【无理数e的发现及其应用研究7300字（论文）】

无理数e的发现及其应用研究目录TOC\o"1-3"\h\u126371引言 1288951.1研究背景 1141321.2研究价值 164241.3研究意义 2190632无理数的发现 241362.1复利问题中发现 2217192.2欧拉将一般化 371552.3数的无理性证明 4173682无理数的应用 5241712.1自然对数中的 5312582.2自然中与有关的曲线 7220722.3欧拉公式中的 10131492.4正态分布中的 1099253总结 121721参考文献 12摘要：无理数又被称作自然常数，它与我们的生活密切相关，自然界中很多现象都与无理数有关，它以特殊的方式隐藏在自然之中.雅各·伯努利通过对一个复利问题的考查，发现了无理数的定义，此后，欧拉又对它进行了全面深入的研究，并由此得出了著名的欧拉公式.另外，无理数的应用还很广泛，在自然界中较为常见的对数螺线和悬链线与它有关，我们所熟知的正态分布、自然对数中也有着无理数的身影.为了使人们更加清楚地了解无理数，对它的发现及其应用进行研究是很有必要的.关键词：无理数；发现；应用；自然1引言1.1研究背景在高中我们都接触过无理数,但是对于数的起源，很多人都不太清楚.1618年，它首次出现在纳皮尔的手稿中，这位数学家整理了一个关于自然对数的表格.1665-1668年，大科学家牛顿、尼古拉斯·麦卡托分别独立得到了的无穷级数，也即，但是当时还没有明确地用字母来表示这个数字，1683年，伯努利通过对复利问题的研究，发现了的定义，直到1731年，欧拉在给哥德巴赫的通信中首次使用了字母，随后得出了一系列关于这个常数的结论.随着科学技术的飞速发展，计算的方法越来越多，可以得到的的准确度也越来越高，而且无理数在其它领域也发挥着重要的作用.在所查阅到的国内外参考文献中，李忠对无理数的由来进行了介绍，解释了伯努利关于无理数模型以及惠更斯关于自然对数的几何模型.梁洪亮介绍了无理数所表示的意义，无理数的计算和无理数的超越性、无理性的证明.桂德怀探讨了对数与无理数的起源，介绍了无理数的表示形式及其性质.很多文献研究比较分散，没有系统地进行归纳，并且很少有人对无理数的发现和应用进行更为具体的研究.1.2研究价值在高中阶段，我们学习对数函数和指数函数时，书上告诉我们是一个无理数，它近似等于2.7182818284……，而且这个指数函数的导数图像和本身是重合的，但是在教学中对数的文化提及很少，这就使得很多人对数的起源了解非常有限，再加上数比较常见的是应用于数学公式中，所以很多人并不了解无理数在其他领域的应用，事实上，在自然界中，向日葵的种子排列和鹦鹉螺壳上的螺线的方程都是用来表示.甚至音阶的建构也用到了，两端固定着一条链，松散地垂下来,如果它的形状要用数学公式表示的话，也需要.从自然界到物理学，从生物学到气象学，从地理学到统计学，这样的例子数不胜数.为了使人们更加清楚的了解无理数，对它的发现及其应用进行研究是很有必要的.1.3研究意义一提到无理数，很多人可能首先想到的是它的无理性，以及它可以作为自然对数的底数.但事实上，无理数的应用十分广泛，著名的欧拉公式用到了无理数，我们所熟知的正态分布也有无理数的身影...同时，它也十分的自然，漩涡形或螺线形是自然事物极为普遍的存在形式，比如，鹦鹉螺外壳切面，温带低气压的外观，漩涡星系的旋臂，上升的袅袅炊烟等等.而这些曲线都与无理数有关.它以这种特殊的方式隐藏在大自然当中，与我们的生活息息相关，所以它又被叫做自然常数，而这样一个十分有意义的无理数，却不被大家所了解，深入研究它的发现及其应用的文献也很少，所以对无理数进行深入研究，让人们进一步认识它是很有意义的.2无理数的发现2.1复利问题中发现1665-1668年，大科学家牛顿、尼古拉斯·麦卡托分别独立得到了的无穷级数，也即，但是当时还没有明确地用字母来表示这个数字，麦卡托还在1668年出版的《对数术》中提到了“自然对数”这个名字.1683年，瑞士著名数学家雅各·伯努利考查了这个复利问题：如果一个人在年初以100%的利息投资1元，他将在年底得到2元.如果一年分次计息，年利率为100%，则每期利率为，第一期后他有（元），第二期后他有元，则第期后即年末他有元.特别地，当时，年末他有元；当时，年末他有元.可以看出，随着的增大也在增大，如果利息以分秒计算，即当足够大时，这个人到年底能成为富豪吗？如果实行瞬时复利，那么？随后，伯努利证明了，即不管如何在1元上算复利，一年后所得的利本和不会超过3元.[1]2.2欧拉将一般化1690年，著名数学家莱布尼茨在写给惠更斯的信中，提出了数，这是它作为一个数学常数首次被正式提出，但当时，莱布尼茨把它记为了，而不是.1727年，欧拉在手稿遗作《关于最近加农炮射击实验的思考》中第一次用来作为自然对数的底.这份当时未发表的手稿在1862年才复印.在欧拉1731年的一封信中，字母再次出现—表示某个微分方程之间的关系，他把它定义为“对数值为1的数”.正因为如此，后人为了纪念他，才用欧拉英文姓氏的第一个字母的小写来作为自然对数的底.至于欧拉用的正好和他姓氏的第一个字母一样是有意为之还是巧合，已不得而知.也正因为如此，也叫欧拉数.[2]后来，欧拉将式子一般化，也就是把式子中的用替代，形成下式函数:进行变形即：这便是指数函数的由来，最早，指数函数的底数都是，后来在此基础上推出了其他数为底的指数函数.因此，奇迹般地出现,还可举出数学上最值得称道的发现之一的“素数分布定理”，这定理是说:从1到任何自然数N之间所含素数的百分比，近似等于N的自然对数的倒数，且N越大，这个规律越准确.这是被称为“数学王子”的德国数学家高斯在1792年仅15岁时发现的，但直到1896年才被法国数学家阿德玛和大致同时的比利时数学家布散所证明.[3]2.3数的无理性证明证明是无理数的方法有很多，这里只介绍其中一种较为简单、使人容易理解的方法.假设是有理数，即，其中，都是大于1的正整数，由于于是上式两边同时乘以，等式右侧为一个整数，右边整理后记作：这样，，且故矛盾，从而是无理数[4].2无理数的应用2.1自然对数中的自然对数的出现是历史上第一件与有关的事[5].那么，为什么把以为底的对数叫作自然对数？数学家为何又要用作对数的底？我们有必要解释一下这两点.实际上，这里的“自然”并不是大家所习惯的“大自然”，而是有点“天然存在，非人为”的意思.漩涡形或螺线形是自然事物极为普遍的存在形式，比如，鹦鹉螺外壳切面，温带低气压的外观，漩涡星系的旋臂，上升的袅袅炊烟等等.而这些曲线可以用方程来描述.图1图2这是被称为“自然”对数的原因之一，它以这种特殊的方式一直隐藏在自然之中.在数学中还有一个名词带有“自然”，那就是我们熟悉的“自然数”了.但自然数中的自然其实并不那么“自然”.古希腊人认为像1、2、3这样的数，是事物本身就有的属性，可以描述日常事物的数量和顺序，无需多做解释，就是小孩子也能快速理解，因此这些数被称为“自然数”.但这种朴素的自然观限制了数的范围，无法解释零、负数、分数、小数、无理数等等.实际上这些数并不自然，是人类为了计算而发明出来的，不是自然界中天然就有的数.但就不同了，虽然这个数是用字母“”来指代的，但它具体的数值可不是人类自己发明出来的，而是发现的.就像牛顿发现了万有引力定律，而不是牛顿发明了万有引力定律一样.在前面提到的复利问题中，如果实行瞬时复利，那么，不论在1元上怎样算复利，一年后所得的利本和都在3元以内.1块钱贷款1年，在年利率100%下，无论再怎么利滚利，其终值总有一个无法突破的值，这个值就是.这也是为什么如此“自然”的原因之一.它不随人类的操纵而变化，不多不少，不大不小，仿佛是宇宙开天辟地的时候就已经规定好了的.下面我们来解释第二个问题：在17世纪中叶，数学家们在科学活动中，发现了双曲线下的面积和自然对数之间竟有如此奇妙的关系之后，人们就逐渐了解到，很多重要的函数、极限、微分和积分...都与自然对数有密切的关系.换句话说，用作对数的底不是数学家们对有特别的偏爱，而是一些“对数运算”的必然结果.[6]下面，我们利用函数（这里a是不等于1的正数）求导数来说明这一点：当时，，由于，就有用换底公式的一种形式—它更一般的形式是，把上式中的变成，就得到[7].显然，如果不用做底，而是以另一个数（例如）做底的话，就会出现这样比更复杂的形式.这就是数学家们为什么要用作对数的底的原因.总之，被称为自然对数的底不止是因为它以特殊的方式隐藏在自然中，在大自然中广泛存在，还因为它不随人类的操纵而变化，不多不少，不大不小，仿佛是宇宙开天辟地的时候就已经规定好了的.而取做对数的底，并不是某个或某些数学家的突发奇想，而是微积分学运算的必然结果.2.2自然中与有关的曲线2.2.1悬链线当一条悬链弯曲成两点不在同一垂直线上的曲线时，人们便把这种曲线称为悬链线.[8]一开始，意大利天文学家伽利略、荷兰数学家吉拉尔都一致觉得悬链线是抛物线，因为单从外观来看，悬链线所呈现的形状的确十分像抛物线.但是之后惠更斯证明了悬链线不可能是抛物线，但究竟是什么，他一时也找不到答案.直到1690年，雅可布·伯努利提出了疑问：悬链线到底是一种什么样的曲线？最终这个问题在1691年，由惠更斯、莱布尼茨及其弟弟约翰·伯努利解决了.得到的结果是：悬链线为方程所表示的曲线，莱布尼茨称之为双曲余弦曲线，其中是依赖于链的物理性质的一个正常数[9].法国著名昆虫学家法布尔在其《昆虫记》一书第九卷中有一段文字专门讲这个神奇的数：“每当地心引力和扰性同时发生作用时，悬链线就在现实中出现了.当一条悬链弯曲成两点不在同一垂直线上的曲线时，人们便把这种曲线称为悬链线.这就是一条软绳子两端抓住而垂下来的形状；这就是一张被风吹鼓起来的船帆外形的那条线条；这就是母山羊耷拉下来的乳房装满后鼓起来的弧线.而这一切都需要这个数.[10]图3悬链线在我们日常生活中经常可见，比如挂在院子里晾衣服的绳索，脖子上戴着的粗细及质地均匀的项链，绳子末端挂着的小铅丸，沿着稻草滴下的露水，还有肥皂泡中介于空中两个平行圆面之间的肥皂膜.此外，一些有名的建筑也应用到了悬链线.比如我国古代绍兴的迎仙桥，它位于刘门坞附近的惆怅溪上，是我国首次发现的桥拱近似于悬链线的古石拱桥.另一个在设计时也用到了悬链线的建筑是美国密苏里州的圣路易斯的标志性建筑—拱门.一开始，这个拱门本来是要设计成抛物线型的，但是后来考虑到了美学和稳定性，就改成了上下颠倒的悬链线型.2.2.2对数螺线如果我们在极坐标系中画出方程，就可以得到一个如图2-1所示的曲线，也就是对数螺线.其中常数决定了曲线的增长速率[11].图4对数螺线是笛卡尔在1638年发现的.雅各布·伯努利后来重新对它进行了研究并发现了它的许多特性，如对数螺线经过各种适当的变换之后仍是对数螺线.他十分惊叹和欣赏这曲线的特性，竟在遗嘱里要求后人将对数螺线刻在自己的墓碑上，并附以颂词“纵然变化，依然故我”，用以象征死后永生不朽，幽默地写上“我将按着原来的样子变化后复活”的墓志铭.遗憾的是雕刻者误将阿基米德螺线刻了上去.[8]在自然界中,对数螺线无处不在.大到星系，台风，小到花朵，海螺……宇宙中到处都有它的影子.我们仔细观察蜘蛛网，会发现它的每一圈网都排列得很均匀，以至于每一对相邻的幅所形成的角是相等的;蜘蛛织网的时候，首先要在框架之间的两个地方架“天绳”，将丝固定在特定的地方，并且在固定的丝上来回走几次，使丝变厚.然后在“天绳”上设置一条对角线，然后在对角线的中心织一个白点，这就是未来网的中心.此后，在圆的中心和周长之间来回编织了许多呈辐射状的径向线.再从圆的中心向外形成第一螺旋线，接着从圆的外部向里织成具有较强粘性的第二螺旋线.图5在编织完第二螺旋线后，蜘蛛会吃掉第一螺旋线和它的部分射线，接着继续从外向内织螺旋线.越接近中心，每个圆圈之间的距离就越近，直到它变得无法辨认.这十分贴合对数螺线的情况.对数螺线是一条没有尽头的螺线，它总是向着极点缠绕，缠绕得圈数越多，它就越接近极点，但它永远无法到达极点.它在自然界普遍存在，比如车前草的叶子在茎上旋转排列成螺旋状，可以很好地镶嵌，不会相互重叠.这是采光面积最大的布置方式，有效提高了植物的光合作用效率.建筑师参考车前草叶片排列的原理，设计出现代螺旋式高层建筑，可以使高层建筑的每一个房间都明亮，达到更好的采光效果.葵花盘上的果实呈对数螺线的排列，可以使果实排列得十分紧密、产生后代的效率最高.此外，葵花籽、鹦鹉螺旋外壳、车前草、菊花的种子、蜘蛛、星体运行轨迹、象鼻、动物的角和毛也有对数螺线的身影.在工业生产中，水泵的涡轮叶片表面做成对数螺线的形状，就可以使水泵抽水均匀.在农业生产中，滚刀的刀片弯曲成多个对数螺线的形状，它便会以特定的角度快速而良好地切割牧草.日常使用的螺丝扣、器械上的螺杆、螺帽、螺钉都是螺旋线，枪膛里的膛线也是螺旋线，甚至有些楼梯也是螺旋状的.被誉为“世界七大奇迹”之一的意大利比萨斜塔的楼梯就是294级螺旋.对数螺线是一条奇妙的曲线，一条美丽的曲线，一条“生命的曲线”，它盘旋着，扩张着，上升到一个遥远的地方、更远的地方，甚至是无限的地方，盘旋着，向下收缩着，但却找不到它的起点.2.3欧拉公式中的无理数在欧拉公式中扮演着重要的角色.欧拉公式是数学里最令人着迷的公式之一，它将数学里最重要的几个常数联系到了一起：两个超越数：自然对数的底，圆周率；两个单位：虚数单位和自然数的单位1，以及数学里常见的.即这个等式的最左边是无限复杂的数，然而当它们组合在一起时，它们的无限就坍缩成了一个小小的、整洁的整数.也就是说，这个恒等式明示了实际上就等于一个简单的整数-1.这是个令人吃惊的事实，5个看起来互不相关的数(、、、和)在这个公式中如同相互接触的一片片拼图那样整洁地组合在一起.这就是欧拉公式的奇妙之处.那么这个恒等式是怎么来的呢?这个恒等式最早出现于1748年欧拉在洛桑出版的书中，它是复数分析中欧拉公式的一种特殊情况。对于任意实数，则有，令代入上式，则可得出欧拉恒等式.欧拉公式的产生对数学领域有着广泛的影响，如三角函数、泰勒级数、群论都有它的身影.所以，数学家们将其评价为“上帝创造的公式，我们只能看它，但不能完全理解它”.美国数学家本杰明·皮尔斯在一次上课时演示了如何证明这个公式的一种变化形式.随后，他对着自己在黑板上所写的内容凝视了几分钟，然后转向他的学生们说：“这完全是矛盾的，我们无法理解它，我们也不知道它的意思是什么，但我们证明了它，因此我们知道它必定是真理.”[12]数学家基思·德林夫也曾感到过惊奇.他评论道：“就像莎士比亚的十四行诗捕捉到了爱的精髓，或者一幅油画表现出了远不止肤浅表面的人体形态之美，欧拉公式达到了存在的真正极深处.”理查德·费曼说得更加简短，但是没有那么热情.他在14岁时撰写的一本笔记中写道，它是“数学中最卓越的公式”.[12]2.4正态分布中的正态分布是概率论中最重要的连续型分布之一，也称高斯分布，是由棣莫弗在研究二项分布的概率近似公式中首次亮相，当时没有引起他的注意，但棣莫弗却发现了极其重要的中心极限定理.之后由高斯深入研究，给出了正态分布的形式.根据中心极限定理，如果某个量受到许多独立随机因素的影响，并且每个因素在总影响中微乎其微，那么该量必然服从或近似服从正态分布.加布里埃尔·李普曼这样评价正态分布:每个人都相信它，实验者认为它是一个数学定理，数学研究者认为它是一个经验公式.弗朗西斯·高尔顿曾发明了一个叫做高尔顿钉板的装置，展示了正态分布的生产过程，当弹珠往下滚的时候，撞到钉子就会随机选择往左边走，还是往右边走，一颗弹珠一路滚下来多次选择方向，最终的分布就会接近正态分布.那么，自然界中为什么会有那么多正态分布？弗朗西斯·高尔顿曾经发明了一种叫做高尔顿钉板的装置，它显示了正态分布的产生过程，弹珠滚下时，撞到钉子后就会随机选择向左还是向右走.当弹珠一路滚下多次选择方向时，最终的分布就接近正态分布.那么，自然界中为什么有那么多现象呈现正态分布呢？比如如女性的身高受父母身高、家庭饮食习惯、是否喜欢运动等多种因素影响，这些影响就像高尔顿钉板上的钉子，要么对身高产生正面的影响，要么对身高产生负面的影响，最终就会使女性整体身高接近正态分布.中心极限定理提到，在适当的条件下，经过适当的标准化，大量独立随机变量的均值按分布收敛到正态分布，其中有三个要素:独立、随机和加法。每次采样都被各种随机性所支配，就像钉板上的一颗钉子，对采样结果产生正面或者负面的影响，最终结果就形成了正态分布.正态分布中含有重要的自然常数，若随机变量的概率密度为其中，和均为常数，且，则称随机变量服从参数为和的正态分布，记作.[7]那么在正态分布中到底扮演着一个什么角色，为什么正态分布中出现了，事实上，在正态分布公式的推导中，取对数似然函数的时候完全可以取任意正数为底，但是，如果取其他数的话，计算就没那么方便