陕西省汉中市2024届高三下学期第二次教学质量检测理科数学试题及答案

陕西省汉中市2024届高三下学期第二次教学质量检测理科数学试题及答案一、试题部分

第Ⅰ卷（选择题共60分）1.本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。2.已知集合\(A=\{x|x^23x4\lt0\}\)，\(B=\{x|x\gt0\}\)，则\(A\capB=(\)\)A.\((0,4)\)B.\((0,1)\)C.\((1,4)\)D.\((1,4)\)3.已知\(i\)为虚数单位，若复数\(z=\frac{2+i}{1i}\)，则\(|z|=(\)\)A.\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{10}}{2}\)C.\(\frac{3\sqrt{2}}{2}\)D.\(\sqrt{10}\)4.已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，则\(|\overrightarrow{b}|=(\)\)A.\(2\sqrt{5}\)B.\(\sqrt{5}\)C.\(3\sqrt{5}\)D.\(4\sqrt{5}\)5.已知\(\sin(\alpha+\frac{\pi}{3})=\frac{1}{3}\)，则\(\cos(2\alpha+\frac{2\pi}{3})=(\)\)A.\(\frac{7}{9}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(\frac{7}{9}\)6.函数\(f(x)=\frac{e^xe^{x}}{x^2}\)的图象大致为（）

7.已知双曲线\(C:\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的一条渐近线方程为\(y=\frac{\sqrt{5}}{2}x\)，且与椭圆\(\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1\)有公共焦点，则\(C\)的方程为（）A.\(\frac{x^2}{8}\frac{y^2}{10}=1\)B.\(\frac{x^2}{4}\frac{y^2}{5}=1\)C.\(\frac{x^2}{5}\frac{y^2}{4}=1\)D.\(\frac{x^2}{4}\frac{y^2}{3}=1\)8.已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且\(S_n=2a_n1\)，则\(a_5=(\)\)A.\(16\)B.\(16\)C.\(31\)D.\(32\)9.已知\(a=\log_20.2\)，\(b=2^{0.2}\)，\(c=0.2^{0.3}\)，则（）A.\(a\ltb\ltc\)B.\(a\ltc\ltb\)C.\(c\lta\ltb\)D.\(b\ltc\lta\)10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A.\(\frac{2\pi}{3}\)B.\(\frac{4\pi}{3}\)C.\(2\pi\)D.\(\frac{8\pi}{3}\)11.已知\(F\)是抛物线\(y^2=4x\)的焦点，\(A\)，\(B\)是抛物线上的两点，\(|AF|+|BF|=12\)，则线段\(AB\)的中点到\(y\)轴的距离为（）A.\(4\)B.\(5\)C.\(6\)D.\(10\)12.已知函数\(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega\gt0,|\varphi|\lt\frac{\pi}{2})\)，将\(y=f(x)\)的图象向右平移\(\frac{\pi}{6}\)个单位长度后，所得图象与原图象重合，则\(\omega\)的最小值为（）A.\(6\)B.\(5\)C.\(4\)D.\(3\)

第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中的横线上。13.已知\((x+\frac{1}{x})^n\)展开式的二项式系数之和为\(64\)，则其展开式中常数项为______。14.已知函数\(f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2\)在\(x=1\)处有极值\(10\)，则\(a+b=\)______。15.已知\(x\)，\(y\)满足约束条件\(\begin{cases}xy+1\geq0\\x+y3\leq0\\y\geq1\end{cases}\)，则\(z=2xy\)的最大值为______。16.已知球\(O\)是正四面体\(ABCD\)的外接球，\(BC=2\)，点\(E\)在线段\(BD\)上，且\(BD=3BE\)，过点\(E\)作球\(O\)的截面，则所得截面圆面积的最小值是______。

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）在\(\triangleABC\)中，角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，已知\(a=2\)，\(b=\sqrt{3}\)，\(A=\frac{\pi}{3}\)。（1）求\(\sinB\)的值；（2）求\(c\)的值。18.（本小题满分12分）已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且\(a_3=5\)，\(S_3=9\)。（1）求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；（2）设\(b_n=\frac{1}{a_na_{n+1}}\)，求数列\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和\(T_n\)。19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥\(PABCD\)中，底面\(ABCD\)是平行四边形，\(PA\perp\)底面\(ABCD\)，\(AB=1\)，\(AD=2\)，\(\angleBAD=60^{\circ}\)，\(PA=\sqrt{3}\)。（1）证明：\(BD\perp\)平面\(PAC\)；（2）求二面角\(PCDB\)的余弦值。20.（本小题满分12分）某中学为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从高一、高二、高三学生中抽取一个容量为\(n\)的样本进行调查，已知高一、高二、高三学生人数之比为\(4:3:2\)。（1）若从高三年级抽取\(12\)人，求\(n\)的值；（2）若样本中高三学生的平均身高为\(172cm\)，方差为\(12\)；高二年级学生的平均身高为\(170cm\)，方差为\(15\)；高一年级学生的平均身高为\(166cm\)，方差为\(20\)。求样本中所有学生身高的方差。21.（本小题满分12分）已知函数\(f(x)=\frac{1}{2}x^2(a+1)x+a\lnx\)。（1）当\(a\gt1\)时，求函数\(f(x)\)的单调区间；（2）若函数\(f(x)\)在区间\((1,+\infty)\)上有且只有一个零点，求实数\(a\)的取值范围。

选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系\(xOy\)中，曲线\(C_1\)的参数方程为\(\begin{cases}x=2+2\cos\alpha\\y=2\sin\alpha\end{cases}\)（\(\alpha\)为参数），以原点\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线\(C_2\)的极坐标方程为\(\rho\cos\theta\rho\sin\theta=1\)。（1）求曲线\(C_1\)的极坐标方程和曲线\(C_2\)的直角坐标方程；（2）设曲线\(C_1\)与曲线\(C_2\)交于\(A\)，\(B\)两点，求\(|AB|\)的值。23.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数\(f(x)=|x1|+|x+2|\)。（1）求不等式\(f(x)\leq5\)的解集；（2）若不等式\(f(x)\geqx^2+mx1\)的解集包含区间\([1,1]\)，求实数\(m\)的取值范围。

二、答案部分

第Ⅰ卷（选择题共60分）1.【答案】A【解析】解不等式\(x^23x4\lt0\)，即\((x4)(x+1)\lt0\)，解得\(1\ltx\lt4\)，所以\(A=\{x|1\ltx\lt4\}\)。又\(B=\{x|x\gt0\}\)，则\(A\capB=\{x|0\ltx\lt4\}=(0,4)\)，故选A。2.【答案】B【解析】\(z=\frac{2+i}{1i}=\frac{(2+i)(1+i)}{(1i)(1+i)}=\frac{2+2i+i+i^2}{2}=\frac{1+3i}{2}\)，则\(|z|=\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{3}{2})^2}=\frac{\sqrt{10}}{2}\)，故选B。3.【答案】A【解析】因为\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，所以\(1\timesm2\times(2)=0\)，解得\(m=4\)，则\(\overrightarrow{b}=(2,4)\)，所以\(|\overrightarrow{b}|=\sqrt{(2)^2+(4)^2}=2\sqrt{5}\)，故选A。4.【答案】D【解析】\(\cos(2\alpha+\frac{2\pi}{3})=12\sin^2(\alpha+\frac{\pi}{3})=12\times(\frac{1}{3})^2=\frac{7}{9}\)，故选D。5.【答案】略（题目中未给出选项对应的具体图形描述，无法准确给出答案）6.【答案】B【解析】双曲线\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1\)的渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)，已知一条渐近线方程为\(y=\frac{\sqrt{5}}{2}x\)，则\(\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}\)，即\(b=\frac{\sqrt{5}}{2}a\)。椭圆\(\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1\)的焦点坐标为\((\pm3,0)\)，所以双曲线中\(c=3\)。又\(c^2=a^2+b^2\)，即\(9=a^2+(\frac{\sqrt{5}}{2}a)^2\)，解得\(a^2=4\)，\(b^2=5\)，则双曲线方程为\(\frac{x^2}{4}\frac{y^2}{5}=1\)，故选B。7.【答案】B【解析】由\(S_n=2a_n1\)可得\(S_{n1}=2a_{n1}1(n\geq2)\)，两式相减得\(a_n=2a_n2a_{n1}\)，即\(a_n=2a_{n1}(n\geq2)\)。当\(n=1\)时，\(S_1=a_1=2a_11\)，解得\(a_1=1\)，所以数列\(\{a_n\}\)是以\(1\)为首项，\(2\)为公比的等比数列，则\(a_n=2^{n1}\)，所以\(a_5=2^4=16\)，故选B。8.【答案】B【解析】\(a=\log_20.2\lt\log_21=0\)，\(b=2^{0.2}\gt2^0=1\)，\(0\ltc=0.2^{0.3}\lt0.2^0=1\)，所以\(a\ltc\ltb\)，故选B。9.【答案】略（题目中未给出选项对应的具体图形描述，无法准确给出答案）10.【答案】B【解析】由抛物线定义知\(|AF|+|BF|=x_A+x_B+2=12\)，则\(x_A+x_B=10\)，所以线段\(AB\)的中点到\(y\)轴的距离为\(\frac{x_A+x_B