《备考指南 理科数学》课件-第3章 第3讲

导数及其应用第三章第3讲导数的综合应用【考纲导学】1．利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题．2．会利用导数解决某些简单的实际问题．栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断11．生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为________问题．一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．2．利用导数解决生活中的优化问题的基本思路优化3．导数在研究方程(不等式)中的应用研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究．4．导数在综合应用中使用转化与化归思想的常见类型(1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题；(2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题；(3)把方程解的问题转化为函数的零点问题．【答案】C2．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(

)A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【答案】C3．已知定义在实数集R内的函数f(x)满足f(1)＝3，且f(x)的导数f′(x)在R内恒有f′(x)<2(x∈R)，则不等式f(x)<2x＋1的解集为(

)A．(1，＋∞)

B．(－∞，－1)C．(－1,1)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【答案】A4．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________．【答案】(－2,2)

【答案】f(a)<f(b)1．利用导数解决恒成立问题时，若分离参数后得到“a<f(x)恒成立”，要根据f(x)的值确定a的范围中端点能否取到．2．实际问题中的函数定义域一般受实际问题的制约，不可盲目地确定函数的定义域；在解题时要注意单位的一致性；把实际问题转化成数学问题后，要根据数学问题中求得的结果对实际问题作出解释.

【答案】(1)×

(2)√

(3)×

(4)×

(5)×

(6)√课堂考点突破2利用导数解决生活中的优化问题

某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为rm，高为hm，体积为Vm3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．【规律方法】(1)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：①设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)，并确定其定义域；②求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；③比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；④回归实际问题作答．(2)如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．【跟踪训练】1．(2018年徐州模拟)如图①是一个仿古的首饰盒，其横截面是由一个半径为r分米的半圆及矩形ABCD组成，其中AD长为a分米，如图②，为了美观，要求r≤a≤2r.已知该首饰盒的长为4r分米，容积为4立方分米(不计厚度)，假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关，下半矩形部分的制作费用为每平方分米1百元，上半圆部分制作费用为每平方分米2百元，设该首饰盒的制作费用为y百元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)当r为何值时，该首饰盒的制作费用最低？利用导数研究函数的零点或方程的根【规律方法】函数零点问题通常可作以下适当转化来处理：函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．若f(x)＝g(x)－h(x)，则f(x)的零点就是函数y＝g(x)与y＝h(x)图象交点的横坐标．【跟踪训练】2．(2018年榆林三模)设函数f(x)＝ax3＋bx2－x(x∈R，a，b

是常数，a≠0)，且当x＝1和x＝2时，函数f(x)取得极值．(1)求f(x)的解析式；(2)若曲线y＝f(x)与g(x)＝－3x－m(－2≤x≤0)有两个不同的交点，求实数m的取值范围．利用导数研究不等式问题【考向分析】导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，常以解答题的形式考查，属于压轴题，难度较大．常见的考向：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；(3)存在型不等式成立问题．证明不等式

(2016年新课标Ⅲ)设函数f(x)＝lnx－x＋1.(1)讨论f(x)的单调性；不等式恒成立问题存在型不等式成立问题

已知a为实数，函数f(x)＝alnx＋x2－4x.(1)是否存在实数a，使得f(x)在x＝1处取得极值？证明你的结论；【规律方法】导数在不等式问题中的应用问题两大解题策略：(1)利用导数证明不等式：若证明f(x)＜g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)＜0，则F(x)在(a，b)内是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)＜0，即证明了f(x)＜g(x)．(2)利用导数解决不等式的恒成立问题：利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参数的不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．课后感悟提升31个构造——构造函数解决问题把所求问题通过构造函数，转化为可用导数解决的问题，这是用导数解决问题时常用的方法．2个转化——不等式问题中的两个转化(1)利用导数解决含有参数的单调性问题，可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理．3个注意点——利用导数解决实际问题应注意的三点(1)既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式表示，还要注意确定函数关系式中自变量的取值范围．(2)一定要注意求得函数结果的实际意义，不符合实际的值应舍去．(3)如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．2．(2018年新课标Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ax2.(1)若a＝1，求证：当x≥0时，f(x)≥1；(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a.【解析】(1)证明：当a＝1时，f(x)＝ex－x2，则f′(x)＝ex－2x.令g(x)＝ex－2x，则g′(x)＝ex－2.令g′(x)＝0，解得x＝ln2.当x∈(