2024导数的四则运算法则教案2

2024导数的四则运算法则教案2一、教学目标1.知识与技能目标理解并掌握导数的四则运算法则，能运用法则求简单函数的导数。能够正确运用导数的四则运算法则进行函数的求导运算，提高学生的运算能力。2.过程与方法目标通过实例分析，引导学生探究导数的四则运算法则，培养学生的观察、分析、归纳和逻辑推理能力。经历从特殊到一般的推导过程，让学生体会数学的归纳思想和类比思想，提高学生的数学思维能力。3.情感态度与价值观目标通过对导数四则运算法则的探究，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。在学习过程中，让学生感受数学的严谨性和科学性，培养学生严谨的治学态度。

二、教学重难点1.教学重点导数的加法、减法、乘法和除法运算法则的推导及应用。熟练运用导数的四则运算法则求函数的导数。2.教学难点导数乘法法则和除法法则的推导过程及应用。灵活运用导数的四则运算法则进行函数的求导运算，特别是在复合函数求导中的应用。

三、教学方法1.讲授法：系统地讲解导数的四则运算法则，使学生对知识有一个清晰的认识。2.探究法：通过引导学生对具体函数的导数进行探究，让学生自主发现导数的四则运算法则，培养学生的探究能力和创新思维。3.练习法：通过大量的练习题，让学生巩固所学的导数四则运算法则，提高学生的运算能力和解题技巧。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.复习回顾请学生回顾导数的定义：设函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处可导，那么函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处的导数\(f^\prime(x_0)\)为\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)f(x_0)}{\Deltax}\)。提问：我们已经学习了一些简单函数的导数，如\(y=x^n\)的导数\(y^\prime=nx^{n1}\)，\(y=\sinx\)的导数\(y^\prime=\cosx\)，\(y=\cosx\)的导数\(y^\prime=\sinx\)等，那么对于更复杂的函数，如何求导呢？2.情境引入展示一个实际问题：已知某物体的运动方程为\(s(t)=t^2+2t+1\)，求该物体在\(t=2\)时的瞬时速度。引导学生思考：我们可以先求出\(s(t)\)在\(t=2\)处的导数，再根据导数的物理意义得到瞬时速度。但是\(s(t)\)是一个多项式函数，有没有更简便的方法求其导数呢？这就需要我们探究导数的四则运算法则。

（二）讲授新课（25分钟）1.导数的加法法则设函数\(u=u(x)\)，\(v=v(x)\)都在点\(x\)处可导，则\((u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime\)。证明：令\(y=u(x)+v(x)\)，则\(\Deltay=[u(x+\Deltax)+v(x+\Deltax)][u(x)+v(x)]=[u(x+\Deltax)u(x)]+[v(x+\Deltax)v(x)]\)。根据导数的定义，\(y^\prime=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltay}{\Deltax}=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{u(x+\Deltax)u(x)+v(x+\Deltax)v(x)}{\Deltax}\)。由极限的运算法则，可得\(y^\prime=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{u(x+\Deltax)u(x)}{\Deltax}+\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{v(x+\Deltax)v(x)}{\Deltax}\)。因为\(u=u(x)\)，\(v=v(x)\)都在点\(x\)处可导，所以\(y^\prime=u^\prime+v^\prime\)，即\((u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime\)。例如：已知\(f(x)=3x^2+2x\)，求\(f^\prime(x)\)。解：根据导数的加法法则，\(f^\prime(x)=(3x^2)^\prime+(2x)^\prime\)。由\((x^n)^\prime=nx^{n1}\)，可得\((3x^2)^\prime=3\times2x=6x\)，\((2x)^\prime=2\)。所以\(f^\prime(x)=6x+2\)。2.导数的减法法则设函数\(u=u(x)\)，\(v=v(x)\)都在点\(x\)处可导，则\((uv)^\prime=u^\primev^\prime\)。证明：令\(y=u(x)v(x)\)，则\(\Deltay=[u(x+\Deltax)v(x+\Deltax)][u(x)v(x)]=[u(x+\Deltax)u(x)][v(x+\Deltax)v(x)]\)。根据导数的定义，\(y^\prime=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltay}{\Deltax}=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{u(x+\Deltax)u(x)v(x+\Deltax)+v(x)}{\Deltax}\)。由极限的运算法则，可得\(y^\prime=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{u(x+\Deltax)u(x)}{\Deltax}\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{v(x+\Deltax)v(x)}{\Deltax}\)。因为\(u=u(x)\)，\(v=v(x)\)都在点\(x\)处可导，所以\(y^\prime=u^\primev^\prime\)，即\((uv)^\prime=u^\primev^\prime\)。例如：已知\(g(x)=5x^34x^2\)，求\(g^\prime(x)\)。解：根据导数的减法法则，\(g^\prime(x)=(5x^3)^\prime(4x^2)^\prime\)。由\((x^n)^\prime=nx^{n1}\)，可得\((5x^3)^\prime=5\times3x^2=15x^2\)，\((4x^2)^\prime=4\times2x=8x\)。所以\(g^\prime(x)=15x^28x\)。3.导数的乘法法则设函数\(u=u(x)\)，\(v=v(x)\)都在点\(x\)处可导，则\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)。证明：令\(y=u(x)v(x)\)，则\(\Deltay=u(x+\Deltax)v(x+\Deltax)u(x)v(x)\)。将\(u(x+\Deltax)v(x+\Deltax)\)进行变形：\(u(x+\Deltax)v(x+\Deltax)=[u(x)+u^\prime(x)\Deltax+o(\Deltax)][v(x)+v^\prime(x)\Deltax+o(\Deltax)]\)（其中\(o(\Deltax)\)是比\(\Deltax\)高阶的无穷小）。展开可得：\(u(x+\Deltax)v(x+\Deltax)=u(x)v(x)+u(x)v^\prime(x)\Deltax+v(x)u^\prime(x)\Deltax+u^\prime(x)v^\prime(x)(\Deltax)^2+o(\Deltax)\)。所以\(\Deltay=u(x)v^\prime(x)\Deltax+v(x)u^\prime(x)\Deltax+u^\prime(x)v^\prime(x)(\Deltax)^2+o(\Deltax)\)。则\(y^\prime=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltay}{\Deltax}=\lim\limits_{\Deltax\to0}[u(x)v^\prime(x)+v(x)u^\prime(x)+u^\prime(x)v^\prime(x)\Deltax+\frac{o(\Deltax)}{\Deltax}]\)。当\(\Deltax\to0\)时，\(u^\prime(x)v^\prime(x)\Deltax\to0\)，\(\frac{o(\Deltax)}{\Deltax}\to0\)，所以\(y^\prime=u^\primev+uv^\prime\)，即\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)。例如：已知\(h(x)=(2x+1)(3x^22)\)，求\(h^\prime(x)\)。解：根据导数的乘法法则，\(h^\prime(x)=(2x+1)^\prime(3x^22)+(2x+1)(3x^22)^\prime\)。由\((x^n)^\prime=nx^{n1}\)，可得\((2x+1)^\prime=2\)，\((3x^22)^\prime=3\times2x=6x\)。所以\(h^\prime(x)=2(3x^22)+(2x+1)\times6x=6x^24+12x^2+6x=18x^2+6x4\)。4.导数的除法法则设函数\(u=u(x)\)，\(v=v(x)\)都在点\(x\)处可导，且\(v(x)\neq0\)，则\((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\primevuv^\prime}{v^2}\)。证明：令\(y=\frac{u(x)}{v(x)}\)，则\(\Deltay=\frac{u(x+\Deltax)}{v(x+\Deltax)}\frac{u(x)}{v(x)}=\frac{u(x+\Deltax)v(x)u(x)v(x+\Deltax)}{v(x+\Deltax)v(x)}\)。将\(u(x+\Deltax)v(x)u(x)v(x+\Deltax)\)进行变形：\(u(x+\Deltax)v(x)u(x)v(x+\Deltax)=[u(x)+u^\prime(x)\Deltax+o(\Deltax)]v(x)u(x)[v(x)+v^\prime(x)\Deltax+o(\Deltax)]=u^\prime(x)v(x)\Deltaxu(x)v^\prime(x)\Deltax+o(\Deltax)\)。所以\(\Deltay=\frac{u^\prime(x)v(x)\Deltaxu(x)v^\prime(x)\Deltax+o(\Deltax)}{v(x+\Deltax)v(x)}\)。则\(y^\prime=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltay}{\Deltax}=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{u^\prime(x)v(x)u(x)v^\prime(x)+\frac{o(\Deltax)}{\Deltax}}{v(x+\Deltax)v(x)}\)。当\(\Deltax\to0\)时，\(\frac{o(\Deltax)}{\Deltax}\to0\)，\(v(x+\Deltax)\tov(x)\)，所以\(y^\prime=\frac{u^\primevuv^\prime}{v^2}\)，即\((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\primevuv^\prime}{v^2}\)。例如：已知\(k(x)=\frac{2x1}{x+2}\)，求\(k^\prime(x)\)。解：根据导数的除法法则，\(k^\prime(x)=\frac{(2x1)^\prime(x+2)(2x1)(x+2)^\prime}{(x+2)^2}\)。由\((x^n)^\prime=nx^{n1}\)，可得\((2x1)^\prime=2\)，\((x+2)^\prime=1\)。所以\(k^\prime(x)=\frac{2(x+2)(2x1)\times1}{(x+2)^2}=\frac{2x+42x+1}{(x+2)^2}=\frac{5}{(x+2)^2}\)。

（三）例题讲解（15分钟）例1：求\(y=3x^3+2x^25x+1\)的导数。解：根据导数的加法法则，\(y^\prime=(3x^3)^\prime+(2x^2)^\prime(5x)^\prime+1^\prime\)。由\((x^n)^\prime=nx^{n1}\)，可得\((3x^3)^\prime=3\times3x^2=9x^2\)，\((2x^2)^\prime=2\times2x=4x\)，\((5x)^\prime=5\)，\(1^\prime=0\)。所以\(y^\prime=9x^2+4x5\)。

例2：求\(y=(2x+3)(x1)\)的导数。解：根据导数的乘法法则，\(y^\prime=(2x+3)^\prime(x1)+(2x+3)(x1)^\prime\)。由\((x^n)^\prime=nx^{n1}\)，可得\((2x+3)^\prime=2\)，\((x1)^\prime=1\)。所以\(y^\prime=2(x1)+(2x+3)\times1=2x2+2x+3=4x+1\)。

例3：求\(y=\frac{x^2+1}{x1}\)的导数。解：根据