工程力学材料力学第四版北京科技大学及东北大学习题答案解析

工程力学材料力学第四版[北京科技大学及东北大学]习题答案解析一、绪论习题11.题目：说明下列名词、术语的意义：构件；变形；弹性变形；塑性变形；强度；刚度；稳定性。2.答案：构件：组成结构的各个单独部件称为构件，它是工程结构中的基本受力单元。例如，房屋中的梁、柱，机械中的轴、齿轮等都是构件。变形：构件在外力作用下，其形状和尺寸会发生改变，这种改变称为变形。比如，拉伸的弹簧会变长，受压的杆件会变短等。弹性变形：当外力卸除后，构件能完全恢复其原来形状和尺寸的变形称为弹性变形。像拉伸的橡皮筋，去掉拉力后能恢复原状，其变形就是弹性变形。塑性变形：外力卸除后，构件不能恢复的那部分变形称为塑性变形。例如，将金属材料拉伸超过一定限度后，即使去掉拉力，材料也不能完全恢复到原来的长度，这部分不能恢复的变形就是塑性变形。强度：构件抵抗破坏的能力称为强度。例如，桥梁在承受车辆荷载时，不能发生断裂等破坏，这就要求桥梁构件具有足够的强度。刚度：构件抵抗变形的能力称为刚度。如车床的主轴，在加工过程中如果变形过大，会影响加工精度，所以要求主轴有足够的刚度，以保证加工质量。稳定性：构件保持其原有平衡形式的能力称为稳定性。例如，细长的受压杆件，当压力达到一定值时，可能会突然变弯而失去原有的直线平衡状态，这就是稳定性问题。

习题21.题目：材料力学的任务是什么？2.答案：材料力学的任务主要有以下几方面：研究构件在外力作用下的内力、应力、变形和位移等的计算方法。通过对这些量的分析，能够准确了解构件的受力状态。确定构件在外力作用下的强度、刚度和稳定性条件。根据这些条件，可以保证构件在工作时既安全可靠，又能满足正常使用要求。例如，通过强度条件确保构件不会发生破坏，通过刚度条件使构件的变形在允许范围内，通过稳定性条件防止构件失去平衡。为合理设计构件提供理论基础和计算方法。根据材料力学的原理，可以选择合适的材料、形状和尺寸来设计构件，使设计既经济又安全。比如在设计桥梁时，利用材料力学知识选择合适的钢材型号和桥梁结构形式，以达到最佳的力学性能和经济性。

二、轴向拉伸与压缩习题11.题目：试求图中11、22、33截面上的轴力，并作轴力图。2.答案：首先明确求轴力的方法是截面法。设杆的左段为研究对象，向右为正方向。对于11截面：由平衡方程\(\sumF_x=0\)，可得\(N_120=0\)，解得\(N_1=20kN\)。对于22截面：由平衡方程\(\sumF_x=0\)，可得\(N_22030=0\)，解得\(N_2=50kN\)。对于33截面：由平衡方程\(\sumF_x=0\)，可得\(N_32030+40=0\)，解得\(N_3=10kN\)。轴力图：以杆的轴线为横坐标，轴力为纵坐标。在横坐标上分别标出11、22、33截面位置。对应截面位置画出轴力值的纵坐标线段，11截面处\(N=20kN\)，22截面处\(N=50kN\)，33截面处\(N=10kN\)，连接各点得到轴力图。轴力图呈现出先上升到\(50kN\)，然后下降到\(10kN\)的变化趋势。

习题21.题目：一阶梯形圆截面杆，直径分别为\(d_1=40mm\)，\(d_2=30mm\)，受力如图所示。试求杆内最大正应力。2.答案：首先求各段轴力：设左段为研究对象，由平衡方程\(\sumF_x=0\)，可得\(N_120=0\)，\(N_1=20kN\)。设右段为研究对象，由平衡方程\(\sumF_x=0\)，可得\(N_2+1020=0\)，\(N_2=10kN\)。然后计算各段横截面积：\(A_1=\frac{\pid_1^2}{4}=\frac{\pi\times40^2}{4}=400\pimm^2\)。\(A_2=\frac{\pid_2^2}{4}=\frac{\pi\times30^2}{4}=225\pimm^2\)。接着求各段正应力：\(\sigma_1=\frac{N_1}{A_1}=\frac{20\times10^3}{400\pi}MPa\approx15.9MPa\)。\(\sigma_2=\frac{N_2}{A_2}=\frac{10\times10^3}{225\pi}MPa\approx14.1MPa\)。比较各段正应力大小，可得杆内最大正应力\(\sigma_{max}=\sigma_1\approx15.9MPa\)。

习题31.题目：一钢杆，截面为正方形，边长\(a=20mm\)，其弹性模量\(E=200GPa\)。在轴向拉力\(F=100kN\)作用下，求杆的伸长量。2.答案：首先计算杆的横截面积\(A=a^2=20^2=400mm^2=4\times10^{4}m^2\)。由胡克定律\(\Deltal=\frac{Fl}{EA}\)，这里假设杆长\(l\)已知（若未给出杆长，可设杆长为\(l\)）。已知\(F=100kN=10^5N\)，\(E=200GPa=2\times10^{11}Pa\)，\(A=4\times10^{4}m^2\)。则杆的伸长量\(\Deltal=\frac{10^5\timesl}{2\times10^{11}\times4\times10^{4}}m=\frac{l}{8}m=0.125lm\)。如果给出具体杆长\(l\)的值，代入即可得到具体的伸长量数值。

习题41.题目：一木柱受力如图所示，柱的横截面为\(100mm\times100mm\)的正方形，材料的许用应力\([\sigma]=10MPa\)。试校核木柱的强度。2.答案：首先求木柱各段轴力：设上段为研究对象，由平衡方程\(\sumF_x=0\)，可得\(N_120=0\)，\(N_1=20kN\)。设下段为研究对象，由平衡方程\(\sumF_x=0\)，可得\(N_22030=0\)，\(N_2=50kN\)。然后计算木柱横截面积\(A=100\times100=10^4mm^2=10^{2}m^2\)。接着求各段正应力：\(\sigma_1=\frac{N_1}{A}=\frac{20\times10^3}{10^{2}}Pa=2MPa\)。\(\sigma_2=\frac{N_2}{A}=\frac{50\times10^3}{10^{2}}Pa=5MPa\)。比较各段正应力与许用应力：因为\(\sigma_1=2MPa\lt[\sigma]=10MPa\)，\(\sigma_2=5MPa\lt[\sigma]=10MPa\)。所以木柱满足强度要求。

习题51.题目：一铸铁柱，受力如图所示。已知铸铁的许用拉应力\([\sigma_t]=30MPa\)，许用压应力\([\sigma_c]=160MPa\)。试确定许可载荷\([F]\)。2.答案：设柱下段轴力为\(N\)，由平衡方程\(\sumF_x=0\)，可得\(NF=0\)，即\(N=F\)。柱下段横截面积\(A\)（假设已知具体尺寸可算出）。下段产生压应力\(\sigma_c=\frac{N}{A}=\frac{F}{A}\)。根据许用压应力条件\(\sigma_c\leq[\sigma_c]\)，即\(\frac{F}{A}\leq160MPa\)，可得\(F\leq160A\)。对于柱上段，设其轴力为\(N_1\)，由平衡方程\(\sumF_x=0\)，可得\(N_1F=0\)，即\(N_1=F\)。上段横截面积为\(A_1\)（假设已知具体尺寸可算出）。上段产生拉应力\(\sigma_t=\frac{N_1}{A_1}=\frac{F}{A_1}\)。根据许用拉应力条件\(\sigma_t\leq[\sigma_t]\)，即\(\frac{F}{A_1}\leq30MPa\)，可得\(F\leq30A_1\)。综合考虑拉、压强度条件，许可载荷\([F]\)应取两者中的较小值，即\([F]=\min(30A_1,160A)\)。如果已知具体的\(A\)和\(A_1\)的值，代入即可算出许可载荷\([F]\)的具体数值。

习题61.题目：一拉伸试件，直径\(d=10mm\)，标距长度\(l_0=50mm\)。拉伸试验时，当拉力\(F=20kN\)时，测得标距长度的增量\(\Deltal=0.15mm\)，直径的增量\(\Deltad=0.005mm\)。试求材料的弹性模量\(E\)、泊松比\(\mu\)。2.答案：首先计算试件横截面积\(A=\frac{\pid^2}{4}=\frac{\pi\times10^2}{4}=25\pimm^2=25\pi\times10^{6}m^2\)。由胡克定律\(\sigma=E\varepsilon\)，可得弹性模量\(E=\frac{\sigma}{\varepsilon}\)。应力\(\sigma=\frac{F}{A}=\frac{20\times10^3}{25\pi\times10^{6}}Pa\)。应变\(\varepsilon=\frac{\Deltal}{l_0}=\frac{0.15}{50}=0.003\)。则弹性模量\(E=\frac{\frac{20\times10^3}{25\pi\times10^{6}}}{0.003}Pa\approx84.9GPa\)。泊松比\(\mu=\frac{\varepsilon_d}{\varepsilon}\)，其中\(\varepsilon_d=\frac{\Deltad}{d}=\frac{0.005}{10}=0.0005\)。所以泊松比\(\mu=\frac{0.0005}{0.003}\approx0.167\)。

三、剪切和挤压习题11.题目：如图所示的铆钉连接，已知钢板厚度\(t_1=t_2=10mm\)，铆钉直径\(d=17mm\)，外力\(F=80kN\)。试求铆钉所受的剪力、挤压应力。2.答案：铆钉所受剪力：因为外力\(F\)通过铆钉群传递，每个铆钉受力近似相等。这里有两个铆钉，所以每个铆钉所受剪力\(Q=\frac{F}{2}=\frac{80\times10^3}{2}=40kN\)。铆钉所受挤压应力：挤压面面积\(A_j=dt\)，其中\(d=17mm=0.017m\)，\(t=10mm=0.01m\)。挤压应力\(\sigma_j=\frac{F}{A_j}=\frac{80\times10^3}{0.017\times0.01}Pa\approx470.6MPa\)。

习题21.题目：一螺栓将两块钢板连接在一起，如图所示。已知螺栓的许用切应力\([\tau]=80MPa\)，许用挤压应力\([\sigma_j]=160MPa\)。螺栓直径\(d=20mm\)，钢板厚度\(t_1=t_2=15mm\)。试求许可载荷\([F]\)。2.答案：螺栓所受剪力\(Q=\frac{F}{2}\)（假设两个螺栓均匀受力）。螺栓抗剪强度条件\(\tau=\frac{Q}{A}\leq[\tau]\)，其中\(A=\frac{\pid^2}{4}\)。即\(\frac{F/2}{\frac{\pid^2}{4}}\leq[\tau]\)，\(\frac{F}{2}\leq[\tau]\frac{\pid^2}{4}\)，\(F\leq2[\tau]\frac{\pid^2}{4}\)。已知\([\tau]=80MPa\)，\(d=20mm=0.02m\)，则\(F\leq2\times80\times10^6\times\frac{\pi\times0.02^2}{4}N\approx50.3kN\)。螺栓挤压强度条件\(\sigma_j=\frac{F}{A_j}\leq[\sigma_j]\)，其中\(A_j=dt\)。即\(\frac{F}{dt}\leq[\sigma_j]\)，\(F\leq[\sigma_j]dt\)。已知\([\sigma_j]=160MPa\)，\(d=20mm=0.02m\)，\(t=15mm=0.015m\)，则\(F\leq160\times10^6\times0.02\times0.015N=48kN\)。综合考虑，许可载荷\([F]\)应取两者中的较小值，即\([F]=48kN\)。

四、扭转习题11.题目：一实心圆轴，直径\(d=50mm\)，转速\(n=300r/min\)，若该轴横截面上的最大切应力\(\tau_{max}=60MPa\)，求作用在轴上的外力偶矩\(