大学物理第15章-机械波

普通高等教育“十一五”国家级规划教材

大学物理（第二版）

第四

篇波动学

第15章机械波

课件制作者：李洁第1页第15章本章主要内容波干涉波衍射多普勒效应

平面简谐波波函数

15.2波能量

15.3

15.4

15.5

15.6非线性波

15.7机械波产生及特征

15.1第2页15.1机械波产生及特征

15.1.1机械波产生

15.1.2波分类

15.1.4波振面和波线

15.1.3波特征量第3页15.1.1机械波产生振动传输过程称为波动。机械振动在媒质中传输过程称为机械波。产生机械波必要条件：波源作机械振动物体；媒质能够传输机械振动弹性媒质。波源带动弹性媒质中与其相邻质点发生振动，振动相继传输到后面各相邻质点，其振动时间和相位依次落后。波动现象是媒质中各质点运动状态集体表现，各质点仍在其各自平衡位置附近作振动。第4页15.1.2波分类横波：质点振动方向与波传输方向垂直纵波：质点振动方向与波传输方向平行软绳波传输方向质点振动方向软弹簧波传输方向质点振动方向在机械波中，横波只能在固体中出现；纵波可在气体、液体和固体中出现。空气中声波是纵波。液体表面波动情况较复杂，不是单纯纵波或横波。第5页15.1.3波特征量周期T波速u波长单位时间内振动状态(或相位)传输距离标准单位m/s沿波传输方向上,两个相邻同相位质点之间距离,称为波长.单位m波动传输一个波长距离所需要时间,称为周期.单位s波传输速度、波长、周期或频率是波特征量.关系为或

波传输方向l波速u第6页15.1.3波特征量(续1)关于波速问题:波速取决于媒质弹性(弹性模量)和媒质惯性(密度)固体:固体能够产生切变和容变,其对应弹性模量以下计算固体切变弹性模量固体容变弹性模量液体和气体:液体能够产生容变,其容变弹性模量如固体一致对于密度为固体,在其中传输横波和纵波速度为液体和气体中传输纵波波速为第7页15.1.3波特征量(续2)关于波速问题:波速取决于媒质弹性(弹性模量)和媒质惯性(密度)细长棒:沿着棒长度方向传输纵波波速取决于杨氏弹性模量及其惯性波速为担心弦上传输横波波速取决于密度和张力T第8页15.1.4波阵面和波线波前波面波线波面振动相位相同点连成面。波前最前面波面。平面波（波面为平面波）球面波（波面为球面波）波线（波射线）波传输方向。在各向同性媒质中，波线恒与波面垂直。第9页15.2平面简谐波波函数

15.2.1平面简谐波波函数

15.2.2波函数物理意义

15.2.3波动微分方程第10页15.2.1平面简谐波波函数简谐波:由简谐振动传输所形成波动。简谐波又称余弦波或正弦波，是规律最简单、最基本波。各种复杂波都能够看作是许多不一样频率简谐波叠加

对于机械波，若波源及弹性媒质中各质点都连续地作简谐振动所形成连续波，则为简谐机械波。简谐波又称余弦波或正弦波，是规律最简单、最基本波。各种复杂波都能够看作是许多不一样频率简谐波叠加简谐波一个主要模型是平面简谐波。

平面简谐波波面是平面，有确定波长和传输方向，波列足够长，各质点振动振幅恒定。第11页15.2.1平面简谐波波函数(续1)XOYu一列平面简谐波（假定是横波）观察坐标原点任设（无须设在波源处）波沿X轴正向传输（正向行波）xPtx如何描述任意时刻、波线上距原点为的任一点的振动规律？P设位于原点处质点振动方程为Ocos()jyAOwt+

已知振动状态以速度沿轴正向传输。对应同一时刻，uXtPtux()振动状态与原点在时刻振动状态相同。点所以，在设定坐标系中，波线上任一点、任意时刻振动规律为cos()yAjwt+ux这就是沿X轴正向传输平面简谐波动方程。它是时间和空间双重周期函数。第12页15.2.1平面简谐波波函数(续2)沿X轴正向传输平面简谐波动方程cos()yAwtj+ux得cos)yA2ptlxj+)nTcos)A2ptlxj+)wT2pn2puTl波动方程惯用周期T波长l或频率n形式表示,由消去波速uT和l1分别含有单位时间和单位长度含义，分别与时间变量和空间变量组成对应关系。tx1第13页15.2.2波函数物理意义cos()yAwtj+ux若给定，波动方程即为距原点处质点振动方程xxcos()yAwtj+x2pl距原点处质点振动初相x若给定，波动方程表示所给定时刻波线上各振动质点相对各自平衡点位置分布，即该时刻波形图。ttcos()yAwtj+x2plXYO第14页15.2.2波函数物理意义(续1)t+rt若和都是变量，即是和函数，这正是波动方程所表示波线上全部质点振动位置分布随时间而改变情况。可看成是一个动态波形图。txytxcos()yAwtj+uxTcos)A2ptlxj+)正向波同一时刻，沿X轴正向，波线上各质点振动相位依次落后。t+rtXOYtu波沿X轴正向传输tu波沿X轴反向传输第15页15.2.3波动微分方程把平面简谐波波函数分别对t和x求二阶导数得将左边两式相比较有以下关系:任一平面简谐波能够由许多不一样频率简谐波合成,所以对任一平面波波函数分别求t和x二阶偏导,都能够得到右式,它反应了一切平面波共同特征,称为平面波波动方程第16页15.3波能量现象：若将一软绳（弹性媒质）划分为多个小单元（体积元）上下抖动振速最小v振速最大v形变最小形变最大t时刻波形t+dt在波动中，各体积元产生不一样程度

弹性形变，含有

弹性势能pEr各体积元以改变振动速率上下振动，含有振动动能vEkr第17页总能量15.3波能量(续1)动能动能计算势能计算波函数波在传输过程中,任一时刻体元动能和势能不但大小相等,而且相位也相同第18页15.3波能量(续2)能量密度波在一周期中的能量波的强度一个波长平均能量能量按周期平均能量按波长平均能量介质中单位体积能量单位时间内经过垂直于波速u单位横截面积上平均能量W/m2us第19页15.4波干涉干涉

驻波

波干涉

波叠加原理

15.4.1

15.4.2

15.4.3第20页15.4.1波叠加原理

几列波在同一介质中传输时,在相遇处每列波依然保持各自原有特征(波长、频率、振动方向等）。相遇处质点振动，是各列波单独传输时在该点引发振动合成，这种波动传输独立性称为波独立性原理，或波叠加原理第21页15.4.2波干涉波干涉是在特定条件下波叠加所产生现象。若有两个波源振动频率相同振动方向相同振动相位差恒定

它们发出波列在媒质中相遇叠加时，叠加区域中各质点所参加两个振动含有各自恒定相位差，一些质点振动一直加强，一些质点振动一直减弱或完全相消。这种现象称为波干涉。能产生干涉现象波称为相干波其波源称为相干波源第22页15.4.2波干涉（续1）相干振动合成相干振动合成分别引发

P

点振动2pr1ly1

A1coswt+(j1)y2

A2coswt+(j22pr2l)合振动

y

y1+y2

Acos(wt+j)AA12A22A1A2cos2j2j12p++()r2r1ljarctanj12pr1l)(A1sin+j22pr2l)(A2sinj12pr1l)(A1cos+j22pr2l)(A2cosA2()A1()A()Pr1r2y10

A10cos(wt+j1)y20

A20cos(wt+j2)两相干波源振动方程21ss第23页15.4.2波干涉（续2）相干振动合成分别引发

P

点振动y1

A1coswt+(j1)y2

A2coswt+(j22pr1l2pr2l)合振动

y

y1+y2

Acos(wt+j)A2()A1()A()Pr1r2y10

A10cos(wt+j1)y20

A20cos(wt+j2)两相干波源振动方程21ss1AA2A22A1A2cos2++j2j12p()r2r1lp21rljwt()+1p2rljwt()+22jr故空间每一点合成振幅A保持恒定。jr

P点给定，则恒定。

y1y2

两振动相位差第24页相长与相消干涉AA12A22A1A2cos2++(j2j12p)r2r1l合成振动振幅最大+2pkjrr2r12plj2j1（0,1,2,)k...当时maxA12A+Ajrr2r12plj2j1当（0,1,2,)k...时+2pk()+1合成振动振幅最小minA12AA15.4.2波干涉（续3）第25页15.4.2波干涉（续4）波程差表示式AA2A22A1A2cos2++(j2j12p)r2r1l若j2j1即两分振动含有相同初相位则取决于两波源到P点旅程差，称为波程差djr12rrdr2r12pl+2pkjr（0,1,2,)k...当时即d12rr+kl则合成振动振幅最大maxA12A+A

波程差为零或为波长整数倍时，各质点振幅最大，干涉相长。r2r12pl+pjr（0,1,2,)k...当时则合成振动振幅最小即2k()+12d12rr+l2k()+1minA12AA

波程差为半波长奇数倍时，各质点振幅最小，干涉相消。第26页15.4.3驻波波干涉是特定条件下波叠加，驻波是特定条件下波干涉。条件：两列相干波振幅相等相向传输发生干涉现象：干涉区域中形成驻波各质点振幅分布规律恒定形成一个非定向传输波动现象uAl正向行波uAl反向行波2AAmaxAmin0l2波腹波节,第27页15.4.3驻波（续1）驻波形成图解t=

0t=

T

/

8t=

T

/

4t=

3T

/

8t=

T

/

2t=

5T

/

8t=

3T

/

4t=

7T

/

8t=

T

YOXAXA2OY在同一坐标系XOY中正向波反向波+)驻波1yy2y点击鼠标，观察在一个周期T

中不一样时刻各波波形图。每点击一次，T8时间步进合成驻波y12yy+第28页15.4.3驻波（续2）为简明起见，j1j20,设改写原式得并用wn2plwu2py1cosA2p()txln2y+cosA2p()txln由正向波反向波cos()Awt+uxy1cos()2yAwt+uxj1j2+驻波方程数学描述y12yy+驻波cosA2p()xltn+cosA2p()tn+xl注意到三角函数关系ab2coscoscos(a+b(((+cosab(2Acos2pxl(cos2ptn得y驻波方程第29页(2Acos2pxl(cos2ptny驻波方程OXY2l2l波节波腹波腹处振幅最大cos2pxl1,波节处振幅最小cos2pxl0,xk2l+k12(),...0,,xk21()l4++k12(),...0,,它绝对值表示位于坐标x处振动质点振幅。即描述振幅沿X轴分布规律。振幅分布因子n谐振动因子驻波中各质点均以同一频率作简谐振动。第30页15.4.3驻波（续2）驻波相位特点驻波能量特点同一时刻,相邻两波节之间各质点振动相位相同,波节两侧各质点振动相反；驻波不是振动相位传输过程，驻波波形不发生定向传输最大其它各质点同时经过平衡位置时波节体积元不动，动能Ek0其它各质点同时抵达最大位移时波腹其它质点动能Ek0波节处变最大势能Ep最大,波腹附近各点速度最大Ek波节及其它点无形变Ep0驻波能量不作定向传输，其能量转移过程是动能与势能相互转移以及波腹与波节之间能量转移。第31页声源水空气声源水玻璃由波密媒质到波疏媒质界面反射由波疏媒质到波密媒质界面反射当形成驻波时反射界面上总是出现波腹反射界面上总是出现波节振源固定端反射软绳自由端反射总是出现波腹总是出现波节当形成驻波时由入射波与反射波产生驻波“半波损失”与第32页15.5波衍射

15.5.1惠更斯—菲涅耳原理

惠更斯原理：介质中波动传输到各点，都能够看成是发射子波波源，其后任一时刻，这些子波包络面就是新波阵面。

惠更斯—菲涅耳原理：介质中波动传输到各点，都能够看成是发射子波波源，其后任一时刻，这些子波包络面就是新波阵面，波阵面上每一点不但能够看成是发射子波波源，而且这些子波波源是相干波源，它们发出子波是相干波，相干波干涉决定波强度。第33页15.5波衍射

15.5.2波衍射

当波长与障碍物可比拟时候，波就能够绕过障碍物而传输，而且子波包迹组成新波振面第34页15.5波衍射

15.5.3波反射和折射反射：因为在同一介质中波速相同，所以有折射：在两种介质中相等时间内有第35页15.6多普勒效应当观察者与波源之间有相对运动时，观察者所测得频率不一样于波源频率现象，称为多普勒效应。

设观察者和波源在同一直线上运动波在媒质中传输速率（取决于媒质性质，与波源运动无关）uvs波源相对于媒质运动速率先明确几个频率概念波源在单位时间内振动次数n（1）波源频率（3）波频率n单位时间内经过介质中某点整波个数观察者相对于媒质运动速率vR单位时间内接收到次数（2）观察者接收频率nR分别讨论下述四种情况观察者所测得nR第36页（1）（2）相对于介质波源静止、观察者运动.相对于介质凤察者静止、波源运动（3）相骊于介质波源和凤察者同时运动15.6多普勒效应第37页1.相对于介质波源静止观察者以向波源运动。vR假如波源静止观察者背离波源运动，观察者测得频率为1()uvRnvR观察者每秒接收到整波数，即观察者测得频率为lTuu+u+1()+u观察者测得频率是波源振动频率倍。1()+uvRnRvRvRnvRvs0sul波源振动频率观察者测得频率vRnvR第38页1.相对于介质观察者静止、波源以运动。vs213213132一列等间距小石子，等时先后落入水中，先看一个普通现象波阵面分布是一系列偏心圆。它们所激起