2024-2025学年安徽省怀宁县高二下册3月月考数学阶段检测试卷（附解析）

2024-2025学年安徽省怀宁县高二下学期3月月考数学阶段检测试卷试题范围：导数及其应用、计数原理一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.1080不同的正因数个数为（）A.32 B.36 C.48 D.50【正确答案】A【分析】根据质因数分解，结合分步计数原理即可求解.【详解】由题意可知，则1080的正因数，因为可取，可取，可取，所以1080不同的正因数个数为.故选：A.2.五个人站队排成一行，若甲不站排头，乙不站排尾，则不同排法的种数为（）A.36 B.72 C.78 D.120【正确答案】C【分析】首先对甲的站位进行分类，再按照分步原理进行计算.【详解】由题意，分成2种情况，一种情况是甲站排尾，则其余4人全排列，有种方法，另一种情况是甲不占排尾，则甲有3种方法，乙有3种方法，其余3人全排列，有种方法，综上可知，共有种方法.故选：C3.数学中“凸数”是一个位数不低于3的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为（）A.147 B.112 C.65 D.50【正确答案】C【分析】根据给定条件，结合“凸数”的意义，利用分类加法计数原理求解即得.【详解】最高位是5的“凸数”，中间数分别为7，8，9，分别有6，7，8个，共有21个；最高位是6的“凸数”，中间数分别为7，8，9，分别有6，7，8个，共有21个；最高位是7的“凸数”，中间数分别为8，9，分别有7，8个，共有15个；最高位是8的“凸数”，中间数为9，有8个，所以没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为.故选：C4.如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（）A.400种 B.460种 C.480种 D.496种【正确答案】C【分析】完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色，当使用3种颜色时，和涂一种颜色，利用分类加法、分步乘法计数原理即可求解.【详解】完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色，当使用4种颜色时，有6种涂法，有5种涂法，有4种涂法，有3种涂法，所以共有种方法；当使用3种颜色时，和涂一种颜色，共有6种涂法，有5种涂法，有4种涂法，所以共有种方法；所以不同的涂法共有种.故选.5.图中的矩形的个数为（）A.12 B.30 C.60 D.120【正确答案】C【分析】根据题意先确定“横边”，再确定“竖边”，结合分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，矩形的两条邻边确定，矩形就确定，第一步先确定“横边”，从5个点任选2个点可以组成一条“横边”，共有种情况；第二步再确定“竖边”，共有种情况，所以图中矩形共有.故选：C.6.已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】当时，，可得在上单调递增，结合函数是定义域为的奇函数，，从而得到不等式，求出答案.【详解】令，则，由题意知当时，，故在上单调递增，因为函数是定义域为的奇函数，所以，所以，所以是定义域为的偶函数，所以在上单调递减，又因为，所以，所以，所以当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则.则不等式的解集为.故选：D.7.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最小值为（

）A. B.1 C. D.【正确答案】C【分析】根据对数的运算性质将不等式等价为恒成立，构造函数，，利用导数求解函数单调性进而得最值即可求解.【详解】因为，不等式成立，即，又，则恒成立，令，可得，当，，单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，即恒成立，设，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当，函数取得最大值，最大值为，所以，即，则实数m的最小值为．故选：C．8.已知函数，若在有实数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】首先分析题意，由于，设出进一步分析，则，分析单调性解出实数的取值范围.【详解】根据题意，，所以，令，则函数在上存在零点等价于与的图象有交点.，令，则，故在上单调递增，因为，，所以存在唯一的，使得，即，即，，所以当时单调递减，当时，单调递增，所以，又时，，故，所以，故选：C.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.（多选题）有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是（）A.每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种B.每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种C.每位同学限报其中一个社团，每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种D.每位同学限报其中一个社团，每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种【正确答案】AC【分析】根据题意，利用分步计数原理分析选项即可.【详解】对于A选项，第1个同学有3种报法，第2个同学有3种报法，后面的2个同学也有3种报法，根据分步计数原理共有种结果，A正确，B错误；对于C选项，每个社团限报一个人，则第1个社团有4种选择，第2个社团有3种选择，第3个社团有2种选择，根据分步计数原理共有种结果，C正确，D错误.故选：AC.10.若对一切恒成立，则的值可能为（）A. B. C. D.【正确答案】AB【分析】构造函数，借助导数可研究其单调性即可得，再构造函数，借助导数可研究其单调性即可得，即可得解.【详解】由题意可得对一切恒成立，令，则，当时，，故在上单调递减，此时在上无最小值，不符合题意，当时，令，有，令，有，故在上单调递减，在上单调递增，故，即，则，令，则，故当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故，即，当，满足题意.故选：AB.11.灵活生动的曲线和简洁干练的直线，在生活中处处体现了几何艺术美感，我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由在点处的切线写出不等式，进而用替换得到一系列不等式，叠加后有这些不等式同样体现数学之美．运用类似方法推导，下面的不等式正确的有（）A.， B.C. D.【正确答案】ABC【分析】选项A，将中的替换为，用赋值法可得，选项B，然后根据同向不等式相加可判断B选项的正误；选项C，将中的替换为，可得，同样根据同向不等式相加与指对互化即可证明；选项D，将中的替换为，可得，然后再根据同向不等式相加可判断D的正误，另外，也可用特殊值法即由即可说明选项D的正误．【详解】令，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，也是最小值，，故，当且仅当时等号成立，将中的替换为，可得，当且仅当时等号成立，令，可得，所以，故正确；所以，其中，所以，故B正确；C选项：将中的替换为，显然，则，故，当时，，故成立；当时，显然成立，故，故C正确；选项：将中的替换为，其中，且，则，则，故，则，又，故D错误.故选：ABC．三､填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知函数，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为_______.【正确答案】【分析】设切点求出两个函数的切线方程，根据这个两个方程表示同一直线，可得方程组，化简方程组，可以得到变量关于其中一个切点横坐标的函数形式，求导，求出函数的单调性，结合该函数的正负性，画出图象图形，最后利用数形结合求出的取值范围.【详解】设曲线的切点为：，，所以过该切点的切线斜率为，因此过该切点的切线方程为：；设曲线的切点为：，，所以过该切点的切线斜率为，因此过该切点的切线方程为：，则两曲线的公切线应该满足：，构造函数,当时，单调递减，当时，单调递增，所以函数有最大值为：，当时，，当，，函数的图象大致如下图所示：要想有若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为.故答案为.13.已知恒成立，则正数的取值范围为______．【正确答案】【分析】将原不等式同构为，即，令，分析单调性可得，令利用导数求出最值得解.【详解】由，可得．令，易知在上单调递增，由，可得，故，即令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，所以，即，故正数的取值范围是.故答案为.14.将3个1，3个2，3个3共9个数分别填入如图方格中，使得每行、每列的和都是3的倍数的不同填法种数为__________.【正确答案】24【分析】每行，每列的和为3的倍数有两种可能，即每行每列数字相同或1，2，3各一个，利用排列组合知识求出种类数即可.【详解】每行，每列的和为3的倍数有两种可能：①每行或每列的数字相同，有种方法，②每行或每列的数字1，2，3各一个，有种方法.所以每行，每列和都是3的倍数的不同填法种数为故24.四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.从包含甲、乙2人的7人中选4人参加4×100米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答，否则无分）（1）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；（2）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒；（3）甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．【正确答案】（1）120（2）120（3）140【分析】（1）元素相邻用捆绑法；（2）元素不相邻用插空法；（3）由间接法求解即可.【小问1详解】第一步：甲乙捆绑看做一个整体，从3个位置安排一个位置有，第二步：从剩下5人中，需两人排在两个位置，有,所有共有：；【小问2详解】第一步，先从剩下5人中选2人排序，有，第二步，甲乙两人从3个空中选2个空排序，有，所以共有：；【小问3详解】从5人中选2人加上甲乙4人的全排列有：，其中甲跑第一棒的有：，乙跑第四棒的有：，甲跑第一棒，乙跑第四棒有：，所以共有：16.已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若对任意都有，求实数的取值范围．【正确答案】（1）减区间为，增区间为（2）【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性；（2）先求出导函数再构造函数，再分和分别求出函数单调性即可求参.【小问1详解】当时，，的定义域为．因为，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以的减区间为，增区间为．【小问2详解】因，设，，则，所以在上单调递增．当时，，即，所以在上单调递增．所以恒成立，故满足题意．当时，，又，因为在上单调递增，所以，所以当时，，即．所以在上单调递减，此时，故不合题意．综上所述，实数的取值范围是．17.已知函数（1）当时，讨论的单调性；（2）若恒成立，求a的取值范围．【正确答案】（1）答案见解析.（2）【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可;（2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可.【小问1详解】令,则则当当,即.当,即.所以在上单调递增,在上单调递减【小问2详解】设设所以.若,即在上单调递减,所以.所以当,符合题意.若当,所以..所以,使得,即,使得.当,即当单调递增.所以当,不合题意.综上,的取值范围为.关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当.18.已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2），求的值；（3）对于任意的，求证：．【正确答案】（1）答案见解析；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）对函数求导，讨论、研究导数的符号，即可确定单调性；（2）根据题设得且，利用导数研究左侧的最值，即可得参数值；（3）根据（2）的结论有，则，应用累加即可证结论.【小问1详解】由题设且，当时，，即在上单调递增；当时，令，则，若，则，即在上单调递减，若，则，即在上单调递增；【小问2详解】由且的定义域为，由（1）知，在上单调递增，即上有，不符合；所以，结合此时的性质，只需，令，故，当时，即上单调递增，当时，即在上单调递减，所以，即，所以，只需，满足.【小问3详解】由（2）知，在上，则，令，则，所以，得证.19.已知函数，，．（1）若的极值点为1，求实数的值；（2）在（1）的前提下，若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围；（3）证明不等式（其中是自然对数的底数）．【正确答案】（1）（2）（3）证明见解析【分析】（1）先求出导函数再应用1是极值点代入求参即可；（2）把存在及恒成立转化为最值问题，先求出，再分类讨论求出计算求参即可；（3）应用，再结合（2）得出，应用不等式的性