《 备考指南 数学 》课件-第11章 第8讲

第十一章第8讲[A级基础达标]1．(2021年成都模拟)设随机变量ξ～N(4，σ2)，若P(ξ＜3a－1)＝P(ξ＞a＋2)，则a＝()A．eq\f(3,4) B．eq\f(7,4)C．－eq\f(1,4) D．eq\f(3,2)【答案】B2．(2021年汕头二模)交通事故已成为世界性的严重社会问题，加强中小学生交通安全教育具有重要的现实意义，为此，某校举行了一场交通安全知识竞赛，一共有3道难度相当的必答题目，李明同学答对每道题目的概率都是0.6，则李明同学至少答对2道题的概率是()A．0.36 B．0.576C．0.648 D．0.904【答案】C3．(2021年绵阳模拟)设随机变量ξ～N(μ，1)，若不等式x2－eq\r(ax)≥0对任意实数x都成立，且P(ξ＞a)＝eq\f(1,2)，则μ的值为()A．0 B．1C．2 D．3【答案】A4．如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为eq\f(1,3)，刚开始时，棋子在上底面点A处，若移了n次后，棋子落在上底面顶点的概率记为pn，则p2＝()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(4,9) D．eq\f(5,9)【答案】D5．(多选)某气象站天气预报的准确率为80%，则()A．5次预报中恰有2次准确的概率为eq\f(32,625)B．5次预报中恰有3次准确的概率为eq\f(64,625)C．5次预报中至少有2次准确的概率为eq\f(3104,3125)D．5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率为eq\f(64,3125)【答案】ACD6．(2021年南京师大附中四模)(多选)设随机变量X～N(0,1)，f(x)＝P(X≤x)，其中x＞0，则下列等式成立的有()A．f(－x)＝1－f(x)B．f(2x)＝2f(x)C．f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数D．P(|X|≤x)＝2f(x)－1【答案】ACD【解析】X服从标准正态分布，所以正态曲线关于直线x＝0对称，因为f(x)＝P(X≤x)，其中x＞0，所以f(－x)＝P(X≤－x)＝P(X≥x)＝1－f(x)，故A选项正确；当x＝1时，f(1)＝P(X≤1)＞0.5，2f(1)＞1，f(2)＜1，故B选项错误；结合正态曲线，在(0，＋∞)上，随着x的增大，正态分布的增加的幅度在减少，但是f(x)的值还是处于递增，可得f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数，故C选项正确；P(|X|≤x)＝P(－x≤X≤x)＝1－2[1－f(x)]＝2f(x)－1，故D选项正确．故选ACD．7．(2021年长沙模拟)已知随机变量X～N(2，σ2)(σ＞0)，若X在(0,2)内取值的概率为0.3，则X在(4，＋∞)内取值的概率为________．【答案】0.2【解析】由X～N(2，σ2)知正态曲线的图象关于x＝2对称，故X在(4，＋∞)内的概率为p＝0.5－0.3＝0.2.8．(2021年石家庄模拟)某科考队有甲、乙、丙三个勘探小组，每组三名队员，该队执行考察任务时，每人佩戴一部对讲机与总部联系，若每部对讲机在某时段能接通的概率均为eq\f(1,2)，且对讲机能否接通相互独立，则甲组在该时段能联系上总部的概率为________，在该时段至少有两个勘探小组可以与总部取得联系的概率为________．【答案】eq\f(7,8)eq\f(245,256)【解析】甲组在该时段能联系上总部的对立事件是三部对讲机都不能与总部联系，所以甲组在该时段能联系上总部的概率p1＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))3＝eq\f(7,8)；在该时段至少有两个勘探小组可以与总部取得联系的概率p2＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))＋Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))3＝eq\f(245,256).9．某市高中男生身高统计调查数据显示：全市100000名男生的身高服从正态分布N(168,16)．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，……，第6组[180,184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)试估计该校高三年级男生的平均身高；(2)求这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人数；(3)在这50名身高在172cm以上(含172cm)的男生中任意抽取2人，将该2人身高纳入全市排名(从高到低)，能进入全市前135名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝0.9973.解：(1)由频率分布直方图可计算该校高三年级男生平均身高约为162×eq\f(5,100)×4＋166×eq\f(7,100)×4＋170×eq\f(8,100)×4＋174×eq\f(2,100)×4＋178×eq\f(2,100)×4＋182×eq\f(1,100)×4＝168.72(cm)．(2)由频率分布直方图知后3组频率为(0.02＋0.02＋0.01)×4＝0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人数为10.(3)因为P(168－3×4<ξ≤168＋3×4)＝0.9973，所以P(ξ≥180)＝eq\f(1－0.9973,2)＝0.00135，0．00135×100000＝135，所以全市约前135名的身高在180cm及以上，这50人中180cm及以上的有2人，所以ξ可取0,1,2,P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,8),C\o\al(2,10))＝eq\f(28,45)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(1,2),C\o\al(2,10))＝eq\f(16,45)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,45).所以E(ξ)＝0×eq\f(28,45)＋1×eq\f(16,45)＋2×eq\f(1,45)＝eq\f(2,5).[B级能力提升]10．(2021年南京十三中月考)高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以eq\f(1,2)的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止．现从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为()A．eq\f(1,128) B．eq\f(7,128)C．eq\f(21,128) D．eq\f(35,128)【答案】C【解析】从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的情况是下落过程中的7次碰撞中，5次向左，2次向右，所以从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为p＝Ceq\o\al(2,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5＝eq\f(21,128).故选C．11．(2021年福州期中)武汉市从2020年2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等四类人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人．在排查期间，一户3口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(0＜p＜1)且相互独立，该家庭至少检测了2个人才能确定为“感染高危户”的概率为f(p)，当p＝p0时，f(p)最大，则p0＝()A．1－eq\f(\r(6),3) B．eq\f(\r(6),3)C．eq\f(1,2) D．1－eq\f(\r(3),3)【答案】D【解析】设事件A为检测2个人确定为“感染高危户”，事件B为检测3个人确定为“感染高危户”，则P(A)＝p(1－p)，P(B)＝p(1－p)2，所以f(p)＝p(1－p)＋p(1－p)2＝p3－3p2＋2p，f′(p)＝3p2－6p＋2，令f′(p)＝0，解得p＝1－eq\f(\r(3),3).当0＜p＜1－eq\f(\r(3),3)时，f′(p)＞0，则f(p)单调递增；当1－eq\f(\r(3),3)＜p＜1时，f′(p)＜0，则f(p)单调递减．所以当p＝1－eq\f(\r(3),3)，即p0＝1－eq\f(\r(3),3)时，f(p)取得最大值．故选D．12．(2021年徐州四模)(多选)已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩X近似服从正态分布N(100,225)，则下列说法正确的有(参考数据：①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6827；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9545；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9973)()A．这次考试成绩超过100分的约有500人B．这次考试分数低于70分的约有27人C．P(115＜X≤130)＝0.0514D．从中任取3名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为eq\f(1,2)【答案】BD【解析】对于A，μ＝100，σ＝15，则P(X＞100)＝eq\f(1,2)，则成绩超过100分的约有1200×eq\f(1,2)＝600人，故A错误；对于B，P(X＞70)＝P(70＜X＜100)＋P(X＞100)＝eq\f(1,2)P(100－2×15＜X＜100＋2×15)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)×0.9545＋eq\f(1,2)＝0.97725，所以P(X＜70)＝1－P(X＞70)＝1－0.97725＝0.02275，故分数低于70分的人数约为0.02275×1200＝27.3，即约27人，故B正确；对于C，P(X＜115)＝P(X＜100)＋eq\f(1,2)P(100－15＜X＜100＋15)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×0.6827＝0.84135，P(X＜130)＝P(X＞70)＝0.97725，所以P(115＜X≤130)＝P(X≤130)－P(X＜115)＝0.97725－0.84135＝0.1359，故C错误；对于D，因为P(X＞100)＝eq\f(1,2)，所以至少有2人的分数超过100分的概率为Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(3,8)＋eq\f(1,8)＝eq\f(1,2)，故D正确．故选BD．13．(2021年东莞期末)已知8份血液样本中有一份病毒检验呈阳性，现先取其中4份混合检测，如果呈阳性，再逐份检测这4份，直到检测出阳性样本；如果呈阴性，则再对另外4份逐份检测，直到检测出阳性样本，则混合样本呈阳性的概率为________，恰好3次检测出阳性样本的概率为________．【答案】eq\f(1,2)eq\f(1,4)【解析】从8份血液样本中任取其中4份混合检测，混合样本呈阳性的概率P1＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(3,7),C\o\al(4,8))＝eq\f(1,2).恰好3次检测出阳性样本的概率P2＝eq\f(1,2)×eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).14．(2021年苏州模拟)某中学的一个高二学生社团打算在开学初组织部分同学参加打扫校园志愿活动．该社团通知高二同学自愿报名，由于报名的人数多达50人，于是该社团采用了在报名同学中用抽签的方式来确定打扫校园的人员名单．抽签方式如下：将50名同学编号，通过计算机从这50个编号中随机抽取30个编号，然后再次通过计算机从这50个编号中随机抽取30个编号，两次都被抽取到的同学可以参加活动．(1)设该校高二年级报名参加活动的甲同学的编号被抽取到的次数为Y，求Y的分布列和数学期望；(2)设两次都被抽取到的人数为变量X，则X的可能取值是哪些？其中X取到哪一个值的可能性最大？请说明理由．解：(1)甲同学在第一次被抽到的概率为eq\f(30,50)＝eq\f(3,5)，第二次被抽到的概率也是eq\f(3,5)，且两次相互独立，故Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,5)))，所以E(Y)＝2×eq\f(3,5)＝eq\f(6,5).(2)由题意可知10≤X≤30(X∈N*)，故P(X＝n)＝eq\f(C\o\al(n,50)C\o\al(30－n,50－n)C\o\al(30－n,20),C\o\al(30,50)C\o\al(30,50))，令f(n)＝Ceq\o\al(n,50)Ceq\o\al(30－n,50－n)Ceq\o\al(30－n,20)＝eq\f(50！,50－n！n！)·eq\f(50－n！,30－n！20！)·eq\f(20！,30－n！n－10！)＝eq\f(50！,[30－n！]2n！n－10！)，故eq\f(fn＋1,fn)＝eq\f(50！,[29－n！]2n＋1！n－9！)·eq\f([30－n！]2n！n－10！,50！)＝eq\f(30－n2,n＋1n－9)，若(30－n)2－(n＋1)(n－9)＝909－52n＞0，则n≤17，所以当n≤17时，f(n＋1)＞f(n)；当n≥18时，f(n＋1)＜f(n)．故当n＝18时，f(n)最大，即P(X＝18)最大，所以X取到18的可能性最大．[C级创新突破]15．当前，全国上下正处在新冠肺炎疫情“外防输入，内防反弹”的关键时期，为深入贯彻落实习近平总书记关于疫情防控的重要指示要求，始终把师生生命安全和身体健康放在第一位，结合全国第32个爱国卫生月要求，学校某班组织开展了“战疫有我，爱卫同行”防控疫情知识竞赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙两组，每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每位同学给出6道题目，其中有一道是送分题(即每位同学至少答对1题)．若每次每组答对的题数之和为3的倍数，原答题组的人再继续答题；若答对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题．假设每位同学每次答题之间相互独立，无论答对几道题概率都一样，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题．求：(1)若第n次由甲组答题的概率为pn，求pn；(2)前4次答题中甲组恰好答题2次的概率为多少？解：(1)若第n＋1次由甲组答题，则包括第n次由甲组答题，第n＋1次继续由甲组答题，以及第n次由乙组答题，第n＋1次由甲组答题，答对的题数之和为3的倍数分别为1＋2,1＋5,2＋4,3＋3,3＋6,4＋5,6＋6，所以答对的题数之和为3的倍数的概率为eq\f(5×2＋2,36)＝eq\f(1,3)，答对的题数之和不是3的倍数的概率为eq\f(2,3).所以第n次由甲组答题，第n＋1次继续由甲组答题的概率为eq\f(1,3)pn；第n次由乙组答题，第n＋1次由甲组答题的概率为eq