九年级数学人教版第二十二章二次函数整章知识详解(同步课本知识图文结合例题详解)

第22章二次函数九年级上册九年级数学第22章二次函数目录：1、二次函数的定义2、二次函数y=ax²的图像3、二次函数y=a(x-h)²+k的图像4、二次函数y=ax²+bx+c的图像5、二次函数的应用题九年级数学第22章二次函数22.1二次函数及其图象22.1.1二次函数第二十二章二次函数九年级数学第22章二次函数1.了解二次函数的概念，知道二次函数的一般形式；2.会列简单的二次函数解析式.九年级数学第22章二次函数

二次函数变量之间的关系函数一次函数反比例函数y=kx+b(k≠0)正比例函数y=kx(k≠0)y=(k≠0)九年级数学第22章二次函数问题1：正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为x，表面积为y，则y关于x的关系式为＿＿＿＿＿＿＿.y=6x2九年级数学第22章二次函数问题2：多边形的对角线总数d与边数n有什么关系？n边形有＿＿＿个顶点，从一个顶点出发，连接与这点不相邻的各顶点，可作＿＿＿＿条对角线.因此，n边形的对角线总数＿＿＿＿＿n（n-3）此式表示了多边形的对角线总数d与边数n之间的关系，对于n的每一个值,d都有一个对应值，即d是n的函数.九年级数学第22章二次函数问题3:某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？这种产品的原产量是20件，一年后的产量是_______件，再经过一年后的产量是_____________件，即两年后的产量为：

.即：y=20x2+40x+20.y=20(1+x)220(1+x)20(1+x)(1+x)此式表示了两年后的产量y与计划增产数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数.九年级数学第22章二次函数为什么a≠0呢?

我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，其中x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.九年级数学第22章二次函数写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；（3）菱形的两条对角线的和为26cm，写出菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．（2）由题意得，其中y是x的二次函数；（3）由题意得，其中S是x的二次函数.【解析】

（1）由题意得，其中S是a的二次函数；九年级数学第22章二次函数1.正方形边长为x（cm），它的面积y（cm2）是多少？2.矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的关系式．【解析】九年级数学第22章二次函数3.若函数为二次函数，求m的值.解①得：m=2或m=-1解②得：m≠1切m≠-1所以m=2.①②【解析】因为该函数为二次函数，则九年级数学第22章二次函数2.如果函数y=(k-3)+kx+1是二次函数,则k的值一定是______.01.如果函数y=+kx+1是二次函数,则k的值一定是______.

0或3九年级数学第22章二次函数

解析：S=a(-a)=a(30-a)=30a-a²=-a²+30a.

是二次函数关系.3.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？九年级数学第22章二次函数4.某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方体的长和宽相等,高比长多0.5m.(1)长方体的长和宽用x(m)表示,长方体需要涂漆的表面积S(m2)如何表示?(2)如果涂漆每平米所需要的费用是5元,涂漆每个长方体所需要费用用y(元)表示,那么y的表达式是什么?解析：（1）S=2x2+x(x+0.5)×4=6x2+2x（2）y=5S=5×(6x2+2x)∴y=30x2+10x九年级数学第22章二次函数5.（哈尔滨中考）体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD．设边AB的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）．（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）若矩形ABCD的面积为50平方米，且AB＜AD，请求出此时AB的长.解析：（1）S=x(15-x)=-x2+15x；（2）由题意：-x2+15x＝50，解得：x1＝5，x2=10，∵AB＜AD，∴AB＝5米.九年级数学第22章二次函数1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,).(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).(3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.定义中应该注意的几个问题:九年级数学第22章二次函数22.1.2二次函数y＝ax2的图象九年级数学第22章二次函数1.知道二次函数的图象是抛物线；2.会画y=ax2的图象，并能结合图象理解y=ax2的性质.九年级数学第22章二次函数

一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数的图象是什么形状呢？通常怎样画一个函数的图象？列表描点连线思考九年级数学第22章二次函数你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?x…-3-2-1012

3…y=x2……9411049观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值，完成下表：九年级数学第22章二次函数xy0-4-3-2-11234108642-2描点,连线y=x2九年级数学第22章二次函数九年级数学第22章二次函数二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.

对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.y九年级数学第22章二次函数x............0-4-3-2-1231400.524.580.524.58在同一直角坐标系中，画出y=的图象.yo九年级数学第22章二次函数函数,y=2x2

的图象与y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？y=2x2y=x2(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?xo图象是轴对称图形，对称轴是y轴.图象开口向上，a越大开口越小.图象的顶点是原点，为抛物线的最低点.(2)图象的开口方向是向上还是向下？图象的开口大小有什么规律？(3)图象的顶点是什么？顶点是抛物线的最高点还是最低点？-3-2-1123九年级数学第22章二次函数当a>0时，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点，开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.九年级数学第22章二次函数(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？你能根据表格中的数据作出猜想吗？(2)先想一想，然后作出它的图象．(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？x

y=-x2

x…-3-2-10123…y=-x2

x

…-9-4-10-1-4-9…在“学”中“做”——在“做”中“学”九年级数学第22章二次函数xy0-4-3-21234-4-2-1y=-x2-1-31描点,连线九年级数学第22章二次函数

二次函数y=-x2的图象是抛物线

二次函数y=-x2的图象与y=x2的图象关于x轴对称，顶点都为原点，但原点是二次函数y=-x2的最高点，却是

y=x2的最低点.九年级数学第22章二次函数请同学们在同一坐标系内画出y=-0.5x2,y=-2x2的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点。主要从以下几个方面考虑：1.开口方向2.开口大小3.对称轴4.顶点坐标5.有最高点还是有最低点九年级数学第22章二次函数1、函数y=x2的图象是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫作抛物线，实际上，二次函数的图象都是抛物线.y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2.2、y＝ax2的图象是抛物线，关于y轴对称，顶点是原点．a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下，|a|越大，图象越靠近y轴．3．用描点法所画出的图形是部分的，近似的．九年级数学第22章二次函数1.物体从某一高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的时间t(s)的关系式是:h=4.9t2，h是t的

函数，它的图象的

顶点坐标是

.2.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）.（1）求此抛物线的函数解析式.（2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上.（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.（0，0）二次y=-2x2不在抛物线上九年级数学第22章二次函数3.（衢州中考）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）FE九年级数学第22章二次函数解析：选C.如图，作∠CAE=90°，作DE⊥AE于E，作DF⊥AC于F.可证得△ABC≌△ADE.四边形AEDF为矩形，设BC为m，则DE=AF=m，DF=AE=AC=4m，∴CF=3m，九年级数学第22章二次函数4．已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax＋b，二次函数是y＝ax2，则下面图中，可以成立的是()C九年级数学第22章二次函数5．填空：已知二次函数(1)其中开口向上的有_______(填题号)；(2)其中开口向下且开口最大的是____(填题号)；(3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后逐渐变小的有__________(填题号)．②③⑥①④⑤⑤九年级数学第22章二次函数1.二次函数y=ax2的图象是什么？2.二次函数y=ax2的图象有什么性质？3.抛物线y=ax2与y=-ax2有怎样的关系？通过本课时的学习，需要我们掌握：九年级数学第22章二次函数22.1.3二次函数y=a(x

h)2+k的图象第1课时九年级数学第22章二次函数1.会画y=ax2+k，y=a(x-h)2的图象；2.了解y=ax2+k，y=a(x-h)2的图象与y=ax2的关系，能结合图象理解二次函数的性质.九年级数学第22章二次函数

二次函数y=ax2的图象是什么形状呢？什么确定y=ax2的性质？通常怎样画一个函数的图象？我们来画最简单的二次函数y=x2的图象.还记得如何用描点法画一个函数的图象吗？x…-3-2-10123…y=x2…

…9410149九年级数学第22章二次函数987654321-1-8-6-4-22468xyy=x2O九年级数学第22章二次函数在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2,y=x2+1,y=x2-1的图象.【解析】列表：x…-3-2-10123…y=x2…9410149…y=x2+1……y=x2-1……105212510830-1038九年级数学第22章二次函数y=x2+1108642-2-55xyy=x2-1y=x2O描点，连线九年级数学第22章二次函数（1）抛物线y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？（2）抛物线y=x2+1、y=x2-1与抛物线y=x2有什么关系？（3）它们的位置是由什么决定的？解析：(1)它们的开口方向向上，对称轴是y轴，顶点分别是（0，1）（0，-1）.抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=x2向上x=0（０,０）y=x2+1向上x=0(0，1)y=x2-1向上x=0(0，-1)九年级数学第22章二次函数(2)把抛物线y=x2向上平移1个单位，就得到抛物线y=x2+1；把抛物线y=x2向下平移1个单位，就得到抛物线y=x2-1.(3)它们的位置是由+1、-1决定的.把抛物线y=2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？向下平移3.4个单位呢？y=2x2+5y=2x2-3.4思考九年级数学第22章二次函数解析：二次项系数小于零时抛物线的开口向下；二次项系数的绝对值越大开口越小，反之越大.当二次项系数小于零时和二次项系数的绝对值变化时，抛物线将发生怎样的变化？九年级数学第22章二次函数一般地抛物线y=ax2+k有如下性质：1.当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下，2.对称轴是x=0（或y轴），3.顶点坐标是（0，k），4.|a|越大开口越小，反之开口越大.九年级数学第22章二次函数1.把抛物线向上平移6个单位，会得到哪条抛物线？向下平移7个单位呢？2.在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象:观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴及顶点.你能说出抛物线的开口方向、对称轴及顶点吗？它与抛物线有什么关系？y=-3x2+6y=-3x2-7九年级数学第22章二次函数画出二次函数的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．x···－3－2－10123···············－2－8－4.5－200－2－8－4.5－2xyO－22－2－4－64－4y=－﹙x+1﹚2

21y=－﹙x-1﹚2

21九年级数学第22章二次函数可以看出，抛物线的开口向下，对称轴是经过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，我们把它记作x=－1，顶点是（－1，0）；抛物线的开口向_________，对称轴是________________，顶点是_________________．下x=1(1,0)xyO－22－2－4－64－4y=－﹙x+1﹚2

21y=－﹙x-1﹚2

21九年级数学第22章二次函数抛物线与抛物线有什么关系？可以发现，把抛物线向左平移1个单位，就得到抛物线；把抛物线向右平移1个单位，就得到抛物线．xyO－22－2－4－64－4九年级数学第22章二次函数二次函数y=a﹙x-h﹚2的性质:（1）开口方向：当a＞0时，开口向上;当a＜0时，开口向下；（2）对称轴：对称轴是直线x=h;（3）顶点坐标：顶点坐标是（h，0）.九年级数学第22章二次函数1.说出下列二次函数的开口方向、对称轴及顶点坐标

(1)y=5x2

(2)y=-3x2+2(3)y=8x2+6(4)y=-x2-4向上，y轴,（0,0)向下，y轴,（0,2)向上，y轴,（0,6)向下，y轴,（0,-4)九年级数学第22章二次函数2.说出下列二次函数的开口方向、对称轴及顶点坐标(1)y=2(x+3)2

(2)y=-3(x-1)2

(3)y=5(x+2)2(4)y=-(x-6)2(5)y=7(x-8)2向上,x=-3,(-3,0)向下,x=1,(1,0)向上,x=-2,(-2,0)向下,x=6,(6,0)向上,x=8,(8,0)九年级数学第22章二次函数3.抛物线y=-3(x+2)2开口向

，对称轴为

，顶点坐标为________.4.抛物线y=3x2+0.5

可以看成由抛物线

向

平移

个单位得到的.5.写出一个开口向上，对称轴为x=-2，并且与y轴交于点（0，8）的抛物线解析式____________.

下x=-2(-2,0)y=3x2上0.5y=2(x+2)2九年级数学第22章二次函数1.（乐山中考）将抛物线y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（）.(A)(B)(C)(D)【解析】选A.抛物线可以经过适当的平移得到，其平移规律是:“h左加右减,k上加下减”.即自变量加减左右移，函数加减上下移.九年级数学第22章二次函数2.（哈尔滨中考）在抛物线y＝x2-4上的一个点是（）A．（4，4） B．（1，一4）C．（2，0） D．（0，4）C九年级数学第22章二次函数3.对于任何实数h，抛物线y=(x-h)2与抛物线y=x2的开口

相同.4.将抛物线y=-2x2向左平移一个单位，再向右平移3个单位得抛物线解析式为______________.5.抛物线y=3x2-8

最小值为______.6.抛物线y=-3(x+2)2与x轴，y轴的交点坐标分别为____________________.方向，大小y=

2(x–2)2

8(

2,0)(0,

12)九年级数学第22章二次函数(1)抛物线y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象上下平移得到，当k＞0时,向上平移，当k＜0时,向下平移，均平移︱k︱个单位.

(2)抛物线y=ax2+k的性质：①当a＞0时,开口向上,当a＜0时,开口向下;②对称轴:y轴,即直线x=0;③顶点坐标(0,k)；④增减性；⑤最值；图象位置.九年级数学第22章二次函数22.1.3二次函数y=a(x

h)2+k的图象第2课时九年级数学第22章二次函数1.会画y=a(x-h)2+k的图象；2.了解y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的关系，能结合图象理解y=a(x-h)2+k的性质.九年级数学第22章二次函数观察图象,回答问题函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?在同一坐标系中作出二次函数y=3x²和y=3(x-1)²的图象．

九年级数学第22章二次函数1.2.3.-1-2-3.0.1.2.3.4.-1xy5y=2(x-1)2+1y=2(x-1)2

y=2x2观察这三个图象是如何平移的.九年级数学第22章二次函数二次函数y=

0.5x²，y=

0.5(x+1)2和y=

0.5(x+1)2

1的图象有什么关系?它们的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?【例1】画出函数y=

0.5(x+1)²

1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点坐标，抛物线y=

0.5x²经过怎样的变换可以得到抛物线y=-0.5(x+1)²-1？思考：九年级数学第22章二次函数二次函数y=-0.5(x+1)2-1的图象可以看作是抛物线y=-0.5x2先沿着x轴向左平移1个单位,再沿直线x=-1向下平移1个单位后得到的.二次函数y=

0.5(x+1)2

1的图象和抛物线y=

0.5x²，y=

0.5(x+1)2有什么关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?y=-0.5(x+1)²-1y=-0.5x²y=-0.5(x+1)²对称轴仍是平行于y轴的直线(x=-1).顶点是(-1,-1).开口向下,当x=-1时y有最大值:且最大值是-1.yx九年级数学第22章二次函数

在同一坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x²和y=-3(x-1)2的图象二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x²,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小?九年级数学第22章二次函数对称轴仍是平行于y轴的直线(x=1).顶点分别是(1,2)和(1,-2).二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象可以看作是抛物线y=-3x2先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线x=1向上(或向下)平移2个单位后得到的.开口向下,当x=1时y有最大值:且最大值=2(或最大值=-2).yx=1与y=-3x²有关二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物线y=-3x²,y=-3(x-1)2有什么关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?九年级数学第22章二次函数【规律方法】二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²+k的图象:y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位(当k>0时向上平移；当k<0时,向下平移)得到的.因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a，h，k的值有关.抛物线y=a(x-h)²+k有如下特点：（1）当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下；（2）对称轴是直线x=h；（3）顶点坐标是（h，k）.九年级数学第22章二次函数点（1，3）是顶点，知道h=1，k=3，求出a就可以了!yx【例2】要修建一个圆形喷水池，在池中心竖立安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线型水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水管应多长？点（3，0）在抛物线上，求a没问题.解析：如图建立直角坐标系，点（1，3）是顶点，设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+3（0≤x≤3）∵点（3，0）在抛物线上，∴0=a(3-1)2+3∴a=-0.75∴y=-0.75(x-1)2+3(0≤x≤3)当x=0时，y=2.25，即水管应长2.25m.九年级数学第22章二次函数1.（甘肃中考）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2

bx+c（a≠0）.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒B九年级数学第22章二次函数2.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元.当一个旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？解析：设一个旅行团有x人时，旅行社营业额为y元.则

y=[800-10(x-30)]·x=-10x2+1100x=-10(x-55)2+30250∴当x=55时，y最大=30250答：一个旅行团有55人时，旅行社可获最大营业额30250元九年级数学第22章二次函数1．（台州中考）如图，点A，B的坐标分别为（1,4）和（4,4）,抛物线y=a(x-m)2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标最大值为()yxOA．－3B．1C．5D．8九年级数学第22章二次函数【解析】选D.当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A（1，4），根据此时抛物线的对称轴，可判断出CD间的距离；

当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B（4，4），再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点横坐标最大值．九年级数学第22章二次函数2.（遵义中考）如图，两条抛物线y1=-x2+1、y2=x2-1与分别经过点（-2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（）A．8B．6C．10D．4A九年级数学第22章二次函数3.（株洲中考）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-(x-2)2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是()A．4米 B．3米 C．2米 D．1米x

(米)y(米)【解析】选A.抛物线的顶点坐标为（2,4），所以水喷出的最大高度是4米.九年级数学第22章二次函数4.（温州中考）已知二次函数的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是()A.有最小值0，有最大值3B.有最小值-1，有最大值0C.有最小值-1，有最大值3D.有最小值-1，无最大值【解析】选C．因为图象顶点的纵坐标为－１，最高值为３．故选Ｃ．九年级数学第22章二次函数5.（本溪中考）把抛物线y=-x2先向上平移2个单位，再向右平移100个单位，那么所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是______【解析】先由平移规律求出新抛物线的解析式y=-（x-100）2+2

，然后求出抛物线与x轴的两个交点的横坐标，利用坐标轴上两点间距离公式即可求得距离.答案：九年级数学第22章二次函数二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质y=a(x-h)²+k开口方向对称轴顶点坐标a>0向上x=h（h，k）a<0向下x=h（h，k）九年级数学第22章二次函数22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象九年级数学第22章二次函数1.会画y=ax2+bx+c的图象；2.理解y=ax2+bx+c的性质；3.掌握y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的图象及性质的联系与区别.九年级数学第22章二次函数说出二次函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.它是由y=-4x2怎样平移得到的？九年级数学第22章二次函数怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象?配方化成顶点式我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.

九年级数学第22章二次函数提取二次项系数配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为完全平方式,后两项合并同类项化简九年级数学第22章二次函数x…-2-101234…

…29145251429…列表:根据对称性,选取适当值列表计算.∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2).再根据顶点式确定开口方向,对称轴,顶点坐标.九年级数学第22章二次函数x=1●(1，2)通过图象你能看出当x取何值时y随x的增大而减小，当x取何值时，y随x的增大而增大吗？当x<1时y随x的增大而减小;当x>1时，y随x的增大而增大.在对称轴的左边图象从左到右斜向下，在对称轴的右边图象从左到右斜向上，同学们，你想到了什么？九年级数学第22章二次函数画出y＝x2－6x＋21的图象.配方得：y=x2－6x＋21＝(x－6)2＋3由此可知，抛物线的顶点是点（6，3），对称轴是直线x＝6.y＝x2－6x＋21九年级数学第22章二次函数Oyx5105102015x＝6·(6，3)·（8，5）·（4，5）·（0，21）·（12，21）y＝(x－6)2＋3y＝x2－6x＋21怎样平移抛物线y＝x2得到抛物线y＝(x－6)2＋3怎样画二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象？当_____时y随x的增大而增大当_____时y随x的增大而减小x>6x<6九年级数学第22章二次函数提取二次项系数配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项化简一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.你能把函数y=ax²+bx+c通过配方法化成顶点式吗？九年级数学第22章二次函数抛物线的顶点式二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线.九年级数学第22章二次函数对称轴是x=3，顶点坐标是（3，-5）对称轴是x=8，顶点坐标是（8,1）对称轴是x=0，顶点坐标是（0，12）根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：九年级数学第22章二次函数请你总结函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质想一想，函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系是什么？九年级数学第22章二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质抛物线顶点坐标对称轴开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.

在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.

九年级数学第22章二次函数1.相同点:(1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同).(2)都是轴对称图形.(3)都有最大(或小)值.(4)a>0时，开口向上，在对称轴左侧，y都随x的增大而减小,在对称轴右侧，y都随x的增大而增大.a<0时，开口向下，在对称轴左侧，y都随x的增大而增大，在对称轴右侧，y都随x的增大而减小.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²的关系九年级数学第22章二次函数2.不同点:

(1)位置不同(2)顶点不同:分别是__________和(0,0).

(3)对称轴不同:分别是___________和y轴.

(4)最值不同:分别是_______和0.3.联系:y=a(x-h)²+k(a≠0)

的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|____|个单位(当___>0时,向右平移;当___<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|_____|个单位

(当______>0时向上平移;当_____<0时,向下平移)得到的.九年级数学第22章二次函数1.（梧州中考）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A．ac<0B．a-b+c>0C．b=-4aD．关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=5-1yx5x=22OB九年级数学第22章二次函数2．（昭通中考）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a<0，b<0，c>0，b2－4ac>0B．a>0，b<0，c>0，b2－4ac<0C．a<0，b>0，c<0，b2－4ac>0D．a<0，b>0，c>0，b2－4ac>0yxOD九年级数学第22章二次函数3．（攀枝花中考）如图，二次函数ｙ＝ａx2－ｂｘ＋２的大致图象如图所示，则函数ｙ＝－ａx＋ｂ的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2OXYA九年级数学第22章二次函数4.（德州中考）已知函数y=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数y=ax+b的图象可能正确的是（）yx11O（A）yx1-1O（B）yx-1-1O（C）1-1xyO（D）【解析】选D.由二次函数的图象可知一元二次方程（x-a）（x-b）=0的解为x1=a，x2=b，则a=1，b＜-1.所以可以得到函数的图象与y轴的交点在点（0，-1）的下方，与x轴的交点在点（1,0）的右边，故选D.九年级数学第22章二次函数5.（重庆中考）已知抛物线y=ax2+bx+c.在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（

）A．

B．

C．

D．【解析】选D.抛物线开口向下∴a＜0，对称轴在y轴的右边，∴b＞0，抛物线与y轴交与正半轴，∴c＞0，当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0.九年级数学第22章二次函数6．（东莞中考）已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）.⑴求出b,c的值，并写出此时二次函数的解析式；⑵根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围.xy3－1O解析：⑴根据题意得：解得所以抛物线的解析式为⑵令解得根据图象可得当函数值y为正数时，自变量x的取值范围是九年级数学第22章二次函数1.能熟练求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性.2.能根据条件确定二次函数的关系式及顶点坐标、对称轴.九年级数学第22章二次函数22.2

用函数观点看一元二次方程九年级数学第22章二次函数1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.2.用图象法求一元二次方程的近似根.九年级数学第22章二次函数问题：1.一次函数y=2x-4与x轴的交点坐标是(

,

)2.说一说，你是怎样得到的？20令y=0代入函数解析式即可九年级数学第22章二次函数问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：九年级数学第22章二次函数（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？Oht1513∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.解析：解方程15=20t-5t2

t2-4t+3=0t1=1,t2=3你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？九年级数学第22章二次函数（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m？Oht204九年级数学第22章二次函数（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？Oht你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?20.5九年级数学第22章二次函数（4）球从飞出到落地要用多少时间？Oht九年级数学第22章二次函数九年级数学第22章二次函数例如，解方程x2-4x+3=0就是已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值.一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1，x2，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1，0)，(x2，0).从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切.例如，已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程-x2+4x=3.九年级数学第22章二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac>0只有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac<0二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?知识归纳九年级数学第22章二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:(1)有两个交点(2)有一个交点(3)没有交点二次函数与一元二次方程b2–4ac>0b2–4ac=0b2–4ac<0若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则b2–4ac≥0九年级数学第22章二次函数△＞0△=0△＜0Oxy二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点九年级数学第22章二次函数1.不与x轴相交的抛物线是()A.y=2x2–3B.y=-2x2+3C.y=-x2–3xD.y=-2(x+1)2-32.若抛物线y=ax2+bx+c,当a>0,c<0时,图象与x轴交点情况是()A无交点B只有一个交点C有两个交点D不能确定DC九年级数学第22章二次函数3.如果关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有＿＿＿＿个交点.4.已知抛物线y=x2–8x+c的顶点在x轴上,则c=＿.1116九年级数学第22章二次函数解析:

(1)先作出图象;(2)写出交点的坐标：（-1.3，0）、（2.3，0）

(3)得出方程的解.x1=-1.3，x2=2.3.利用二次函数的图象求方程x2-x-3=0的实数根（精确到0.1）.

xy用你学过的一元二次方程的解法来解，准确答案是什么？九年级数学第22章二次函数1.根据下列表格的对应值:

判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是()A.3<X<3.23B.3.23<X<3.24C.3.24<X<3.25D.3.25<X<3.26x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09C九年级数学第22章二次函数2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是

.XY05x1=0，x2=53．（金华中考）若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2=

；yOx13-1九年级数学第22章二次函数4．（绥化中考）抛物线与x轴的一个交点的坐标为（l,0),则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是

.（3，0）九年级数学第22章二次函数5.

（济宁中考）已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：点A(x1,y1)、B(x2,y2)在函数的图象上，则当1<x1<2,3<x2<4时，y1

与y2的大小关系正确的是（）A.y1>y2B.y1<y2C.y1≥y2D.y1≤y2x…01234…y…41014…【解析】选B.可画出图象，由表和图象可知二次函数图象的对称轴是x=2由图象知y1<y2.

九年级数学第22章二次函数

通过本课时的学习，需要我们掌握：1.由一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况可确定二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的个数情况；2.用图象法求一元二次方程的近似根.九年级数学第22章二次函数22.3实际问题与二次函数 第1课时九年级数学第22章二次函数1.掌握商品经济等问题中的相等关系的寻找方法，并会应用函数关系式求利润的最值；2.会应用二次函数的性质解决实际问题.九年级数学第22章二次函数1.二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是

，顶点坐标是

.当x=

时，y的最

值是

.2.二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是

，顶点坐标是

.当x=

时，函数有最___值，是

.3.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是

，顶点坐标是

.当x=

时，函数有最_______

值，是

.x=3（3，5）3小5x=-4（-4，-1）-4大-1x=2（2,1）2大1九年级数学第22章二次函数问题：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使S最大的l的值.矩形场地的周长是60m，一边长为l，则另一边长为

m，场地的面积:(0<l<30)S=l(30-l)即S=-l2+30l请同学们画出此函数的图象九年级数学第22章二次函数可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图象的最高点，也就是说，当l取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.51015202530100200ls即l是15m时，场地的面积S最大.（S=225㎡)O九年级数学第22章二次函数一般地，因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，所以当时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值.九年级数学第22章二次函数

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？请同学们带着以下几个问题读题（1）题目中有几种调整价格的方法？（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？九年级数学第22章二次函数分析:调整价格包括涨价和降价两种情况先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式.涨价x元,则每星期少卖

件，实际卖出

件,每件利润为

元，因此，所得利润为

元.10x(300-10x)(60+x-40)（60+x-40）(300-10x)y=(60+x-40)(300-10x)(0≤x≤30)即y=-10（x-5）2+6250∴当x=5时，y最大值=6250怎样确定x的取值范围九年级数学第22章二次函数可以看出，这个函数的图像是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图像的最高点，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值.由公式可以求出顶点的横坐标.所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元也可以这样求极值九年级数学第22章二次函数在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程得出答案.解析：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖20x件，实际卖出（300+20x)件，每件利润为（60-40-x）元，因此，得利润y=(300+20x)(60-40-x)=-20(x²-5x+6.25)+6125=-20（x-2.5）²+6125∴x=2.5时，y极大值=6125你能回答了吧！怎样确定x的取值范围（0＜x＜20）由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?九年级数学第22章二次函数（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.解决这类题目的一般步骤九年级数学第22章二次函数1．（包头中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是

cm2．九年级数学第22章二次函数2.某商店购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个，据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个.

(1)假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是_______元，这种篮球每月的销售量是

个(用x的代数式表示)

(2)8000元是否为每月销售篮球的最大利润?如果是，说明理由，如果不是，请求出最大月利润,此时篮球的售价应定为多少元?x+10500

10x8000元不是每月最大利润，最大月利润为9000元，此时篮球的售价为70元.九年级数学第22章二次函数3.（2010·荆门中考）某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件.（1）假设每件商品降低x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请你写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围；（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润=销售收入－购进成本）九年级数学第22章二次函数解析：（1）降低x元后，所销售的件数是（500+100x）,y=－100x2+600x+5500（0＜x≤11）（2）y=－100x2+600x+5500（0＜x≤11）配方得y=－100（x－3）2+6400当x=3时，y的最大值是6400元.即降价为3元时，利润最大.所以销售单价为10.5元时，最大利润为6400元.答：销售单价为10.5元时，最大利润为6400元.九年级数学第22章二次函数4.（菏泽中考）我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，多买优惠；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×(20-10)=1(元),因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元.(1).求一次至少买多少只，才能以最低价购买？(2).写出该专卖店当一次销售x(只)时，所获利润y(元)与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？九年级数学第22章二次函数【解析】(1)设一次购买x只，才能以最低价购买，则有:0.1(x-10)=20-16,解这个方程得x=50.答：一次至少买50只，才能以最低价购买(2)（说明：因三段图象首尾相连，所以端点10、50包括在哪个区间均可）(3)将配方得，所以店主一次卖40只时可获得最高利润，最高利润为160元.（也可用公式法求得）九年级数学第22章二次函数5.（安徽中考）春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售．九（1）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天（1≤x≤20且x为整数）的捕捞与销售的相关信息如表：

（1）在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一末的捕捞量相比是如何变化的？九年级数学第22章二次函数（2）假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第x天的收入y（元）与x（天）之间的函数关系式？（当天收入=日销售额-日捕捞成本）

试说明（2）中的函数y随x的变化情况，并指出在第几天y取得最大值，最大值是多少？九年级数学第22章二次函数解：（1）该养殖场每天的捕捞量与前一天相比减少10kg；

（2）由题意，得

（3）∵-2＜0，y=-2x2+40x+14250=-2（x-10）2+14450，

又∵1≤x≤20且x为整数，

∴当1≤x≤10时，y随x的增大而增大；

当10≤x≤20时，y随x的增大而减小；

当x=10时即在第10天，y取得最大值，最大值为14450．九年级数学第22章二次函数1.主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法.2.利用二次函数解决实际问题时，根据利润公式等关系写出二次函数表达式是解决问题的关键.九年级数学第22章二次函数22.3实际问题与二次函数 第2课时九年级数学第22章二次函数1.会建立直角坐标系解决实际问题；2.会解决与桥洞水面宽度有关的类似问题.九年级数学第22章二次函数（1）磁盘最内磁道的半径为rmm，其上每0.015mm的弧长为一个存储单元，这条磁道有多少个存储单元？（2）磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3mm，磁盘的外圆周不是磁道，这张磁盘最多有多少条磁道？（3）如果各磁道的存储单元数目与最内磁道相同，最内磁道的半径r是多少时，磁盘的存储量最大？计算机把数据存储在磁盘上，磁盘是带有磁性物质的圆盘，磁盘上有一些同心圆轨道，叫做磁道，现有一张半径为45mm的磁盘，九年级数学第22章二次函数你能说出r为多少时y最大吗？分析（1）最内磁道的周长为2πr㎜,它上面的存储单元的个数不超过（2）由于磁盘上磁道之间的宽度必须不小于0.3㎜，磁盘的外圆周不是磁道，各磁道分布在磁盘上内径为rmm外径为45mm的圆环区域，所以这张磁盘最多有条磁道.(3)当各磁道的存储单元数目与最内磁道相同时，磁盘每面存储量=每条磁道的存储单元数×磁道数.(0<r<45)九年级数学第22章二次函数图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面