二次函数的复习教学设计

二次函数的复习教学设计一、教学目标1.知识与技能目标学生能够熟练掌握二次函数的概念、表达式、图象及性质。能运用二次函数的知识解决相关的实际问题，如求最值、与方程不等式的综合应用等。2.过程与方法目标通过对二次函数知识的系统复习，培养学生归纳总结、逻辑推理的能力。经历运用二次函数解决实际问题的过程，提高学生分析问题和解决问题的能力。3.情感态度与价值观目标让学生体会数学知识之间的内在联系，感受数学的严谨性和应用价值。通过小组合作学习，培养学生的团队合作精神和交流能力。二、教学重难点1.教学重点二次函数的图象和性质，尤其是对称轴、顶点坐标、最值等。二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系。利用二次函数解决实际问题。2.教学难点二次函数图象和性质的综合运用。如何引导学生将实际问题转化为二次函数模型，并准确求解。三、教学方法1.讲授法：系统讲解二次函数的重要概念、性质和解题方法，使学生形成知识框架。2.讨论法：组织学生对典型例题和实际问题进行讨论，激发学生思维，培养合作交流能力。3.练习法：通过适量的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。四、教学过程（一）知识梳理（15分钟）1.二次函数的概念形如$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的函数叫做二次函数。强调二次项系数$a\neq0$的重要性，若$a=0$，则函数变为一次函数。2.二次函数的表达式一般式：$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）。顶点式：$y=a(xh)^2+k$，其中顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$。交点式：$y=a(xx_1)(xx_2)$，其中$x_1$、$x_2$是抛物线与$x$轴交点的横坐标。请学生回顾如何通过已知条件求二次函数的表达式，例如已知三点坐标用一般式，已知顶点坐标和另一点用顶点式，已知与$x$轴交点坐标和另一点用交点式等。3.二次函数的图象和性质图象：二次函数的图象是一条抛物线。性质当$a\gt0$时，抛物线开口向上，函数有最小值，在对称轴$x=\frac{b}{2a}$处取得，$y_{min}=\frac{4acb^2}{4a}$；在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大。当$a\lt0$时，抛物线开口向下，函数有最大值，同样在对称轴$x=\frac{b}{2a}$处取得，$y_{max}=\frac{4acb^2}{4a}$；在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小。结合图象，详细讲解对称轴、顶点坐标等的求法以及函数单调性的判断方法。4.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），当$y=0$时，就得到一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，其根就是抛物线与$x$轴交点的横坐标。当$y\gt0$（或$y\lt0$）时，就得到一元二次不等式$ax^2+bx+c\gt0$（或$ax^2+bx+c\lt0$），通过求解方程的根，结合抛物线的开口方向，可确定不等式的解集。举例说明如何利用二次函数图象求解一元二次方程的根和一元二次不等式的解集。（二）典型例题讲解（30分钟）1.例1：已知二次函数$y=2x^24x+3$，求其顶点坐标、对称轴以及最值。分析：对于二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c$，可直接利用公式$x=\frac{b}{2a}$求出对称轴，再将对称轴的值代入函数求出顶点纵坐标，根据$a$的正负判断最值情况。解：由$a=2$，$b=4$，$c=3$，可得对称轴为$x=\frac{4}{2\times2}=1$。将$x=1$代入函数得$y=2\times1^24\times1+3=1$，所以顶点坐标为$(1,1)$。因为$a=2\gt0$，抛物线开口向上，所以函数有最小值，$y_{min}=1$。总结：本题主要考查二次函数一般式下顶点坐标、对称轴和最值的求法，强调公式的运用。2.例2：已知二次函数的图象经过点$(0,3)$，$(1,0)$，$(3,0)$，求其表达式。分析：已知函数图象与$x$轴的两个交点坐标$(1,0)$，$(3,0)$，可设交点式$y=a(xx_1)(xx_2)$，再将点$(0,3)$代入求出$a$的值。解：设二次函数表达式为$y=a(x1)(x3)$，把$(0,3)$代入得：$3=a(01)(03)$，即$3=3a$，解得$a=1$。所以二次函数表达式为$y=(x1)(x3)=x^2+4x3$。总结：通过已知与$x$轴交点坐标设交点式求解二次函数表达式，关键是准确代入已知点求解系数$a$。3.例3：已知二次函数$y=x^22x3$，当$y\gt0$时，求$x$的取值范围。分析：先求出二次函数$y=x^22x3$与$x$轴的交点坐标，即令$y=0$，解方程$x^22x3=0$，然后根据抛物线开口方向确定$y\gt0$时$x$的取值范围。解：令$x^22x3=0$，因式分解得$(x3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=1$。因为二次函数$y=x^22x3$中$a=1\gt0$，抛物线开口向上，所以当$y\gt0$时，$x$的取值范围是$x\lt1$或$x\gt3$。总结：本题考查二次函数与一元二次不等式的关系，通过求解方程的根结合图象确定不等式的解集。4.例4：某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家"家电下乡"政策的实施，商场决定采取适当的降价措施。调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台。（1）假设每台冰箱降价$x$元，商场每天销售这种冰箱的利润是$y$元，请写出$y$与$x$之间的函数表达式。（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？分析：对于（1），先求出每台冰箱的利润，再根据售价降低与销售量增加的关系求出销售量，进而得到利润$y$与$x$的函数表达式。对于（2），令$y=4800$，解方程求出$x$的值，根据要使百姓得到实惠选择合适的解。对于（3），将函数表达式化为顶点式，求出最大值及此时$x$的值。解：（1）每台冰箱的利润为$(24002000x)$元，销售量为$(8+\frac{x}{50}×4)$台。所以$y=(24002000x)(8+\frac{x}{50}×4)$$=(400x)(8+\frac{2x}{25})$$=3200+32x8x\frac{2x^2}{25}$$=\frac{2}{25}x^2+24x+3200$。（2）令$y=4800$，则$\frac{2}{25}x^2+24x+3200=4800$。整理得$x^2300x+20000=0$，因式分解得$(x100)(x200)=0$，解得$x_1=100$，$x_2=200$。因为要使百姓得到实惠，所以$x=200$，即每台冰箱应降价200元。（3）$y=\frac{2}{25}x^2+24x+3200=\frac{2}{25}(x^2300x)+3200=\frac{2}{25}(x150)^2+5000$。所以当$x=150$时，$y$有最大值5000。即每台冰箱降价150元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高，最高利润是5000元。总结：本题通过实际问题建立二次函数模型，综合考查了函数表达式的求解、方程的应用以及最值问题，关键是理解题意，找出等量关系。（三）课堂练习（15分钟）1.已知二次函数$y=3x^2+6x2$，求其顶点坐标、对称轴及最值。2.二次函数的图象经过点$(1,1)$，$(0,2)$，$(1,3)$，求其表达式。3.已知二次函数$y=2x^25x3$，当$y\lt0$时，求$x$的取值范围。4.某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件。（1）假设每件商品降价$x$元，商店每天销售这种小商品的利润是$y$元，请写出$y$与$x$之间的函数表达式。（2）每件商品降价多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？（四）课堂小结（5分钟）1.请学生回顾二次函数的主要知识点，包括概念、表达式、图象性质以及与方程不等式的关系。2.强调利用二次函数解决实际问题的一般步骤：分析问题、建立模型、求解模型、检验结果。3.总结解题过程中需要注意的事项，如二次项系数不为零、准确运用公式、结合图象分析等。（五）作业布置1.书面作业：课本相关练习题，进一步巩固二次函数的基础知识和解题方法。2.拓展作业：已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过点$A(1,0)$，$B(3,0)$，$C(0,3)$，求其表达式，并求当$x$为何值时，$y$随$x$的增大而减小。某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，生产第一档次（即最低档次）的产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，利润每件增加2元，但一天产量减少4件。若生产第$x$档次的产品一天的总利润为$y$元（其中$x$为正整数，且$1\leqx\leq10$），求出$y$关于$x$的函数关系式。若生产第$x$档次的产品一天的总利润为1080元，求该产品的质量档次。五、教学反思