高中数学选择性必修一课件第一章 空间向量与立体几何章末复习课(人教A版)

章末复习课[网络构建][核心归纳]1.空间向量及其有关概念 (1)空间向量的有关概念空间向量在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量相等向量方向相同且模相等的向量共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量(2)空间向量中的有关定理共线向量定理对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一一个λ∈R，使a＝λb共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc2.两个向量的数量积

非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.3.空间向量的运算及其坐标表示

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).4.空间位置关系的向量表示位置关系

向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n1⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝05.空间的距离6.空间角6.空间角要点一空间向量的概念及运算

空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加减法的三角形法则和平行四边形法则，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等.【例1】

(1)判断下列各命题的真假：①向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量是有向线段.其中假命题的个数为(

) A.2 B.3 C.4 D.5解析①假命题，当a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；②真命题；③假命题，零向量也是向量，故也有方向，只是方向不确定；④假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段.答案B(2)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.【训练1】

(多选题)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.以下结论正确的是(

)【训练1】

(多选题)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.以下结论正确的是(

)答案BCD要点二利用空间向量证明线、面的位置关系

用空间向量判断空间中线、面位置关系的类型与方法总结： (1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量. (2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直. (3)线面平行：用向量证明线面平行的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量. (4)线面垂直：用向量证明线面垂直的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. (5)面面平行：①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题. (6)面面垂直：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题.【例2】在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点.(1)求证：BM∥平面PAD；(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由.解如图，以A为原点，以AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1).证明如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.(1)证明：平面PQB⊥平面DCQ；(2)证明：PC∥平面BAQ.要点三利用空间向量求距离【例3】已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离.解以C为坐标原点，CB，CD，CG所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.由题意可知G(0，0，2)，E(4，－2，0)，F(2，－4，0)，B(4，0，0)，【训练3】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝3，BC＝2，E是PB上一点，且BE＝2EP，求点E到直线PD的距离.解以A为原点，AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则E(1，0，2)，P(0，0，3)，D(0，2，0)，要点四利用空间向量求空间角【例4】如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M为B1C1上一点且B1M＝2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN.解建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，0，0)，A1(0，0，4)，M(5，2，4)，D(0，8，0).(2)由(1)知A1D⊥AM，又A1D⊥AN，AM∩AN＝A，AM，AN⊂平面AMN，∴A1D⊥平面AMN，设平面BAF的法向量为n1＝(x，y，z)，备用工具&资料(2)由(1)知A1D⊥AM，又A1D⊥AN，AM∩AN＝A，AM，AN⊂平面AMN，∴A1D⊥平面AMN，5.空间的距离2.两个向量的数量积

非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.3.空间向量的运算及其坐标表示

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).(2)空间向量中的有关定理共线向量定理对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一一个λ∈R，使a＝λb