在教学方面，关于学生深化知识应用的教育指导方法有待提高．（3）对研究现状的把握不够全面，对已有成果的总结和分析缺乏深度．6.2.2研究展望检验出真知，所有的基础理论和命题都需要经过实践验证．经过相当程度的实际验证，循序渐进地针对基础理论的不足住处做出修改和调整．鉴于目前本文中关于以上相关问题研究还存在很多不足之处，对将来的继续研究工作进行以下展望：（1）扩展查询途径和学习方法，发挥主观能动性，加大搜索范围，获取更全面的关于函数和方程思想方法的现有文献，进一步把握考试题目的即时动态和命题趋势，达到深度拓展研究领域和获取前瞻性研究方法的目标．（2）进一步关注其他区域范围内的高中试题情况，并进行收集、比较、分类等工作，分析命题方式和规律、趋势．（3）研究如何将函数与方程思想应用到日常