8.4 因式分解 2024-2025学年沪科版七年级数学下册

8.4.2因式分解公式法第八章整式的乘法与因式分解沪科版七年级数学下册定义：

把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.什么叫因式分解？你能叙述完全平方公式、平方差公式吗？(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2(a+b)

(a-b)=a2-b2看谁算的又快又准确：（1）1002－2×100×99+99²（2）482+48×24+122

解：原式=（100－99)²

=1.（3）65.52-35.52

（4）522-482

原式=482+2×48×12+122=（48+12）2=3600原式=（65.5+35.5）（65.5-35.5）=101×31=3131原式=（52+48）（52-48）=100×4=400你觉得用什么方法可以进行快速计算？本题利用公式分解因式的方法，大大减少计算量，结果准确.3、a²+4ab+4b²=()²+2·()·()+()²=()²2、m²-6m+9=(

)²-2·()·(

)+()²=()²1、x²+4x+4=()²+2·()·()+()²=()²x2x+2aa2ba+2b2b对照

a²±2ab+b²=(a±b)²，你会吗？mm-33x2m3典例精析例1

分解因式：（1）16x2+24x+9；

分析：在（1）中，

16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32解：

(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32=(4x+3)2；(首)²+2·首·尾+(尾)²（2）-x2+4xy-4y2.

(2)-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.

分解因式:4x2＋4x＋1

小聪解答过程如下：他做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.解:原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2×想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？是a,b两数的平方差的形式平方差公式：探索新知a2-b2=(a+b)(a-b)整式乘法因式分解辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？（1）x2+y2（2）x2-y2（3）-x2-y2（4）-x2+y2（5）m2-1探索新知★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成:

()2-()2的形式.√√××辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？√（1）x2+y2（2）x2-y2（3）-x2-y2（4）-x2+y2（5）m2-1探索新知★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成:

()2-()2的形式.两数是平方，减号在中央．例1分解因式：解:原式=典例精析（1）4x2-9（2）(x+2)2-(x+3)2(2x)2-32=(2x+3)(2x-3)a2-b2=(a+b)(a-b)=[(x+2)+(x+3)]·a2-b2=(a+b)(a-b)=(2x+5)×（-1）整体思想[(x+2)-(x+3)]=-2x-5a2-b2=(a+b)(a-b)当场编题，考考你！20152－20142=(x+z)2

-(y+p)2=(2mn)2－(3xy)2=针对训练例2分解因式：解：原式＝(x2)2-(y2)2＝(x2+y2)(x2-y2)＝(x2+y2)(x+y)(x-y)典例精析(1)x4-y4(2)a3b-ab分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解.例2分解因式：解：原式＝(x2)2-(y2)2＝(x2+y2)(x2-y2)＝(x2+y2)(x+y)(x-y)解：原式＝ab(a2-1)＝ab(a+1)(a-1)典例精析(1)x4-y4(2)a3b-ab分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解.分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查.方法总结方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．例3：分解因式：＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b)解：原式＝5m2(a4－b4)＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)针对训练(1)5m2a4－5m2b4例3：分解因式：＝(a＋2b)(a－2b－1)＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b)解：原式＝5m2(a4－b4)＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)解：原式＝(a2－4b2)－(a＋2b)＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)针对训练(2)a2－4b2－a－2b(1)5m2a4－5m2b4例4计算下列各题：解：原式＝(101＋99)(101－99)解：原式＝4(53.52－46.52)＝4(53.5＋46.5)(53.5－46.5)＝4×100×7=2800典例精析(2)53.52×4－46.52×4(1)1012－992＝400例4计算下列各题：解：原式＝(101＋99)(101－99)解：原式＝4(53.52－46.52)＝4(53.5＋46.5)(53.5－46.5)＝4×100×7=2800典例精析(2)53.52×4－46.52×4(1)1012－992＝400方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.例5.如图，在边长为6.8cm正方形钢板上，挖去4