《高考备考指南 文科数学》课件-第3章 第2讲

导数及其应用第三章第2讲导数在研究函数中的应用【考纲导学】1．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断11．函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)内为________．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)内为_________．增函数减函数2．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧________，右侧________，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧________，右侧________，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点和极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．f′(x)<0

f′(x)>0

f′(x)>0

f′(x)<03．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则______为函数的最小值，______为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则______为函数的最大值，______为函数的最小值．f(a)

f(b)

f(a)

f(b)1．(教材习题改编)如图所示是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(

)A．1

B．2

C．3

D．4【答案】A【解析】由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正．故选A．2．若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)内单调递增，则k的取值范围是(

)A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)

D．[1，＋∞)【答案】D3．函数y＝2x3－2x2在区间[－1,2]内的最大值是______．【答案】81．求函数单调区间与函数极值时没有列表的习惯，会造成问题不能直观且有条理地解决．2．求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论．3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．(

)(2)函数在其定义域内离散的点处导数等于0不影响函数的单调性．(

)(3)函数的极大值不一定比极小值大．(

)(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．(

)(5)函数在开区间一定不存在最大值和最小值．(

)(6)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

(5)×

(6)√课堂考点突破2利用导数研究函数的单调性【规律方法】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数的范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立的问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．利用导数研究函数的极值【考向分析】函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中、高档题．常见的考向有：(1)由图判断函数极值；(2)已知函数求极值；(3)已知极值求参数．【答案】D【解析】由图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．故选D．【解析】(1)x＝2是函数f(x)＝x3－3ax＋2的极小值点，即x＝2是f′(x)＝3x2－3a＝0的根，将x＝2代入得a＝4，所以函数解析式为f(x)＝x3－12x＋2，则由3x2－12＝0，得x＝±2，故函数在(－2,2)内是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)内是增函数，由此可知当x＝－2时函数f(x)取得极大值f(－2)＝18.故选D．【规律方法】(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．(2)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．应注意，导数为零的点不一定是极值点．对含参数的求极值问题，应注意分类讨论．利用导数求函数的最值

已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex在[0,1]上单调递减且满足f(0)＝1，f(1)＝0.(1)求a的取值范围；(2)设g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值．【解析】(1)由f(0)＝1，f(1)＝0，得c＝1，a＋b＝－1，则f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex，f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]ex，依题意对于任意x∈[0,1]，有f′(x)≤0.当a＞0时，因为二次函数y＝ax2＋(a－1)x－a的图象开口向上，而f′(0)＝－a＜0，所以需f′(1)＝(a－1)e＜0，即0＜a＜1；当a＝1时，对于任意x∈[0,1]，有f′(x)＝(x2－1)ex≤0，且只在x＝1时f′(x)＝0，f(x)符合条件；当a＝0时，对于任意x∈[0,1]，f′(x)＝－xex≤0，且只在x＝0时，f′(x)＝0，f(x)符合条件；当a＜0时，因为f′(0)＝－a＞0，f(x)不符合条件．故a的取值范围为[0,1]．(2)因为g(x)＝(－2ax＋1＋a)ex，g′(x)＝(－2ax＋1－a)ex，(ⅰ)当a＝0时，g′(x)＝ex＞0，g(x)在x＝0处取得最小值g(0)＝1，在x＝1处取得最大值g(1)＝e.(ⅱ)当a＝1时，对于任意x∈[0,1]有g′(x)＝－2x·ex≤0，g(x)在x＝0处取得最大值g(0)＝2，在x＝1处取得最小值g(1)＝0.【规律方法】求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与

f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【跟踪训练】

2．已知函数f(x)＝xlnx.(1)求函数f(x)的极值点；(2)设函数g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函数g(x)在区间[1，e]上的最小值(其中e为自然对数的底数)．(2)g(x)＝xlnx－a(x－1)，则g′(x)＝lnx＋1－a，x＞0，由g′(x)＝0，得x＝ea－1，所以在区间(0，ea－1)内，g(x)为减函数，在区间(ea－1，＋∞)内，g(x)为增函数．所以x＝ea－1是极小值点．以下对极小值点是否在[1，e]上作分类讨论．当ea－1≤1，即a≤1时，在区间[1，e]上，g(x)为增函数，所以g(x)的最小值为g(1)＝0.当1＜ea－1＜e，即1＜a＜2时，g(x)的最小值为g(ea－1)＝a－ea－1.当ea－1≥e，即a≥2时，在区间[1，e]上，g(x)为减函数，所以g(x)的最小值为g(e)＝a＋e－ae.综上，当a≤1时，g(x)的最小值为0；当1＜a＜2时，g(x)的最小值为a－ea－1；当a≥2时，g(x)的最小值为a＋e－ae.课后感悟提升31个提醒——函数的定义域求函数的单调区间应遵循定义域优先的原则．2个条件——函数在区间(a，b)内单调的条件(1)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(2)可导函数f(x)在(a，b)内是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．4个步骤——求函数单调区间的步骤第一步：求函数f(x)的定义域；第二步：求导数f′(x)；