高中数学校本课程学案及教案5-6

高中数学校本课程学案及教案5-6一、课程主题数列的综合应用二、课程目标1.深入理解数列的通项公式、前n项和公式之间的关系，并能熟练运用它们解决相关问题。2.通过实际问题的分析与解决，培养学生运用数列知识建立数学模型的能力，提高逻辑思维和运算求解能力。3.让学生体会数列在实际生活中的广泛应用，感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。三、课程重难点1.重点熟练掌握数列通项公式与前n项和公式的推导及应用。学会运用数列知识解决诸如分期付款、增长率、资源利用等实际问题。2.难点如何根据实际问题准确建立数列模型，并能灵活运用数列的性质进行求解。培养学生在复杂问题情境中分析问题、转化问题的能力。四、课程准备多媒体课件、相关练习题资料五、教学过程（一）知识回顾（5分钟）通过提问引导学生回顾数列的通项公式\(a_n\)与前\(n\)项和公式\(S_n\)的关系：\(a_n=\begin{cases}S_1,&n=1\\S_nS_{n1},&n\geq2\end{cases}\)强调已知\(S_n\)求\(a_n\)时要注意\(n=1\)的情况单独讨论。（二）例题讲解（20分钟）例1：已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n=n^2+2n\)，求数列\(\{a_n\}\)的通项公式。解：当\(n=1\)时，\(a_1=S_1=1^2+2\times1=3\)；当\(n\geq2\)时，\(a_n=S_nS_{n1}=(n^2+2n)[(n1)^2+2(n1)]\)\(=n^2+2n(n^22n+1+2n2)\)\(=n^2+2nn^2+2n12n+2\)\(=2n+1\)。当\(n=1\)时，\(a_1=3\)也满足\(a_n=2n+1\)。所以数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=2n+1\)。例2：已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，求数列\(\{a_n\}\)的通项公式。解：由\(a_{n+1}=2a_n+1\)可得\(a_{n+1}+1=2(a_n+1)\)。则\(\frac{a_{n+1}+1}{a_n+1}=2\)，所以数列\(\{a_n+1\}\)是以\(a_1+1=2\)为首项，\(2\)为公比的等比数列。根据等比数列通项公式可得\(a_n+1=2\times2^{n1}=2^n\)，则\(a_n=2^n1\)。（三）数列在实际生活中的应用（30分钟）1.分期付款问题例3：购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款的方式，每期付款数相同，购买后1个月第1次付款，再过1个月第2次付款，如此下去，共付款5次后还清。如果按月利率0.8%，每月利息按复利计算（上月利息要计入下月本金），那么每期应付款多少元（精确到1元）？解：设每期应付款\(x\)元。第1次付款及所生利息之和为\(x\times(1+0.008)^4\)元；第2次付款及所生利息之和为\(x\times(1+0.008)^3\)元；第3次付款及所生利息之和为\(x\times(1+0.008)^2\)元；第4次付款及所生利息之和为\(x\times(1+0.008)\)元；第5次付款为\(x\)元。而商品售价及其利息之和为\(5000\times(1+0.008)^5\)元。所以有\(x\times(1+0.008)^4+x\times(1+0.008)^3+x\times(1+0.008)^2+x\times(1+0.008)+x=5000\times(1+0.008)^5\)。令\(S=x\times(1+0.008)^4+x\times(1+0.008)^3+x\times(1+0.008)^2+x\times(1+0.008)+x\)，这是一个首项为\(x\)，公比为\(1+0.008\)的等比数列的前5项和。根据等比数列前\(n\)项和公式\(S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}\)（这里\(a_1=x\)，\(q=1+0.008\)，\(n=5\)）可得：\(S=\frac{x[1(1+0.008)^5]}{1(1+0.008)}\)。则\(\frac{x[1(1+0.008)^5]}{1(1+0.008)}=5000\times(1+0.008)^5\)。解得\(x=\frac{5000\times(1+0.008)^5\times0.008}{(1+0.008)^51}\approx1024\)（元）。即每期应付款约1024元。2.增长率问题例4：某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备\(M\)，\(M\)的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初\(M\)的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初\(M\)的价值为上年初的75%。（1）求第\(n\)年初\(M\)的价值\(a_n\)的表达式；（2）设\(A_n=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\)，若\(A_n\)大于80万元，则\(M\)继续使用，否则须在第\(n\)年初对\(M\)更新，证明：须在第9年初对\(M\)更新。解：（1）当\(n\leq6\)时，数列\(\{a_n\}\)是首项为120，公差为10的等差数列。所以\(a_n=12010(n1)=13010n\)。当\(n\geq7\)时，\(a_6=13060=70\)，\(a_n=70\times(\frac{3}{4})^{n6}\)。所以\(a_n=\begin{cases}13010n,&n\leq6\\70\times(\frac{3}{4})^{n6},&n\geq7\end{cases}\)。（2）当\(n\leq6\)时，\(S_n=120n5n(n1)=125n5n^2\)，\(A_n=\frac{S_n}{n}=1255n\)。因为\(A_n\)随\(n\)增大而减小，所以\(A_n\leqA_1=120\gt80\)。当\(n\geq7\)时，\(S_6=125\times65\times6^2=570\)。\(S_n=570+70\times\frac{3}{4}\times\frac{1(\frac{3}{4})^{n6}}{1\frac{3}{4}}=780210\times(\frac{3}{4})^{n6}\)。\(A_n=\frac{S_n}{n}=\frac{780210\times(\frac{3}{4})^{n6}}{n}\)。当\(n=8\)时，\(A_8=\frac{780210\times(\frac{3}{4})^2}{8}=\frac{780\frac{1890}{16}}{8}\lt80\)。当\(n=9\)时，\(A_9=\frac{780210\times(\frac{3}{4})^3}{9}\lt80\)。所以须在第9年初对\(M\)更新。（四）课堂练习（15分钟）1.已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n=3^n1\)，求数列\(\{a_n\}\)的通项公式。2.某工厂去年的产值是100万元，计划在今后5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起第5年这个工厂的产值是多少？（精确到1万元）（五）课堂小结（5分钟）1.回顾数列通项公式与前\(n\)项和公式的关系及应用。2.总结数列在分期付款、增长率等实际问题中的建模方法和求解思路。强调要准确分析问题情境，合理建立数列模型，并灵活运用数列知识求解。（六）课后作业1.已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=2\)，\(a_{n+1}=3a_n2\)，求数列\(\{a_n\}\)的通项公式。2.某林区改变植树计划，第一年植树增长率200%，以后每年的植树增长率都是前一年植树增长率的\(\frac{1}{2}\)。（1）假设成活率为100%，经过4年后，林区的树木数量是原来树木数量的多少倍？（2）如果每年都有5%的树木死亡，那么经过多少年后，林区的树木数量开始下降？六、教学反思通过本节课的教学，学生对数列的综合应用