工程数学复变函数复习重点

工程数学复变函数复习重点摘要：本文主要围绕工程数学复变函数的复习重点展开。首先介绍复变函数的基本概念，包括复数的表示与运算。接着阐述解析函数的判定方法和重要性质，以及复变函数积分的计算技巧和相关定理。然后深入探讨级数理论，如幂级数的收敛性与展开。最后提及留数定理及其应用，帮助学习者系统梳理复变函数的核心知识，为复习备考提供有力指导。

一、复数的基本概念（一）复数的表示1.代数形式：\(z=x+iy\)，其中\(x\)为实部，\(y\)为虚部，\(i=\sqrt{1}\)。2.几何表示：复平面：用横坐标表示实部，纵坐标表示虚部，将复数\(z=x+iy\)对应复平面上的点\((x,y)\)。向量表示：复数\(z\)可看作从原点到点\((x,y)\)的向量，其模\(\vertz\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)，幅角\(\argz\)（多值），主值\(\argz\in(\pi,\pi]\)。3.三角形式：\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)，其中\(r=\vertz\vert\)，\(\theta=\argz\)。4.指数形式：\(z=re^{i\theta}\)。

（二）复数的运算1.加减运算：若\(z_1=x_1+iy_1\)，\(z_2=x_2+iy_2\)，则\(z_1\pmz_2=(x_1\pmx_2)+i(y_1\pmy_2)\)。2.乘法运算：代数形式：\(z_1z_2=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=(x_1x_2y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1)\)。三角形式：\(z_1z_2=r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)]\)。指数形式：\(z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}\)。3.除法运算：代数形式：\(\frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=\frac{(x_1+iy_1)(x_2iy_2)}{x_2^{2}+y_2^{2}}\)（分母实数化）。三角形式：\(\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1\theta_2)+i\sin(\theta_1\theta_2)]\)。指数形式：\(\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1\theta_2)}\)。

二、解析函数（一）复变函数的导数1.定义：设函数\(w=f(z)\)在区域\(D\)内有定义，\(z_0\inD\)，若极限\(\lim\limits_{z\rightarrowz_0}\frac{f(z)f(z_0)}{zz_0}\)存在，则称\(f(z)\)在\(z_0\)处可导，此极限值为\(f(z)\)在\(z_0\)处的导数，记为\(f^\prime(z_0)\)。2.求导法则：与实函数求导法则类似，如\((u\pmv)^\prime=u^\prime\pmv^\prime\)，\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)，\((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\primevuv^\prime}{v^{2}}(v\neq0)\)等。

（二）解析函数的概念1.定义：若函数\(f(z)\)在区域\(D\)内处处可导，则称\(f(z)\)在区域\(D\)内解析；若\(f(z)\)在点\(z_0\)的某邻域内解析，则称\(f(z)\)在点\(z_0\)解析。2.解析函数的判定：充要条件：\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)在区域\(D\)内解析的充要条件是\(u(x,y)\)与\(v(x,y)\)在\(D\)内可微，且满足柯西黎曼方程\(\frac{\partialu}{\partialx}=\frac{\partialv}{\partialy}\)，\(\frac{\partialu}{\partialy}=\frac{\partialv}{\partialx}\)。利用已知解析函数：常见的解析函数如\(z^n\)（\(n\)为正整数），\(e^z\)，\(\sinz\)，\(\cosz\)等，可通过运算性质判断组合函数的解析性。

（三）解析函数的性质1.唯一性：若两个解析函数在区域\(D\)内某一子区域或某一弧段上相等，则它们在区域\(D\)内恒等。2.无穷可微性：解析函数在其解析区域内具有各阶导数，且各阶导数仍为解析函数。3.最大模原理：设\(f(z)\)在区域\(D\)内解析，若\(\vertf(z)\vert\)在\(D\)内某点达到最大值，则\(f(z)\)在\(D\)内必为常数。

三、复变函数积分（一）复变函数积分的定义1.积分和式：设函数\(f(z)\)定义在光滑曲线\(C\)上，把\(C\)任意分成\(n\)个小弧段，设分点为\(z_0,z_1,\cdots,z_n\)，在每个小弧段\(\overset{\frown}{z_{k1}z_k}\)上任取一点\(\xi_k\)，作和式\(\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)(z_kz_{k1})\)。2.积分定义：当\(n\)无限增大，且\(\vertz_kz_{k1}\vert\)的最大值趋于零时，上述和式的极限存在，则称此极限值为\(f(z)\)沿曲线\(C\)的积分，记为\(\int_{C}f(z)dz\)。

（二）积分计算方法1.参数方程法：若曲线\(C\)的参数方程为\(z=z(t)(\alpha\leqt\leq\beta)\)，则\(\int_{C}f(z)dz=\int_{\alpha}^{\beta}f[z(t)]z^\prime(t)dt\)。2.利用柯西积分定理：柯西积分定理：设\(f(z)\)在单连通区域\(D\)内解析，\(C\)为\(D\)内的任意一条闭曲线，则\(\int_{C}f(z)dz=0\)。复合闭路定理：设\(f(z)\)在多连通区域\(D\)内解析，\(C\)及\(C_1,C_2,\cdots,C_n\)是\(D\)内的简单闭曲线，\(C\)包含\(C_1,C_2,\cdots,C_n\)，且它们互不包含互不相交，则\(\int_{C}f(z)dz=\sum_{k=1}^{n}\int_{C_k}f(z)dz\)。3.柯西积分公式：若\(f(z)\)在区域\(D\)内解析，\(C\)为\(D\)内的简单闭曲线，\(a\)为\(C\)内一点，则\(f(a)=\frac{1}{2\pii}\int_{C}\frac{f(z)}{za}dz\)。推广：\(f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pii}\int_{C}\frac{f(z)}{(za)^{n+1}}dz\)（\(n=1,2,\cdots\)）。

四、级数理论（一）复数项级数1.级数的定义：设\(\{z_n\}\)为一复数序列，\(z_n=x_n+iy_n\)，则\(\sum_{n=1}^{\infty}z_n=\sum_{n=1}^{\infty}(x_n+iy_n)=\sum_{n=1}^{\infty}x_n+i\sum_{n=1}^{\infty}y_n\)。2.收敛的定义：若\(\sum_{n=1}^{\infty}x_n\)与\(\sum_{n=1}^{\infty}y_n\)都收敛，则称\(\sum_{n=1}^{\infty}z_n\)收敛，否则发散。3.收敛的判别法：柯西收敛准则：\(\sum_{n=1}^{\infty}z_n\)收敛的充要条件是对于任意给定的\(\epsilon>0\)，存在正整数\(N\)，当\(n>N\)，\(p=1,2,\cdots\)时，有\(\vertz_{n+1}+z_{n+2}+\cdots+z_{n+p}\vert<\epsilon\)。比较判别法：若\(\vertz_n\vert\leqa_n\)，且\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收敛，则\(\sum_{n=1}^{\infty}z_n\)收敛；若\(\vertz_n\vert\geqb_n\geq0\)，且\(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\)发散，则\(\sum_{n=1}^{\infty}z_n\)发散。

（二）幂级数1.幂级数的形式：\(\sum_{n=0}^{\infty}c_n(za)^n=c_0+c_1(za)+c_2(za)^2+\cdots\)。2.收敛半径的求法：比值法：设\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\vert\frac{c_{n+1}}{c_n}\vert=\rho\)，则收敛半径\(R=\begin{cases}\frac{1}{\rho},&\rho\neq0\\+\infty,&\rho=0\\0,&\rho=+\infty\end{cases}\)。根值法：设\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\vertc_n\vert}=\rho\)，同样可得收敛半径\(R\)的上述结果。3.幂级数的性质：和函数的解析性：幂级数\(\sum_{n=0}^{\infty}c_n(za)^n\)的和函数\(S(z)\)在收敛圆\(\vertza\vert<R\)内解析。逐项求导与逐项积分：在收敛圆内，幂级数可逐项求导与逐项积分，且收敛半径不变。

（三）泰勒级数1.泰勒展开定理：若函数\(f(z)\)在点\(a\)的某邻域\(\vertza\vert<R\)内解析，则\(f(z)\)在该邻域内可展开为泰勒级数\(f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(za)^n\)，其中\(f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pii}\int_{C}\frac{f(z)}{(za)^{n+1}}dz\)，\(C\)为\(\vertza\vert<R\)内围绕点\(a\)的任意简单闭曲线。2.常见函数的泰勒展开式：\(e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\)，\(\sinz=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}\)，\(\cosz=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1)^n}{(2n)!}z^{2n}\)等。

（四）洛朗级数1.洛朗展开定理：若函数\(f(z)\)在圆环域\(R_1<\vertza\vert<R_2\)内解析，则\(f(z)\)可展开为洛朗级数\(f(z)=\sum_{n=\infty}^{\infty}c_n(za)^n\)，其中\(c_n=\frac{1}{2\pii}\int_{C}\frac{f(z)}{(za)^{n+1}}dz\)，\(C\)为圆环域内绕\(a\)的任意一条正向简单闭曲线。2.孤立奇点：可去奇点：若\(f(z)\)在\(z_0\)的洛朗级数中不含\((zz_0)\)的负幂次项，则\(z_0\)为可去奇点。极点：若\(f(z)\)在\(z_0\)的洛朗级数中只有有限多个\((zz_0)\)的负幂次项，且最高负幂次为\(m\)，则\(z_0\)为\(m\)阶极点。本性奇点：若\(f(z)\)在\(z_0\)的洛朗级数中有无限多个\((zz_0)\)的负幂次项，则\(z_0\)为本性奇点。

五、留数定理（一）留数的定义设\(f(z)\)在点\(z_0\)的去心邻域\(0<\vertzz_0\vert<R\)内解析，\(C\)为该邻域内包含\(z_0\)的正向简单闭曲线，则\(f(z)\)在\(z_0\)处的留数\(Res[f(z),z_0]=\frac{1}{2\pii}\int_{C}f(z)dz\)。

（二）留数的计算方法1.若\(z_0\)为可去奇点，则\(Res[f(z),z_0]=0\)。2.若\(z_0\)为\(m\)阶极点：若\(f(z)=\frac{\varphi(z)}{(zz_0)^m}\)，其中\(\varphi(z)\)在\(z_0\)处解析且\(\varphi(z_0)\neq0\)，则\(Res[f(z),z_0]=\frac{\varphi^{(m1)}(z_0)}{(m1)!}\)。也可利用洛朗级数求留数，即找出\((zz_0)^{1}\)的系数。3.若\(z_0\)为本性奇点：一般通过将\(f(z)\)展开为洛朗级数来求留数。

（三）留数定理设\(f(z