北师大版七年级下册数学教学案：第四章变量之间的关系-综合复习

北师大版七年级下册数学教学案：第四章变量之间的关系-综合复习一、知识梳理（一）变量与常量1.变量在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量。例如，汽车行驶过程中，行驶的路程和时间就是变量，因为随着时间的推移，路程会不断改变。2.常量在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量。比如汽车行驶的速度，如果速度保持不变，那么这个速度就是常量。（二）变量之间关系的表示方法1.表格法通过列表格的方式来呈现两个变量之间的关系。例如，小明记录了自己一周内每天做数学作业的时间和完成作业的题目数量，如下表所示：|日期|作业时间（分钟）|题目数量||||||周一|30|20||周二|40|25||周三|35|22||周四|45|28||周五|50|30|从表格中可以清晰地看出作业时间和题目数量这两个变量之间的对应关系。2.关系式法用数学式子来表示两个变量之间的关系。比如，正方形的周长\(C\)与边长\(a\)之间的关系可以表示为\(C=4a\)，这里\(a\)是自变量，\(C\)是因变量，\(4\)是常量。3.图象法用图象来直观地反映两个变量之间的关系。以汽车行驶的路程\(s\)和时间\(t\)为例，若汽车匀速行驶，其路程时间图象是一条过原点的倾斜直线。通过图象可以直接观察到路程随时间的变化趋势，比如直线的斜率越大，说明汽车行驶速度越快。（三）变量关系的应用1.根据已知关系预测未知值利用给定的变量关系，通过代入已知自变量的值来求出相应因变量的值，或者根据已知因变量的值反推自变量的值。例如，已知某弹簧的长度\(y\)（厘米）与所挂物体质量\(x\)（千克）之间的关系式为\(y=12+0.5x\)，当所挂物体质量为\(8\)千克时，可将\(x=8\)代入关系式，得到\(y=12+0.5×8=16\)厘米，即弹簧长度为\(16\)厘米。2.分析变化趋势解决实际问题通过观察变量关系的表格、关系式或图象，分析变量的变化趋势，从而解决实际生活中的问题。比如，观察某商品的销售数量与价格之间的关系图象，发现价格越高，销售数量越少，那么商家就可以根据这个变化趋势来制定合理的价格策略，以达到最大利润。二、典型例题解析（一）表格法相关例题例1：某水果店在记录水果销售情况时，得到如下表格：|天数\(x\)|1|2|3|4|5|||||||||销售量\(y\)（千克）|20|30|40|50|60|（1）根据表格，销售量\(y\)与天数\(x\)之间有什么关系？（2）预计第8天的销售量是多少？解：（1）观察表格可以发现，销售量\(y\)随着天数\(x\)的增加而增加，且每天销售量增加的量相同，都是\(10\)千克。所以销售量\(y\)与天数\(x\)之间的关系是\(y=10x+10\)。（2）当\(x=8\)时，\(y=10×8+10=90\)（千克）。所以预计第8天的销售量是\(90\)千克。（二）关系式法相关例题例2：已知一个长方形的面积\(S\)与长\(x\)之间的关系式为\(S=20xx²\)。（1）当长\(x=5\)时，求长方形的面积\(S\)。（2）当面积\(S=64\)时，求长方形的长\(x\)。解：（1）把\(x=5\)代入\(S=20xx²\)，得\(S=20×55²=10025=75\)。所以当长\(x=5\)时，长方形的面积\(S\)为\(75\)。（2）把\(S=64\)代入\(S=20xx²\)，得到\(64=20xx²\)，整理得\(x²20x+64=0\)。对于一元二次方程\(x²20x+64=0\)，其中\(a=1\)，\(b=20\)，\(c=64\)。根据求根公式\(x=\frac{b±\sqrt{b²4ac}}{2a}\)，可得：\[\begin{align*}x&=\frac{20±\sqrt{(20)²4×1×64}}{2×1}\\&=\frac{20±\sqrt{400256}}{2}\\&=\frac{20±\sqrt{144}}{2}\\&=\frac{20±12}{2}\end{align*}\]所以\(x_1=\frac{20+12}{2}=16\)，\(x_2=\frac{2012}{2}=4\)。即当面积\(S=64\)时，长方形的长\(x\)为\(16\)或\(4\)。（三）图象法相关例题例3：如图是某城市一天的气温随时间变化的图象。（1）这一天的最高气温是多少？在什么时刻达到最高气温？（2）这一天的最低气温是多少？在什么时刻达到最低气温？（3）在什么时间段内气温在上升？在什么时间段内气温在下降？解：（1）从图象中可以看出，最高气温是\(32℃\)，在\(14\)时达到最高气温。（2）最低气温是\(22℃\)，在\(4\)时达到最低气温。（3）气温在上升的时间段是\(4\)时到\(14\)时；气温在下降的时间段是\(14\)时到\(24\)时。三、课堂练习（一）选择题1.在圆的周长公式\(C=2\pir\)中，变量是（）A.\(C\)B.\(r\)C.\(C\)和\(r\)D.\(2\pi\)2.某同学从学校走回家，在路上遇到两个同学，一块儿去文化宫玩了会儿，然后回家，下列图象能刻画这位同学所剩路程与时间的变化关系的是（）（二）填空题1.某种储蓄的月利率是\(0.2\%\)，存入\(100\)元本金后，则本息和\(y\)（元）与所存月数\(x\)之间的关系式为______。2.如图，小明在离家\(80\)米的花园里，离开家的时间是\(5\)分钟，此时小明与家的距离是______米。（三）解答题1.下表是某公共汽车在\(8\)个站点的上下车人数记录：|站点|1|2|3|4|5|6|7|8||||||||||||上车人数|18|15|12|10|7|5|3|0||下车人数|0|3|5|7|9|10|12|15|设起始站车上有\(20\)人。（1）分别计算在第\(3\)站、第\(6\)站时车上的人数。（2）第几站时车上人数最多？最多是多少人？2.如图，反映了小明从家到超市的时间与距离之间关系的一幅图。（1）图中反映了哪两个变量之间的关系？超市离家多远？（2）小明到达超市用了多少时间？小明往返花了多少时间？（3）小明离家出发后\(20\)分钟到\(30\)分钟内他在哪里？（4）小明从家到超市时的平均速度是多少？返回时的平均速度是多少？四、课后作业（一）选择题1.骆驼被称为"沙漠之舟"，它的体温随时间的变化而变化，在这一问题中，因变量是（）A.沙漠B.体温C.时间D.骆驼2.某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据：|鸭的质量/千克|1|1.5|2|2.5|3|3.5|4|||||||||||烤制时间/分钟|60|80|100|120|140|160|180|设鸭的质量为\(x\)千克，烤制时间为\(y\)分钟，估计当\(x=2.7\)千克时，\(y\)的值为（）A.120B.124C.130D.134（二）填空题1.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，其速度每秒增加\(2m/s\)，则小球速度\(v\)（\(m/s\)）与时间\(t\)（\(s\)）之间的关系式为______，它是______（填"正比例"或"一次"）函数。2.如图是某水库的蓄水量\(V\)（万立方米）与干旱持续时间\(t\)（天）之间的关系图，由图可知，该水库原蓄水量为______万立方米，持续干旱______天后，水库将干涸。（三）解答题1.某城市大剧院地面的一部分为扇形，观众席的座位按下列方式设置：|排数\(n\)|1|2|3|4|...|||||||||座位数\(m\)|50|53|56|59|...|（1）按照这种方式排下去，第\(5\)、\(6\)排各有多少个座位？（2）第\(n\)排有多少个座位？请说明理由。2.如图，折线\(OAB\)表示从甲地向乙地打长途电话所需的电话费\(y\)（元）与通话时间\(t\)（分钟）之间的关系图象。（1）从图象可知，通话\(2\)分钟需付的电话费是多少元？（2）当\(t\geq3\)时，求出该图象的解析式。（3）通话\(7\)分钟需付的电话费是多少元？五、教学反思通过本次综合复习，学生对变量之间的关系有了更系统、深入的理解。在教学过程中，通过典型例题的详细讲解和课堂练习、课后作业的巩固，大部分学生能够熟练掌握表格法、关系式法和图