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文档简介

矩阵分解高斯消去法的矩阵表示LU分解法(LUDecomposition)平方根法

(CholeskyDecomposition)3.1

直接三角分解法矩阵三角分解

将一个矩阵分解成结构简单的三角形矩阵的乘积称为矩阵的三角分解。

顺序高斯消去法其实就是一个矩阵的三角分解过程。

LU分解先求解y再求解x则A(k)

与A(k+1)之间的关系式可以表示为：其中：(i=k+1,…,n),将Gauss消去过程中第k-1步消元后的系数矩阵记为：(k=1,…,n-1)LU分解记：，则其中：L---单位下三角矩阵，U---上三角矩阵LU分解于是有：容易验证：(k=1,…,n-1)(杜利脱尔Doolittle分解)LU

分解的存在唯一性LU分解存在顺序高斯消去法不被中断?定理

顺序高斯消去法求解方程组Ax=b时，所有主元

的充要条件是：A的所有顺序主子式不为零。定理若A的所有顺序主子式不等于0，则A存在唯一的LU分解。(LU分解的唯一性

)LU分解紧凑方式直接利用矩阵乘法来计算LU分解(待定系数法)

比较等式两边的第一行得：u1j=a1j比较等式两边的第一列得：

比较等式两边的第二行得：比较等式两边的第二列得：(j=1,…,n)(i=2,…,n)(j=2,…,n)(i=3,…,n)U的第一行L的第一列U的第二行L的第二列待定系数法LU分解计算顺序

LU分解紧凑算法（续）第k

步：此时U的前k-1行和

L

的前k-1列已经求出比较等式两边的第k行得：比较等式两边的第k列得：直到第n

步，便可求出矩阵L和U的所有元素。(j=k,…,n

)(i=k+1,…,n

)LU分解紧凑算法（续）LU分解的算法：Fork=1,2,...,nEndForj=k,…,ni=k+1,…,n为了节省存储空间，通常用A

的绝对下三角部分来存放L(对角线元素无需存储)，用

A

的上三角部分来存放U。矩阵分解3.2矩阵的QR分解

定理

任何实的非奇异n阶矩阵A可以分解成正交矩阵Q和上三角矩阵R的乘积，且除去相差一个对角线元素之绝对值全等于1的对角矩阵因子D外，分解式是唯一的。

矩阵分解3.3矩阵的满秩分解

矩阵分解3.4矩阵的奇异值分解

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