浙江专用2025版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量第2讲空间几何体的表面积与体积练习含解析

PAGEPAGE6第2讲空间几何体的表面积与体积[基础达标]1．(2024·嘉兴期中)某球的体积与表面积的数值相等，则球的半径是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.设球的半径为r，则球的体积为eq\f(4,3)πr3，球的表面积为4πr2.因为球的体积与其表面积的数值相等，所以eq\f(4,3)πr3＝4πr2，解得r＝3.2．(2024·义乌模拟)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．12＋4eq\r(2) B．18＋8eq\r(2)C．28 D．20＋8eq\r(2)解析：选D.由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图．则该几何体的表面积为S＝2×eq\f(1,2)×2×2＋4×2×2＋2eq\r(2)×4＝20＋8eq\r(2)，故选D.3．(2024·浙江高校招生选考试题)如图(1)，把棱长为1的正方体沿平面AB1D1和平面A1BC1截去部分后，得到如图(2)所示几何体，则该几何体的体积为()A．eq\f(3,4) B．eq\f(17,24)C．eq\f(2,3) D．eq\f(1,2)解析：选B.把棱长为1的正方体沿平面AB1D1和平面A1BC1截去部分后，得到几何体的体积：V＝VABCD­A1B1C1D1－VA­A1B1D1－VB­A1B1C1＋VN­A1B1M＝1×1×1－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1))×1－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1))×1＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(\r(2),2)×\f(\r(2),2)))×eq\f(1,2)＝eq\f(17,24).4．(2024·金华十校联考)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为()A．eq\f(\r(3),2)π B．eq\f(\r(3),2)C．3π D．3解析：选A.由题意得，该几何体为四棱锥，且该四棱锥的外接球即为棱长为1的正方体的外接球，其半径为eq\f(\r(3),2)，故体积为eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(3),2)π，故选A.5．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A．48＋π B．48－πC．48＋2π D．48－2π解析：选A.该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S＝2×2×2＋2×4×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故选A.6．(2024·台州四校高三联考)一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB上的动点，记四面体EFMC的体积为V1，多面体ADF­BCE的体积为V2，则eq\f(V1,V2)＝()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．不是定值，随点M位置的改变而改变解析：选B.由三视图可知多面体ADF­BCE是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角边长为a)，且四边形DFEC与四边形ABCD都是正方形，它们的边长均为a.因为M是AB上的动点，且易知AB∥平面DFEC，所以点M到平面DFEC的距离等于点B到平面DFEC的距离，为a，所以V1＝VE­FMC＝VM­EFC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a·a·a＝eq\f(a3,6)，又V2＝eq\f(1,2)a·a·a＝eq\f(a3,2)，故eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(a3,6),\f(a3,2))＝eq\f(1,3)，故选B.7.(2024·宁波市余姚中学期中检测)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为________cm3，表面积为________cm2.解析：由三视图可知：该几何体是由一个半球去掉eq\f(1,4)后得到的几何体．所以该几何体的体积＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)×eq\f(4,3)×π×13＝eq\f(π,2)cm3.表面积＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)×4π×12＋eq\f(1,2)×π×12＋eq\f(3,4)×π×12＝eq\f(11π,4)cm2.答案：eq\f(π,2)eq\f(11π,4)8．(2024·瑞安市龙翔中学高三月考)一个正四棱锥的全部棱长均为2，其俯视图如图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为________，正四棱锥的体积为________．解析：由正四棱锥的俯视图，可得到正四棱锥的直观图如图，则该正四棱锥的正视图为三角形PEF(E，F分别为AD，BC的中点)，因为正四棱锥的全部棱长均为2，所以PB＝PC＝2，EF＝AB＝2，PF＝eq\r(3)，所以PO＝eq\r(PF2－OF2)＝eq\r(3－1)＝eq\r(2)，所以该正四棱锥的正视图的面积为eq\f(1,2)×2×eq\r(2)＝eq\r(2)；正四棱锥的体积为eq\f(1,3)×2×2×eq\r(2)＝eq\f(4\r(2),3).答案：eq\r(2)eq\f(4\r(2),3)9．(2024·温州市高考模拟)已知某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则此几何体的体积为________，表面积为________．解析：依据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个边长为2的正方形，PE⊥平面ABCD，且PE＝2，其中E、F分别是BC、AD的中点，连接EF、PA，所以几何体的体积V＝eq\f(1,3)×2×2×2＝eq\f(8,3)，在△PEB中，PB＝eq\r(PE2＋BE2)＝eq\r(5)，同理可得PC＝eq\r(5)，因为PE⊥平面ABCD，所以PE⊥CD，因为CD⊥BC，BC∩PE＝E，所以CD⊥平面PBC，则CD⊥PC，在△PCD中，PD＝eq\r(PC2＋DC2)＝eq\r(5＋4)＝3，同理可得PA＝3，则PF⊥AD，在△PDF中，PF＝eq\r(PD2－DF2)＝eq\r(9－1)＝2eq\r(2)，所以此几何体的表面积S＝2×2＋eq\f(1,2)×2×2＋2×eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＋eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝6＋2eq\r(5)＋2eq\r(2).答案：eq\f(8,3)6＋2eq\r(5)＋2eq\r(2)10．已知球O的表面积为25π，长方体的八个顶点都在球O的球面上，则这个长方体的表面积的最大值等于________．解析：设球的半径为R，则4πR2＝25π，所以R＝eq\f(5,2)，所以球的直径为2R＝5，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则长方体的表面积S＝2ab＋2ac＋2bc≤a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2＝2(a2＋b2＋c2)＝50.答案：5011.如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，求该多面体的体积．解：如图，分别过点A、B作EF的垂线，垂足分别为G、H，连接DG、CH，简单求得EG＝HF＝eq\f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq\f(\r(3),2)，所以S△AGD＝S△BHC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),4)，所以该多面体的体积V＝VE­ADG＋VF­BHC＋VAGD­BHC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3).12.如图，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(担心装上底面)．(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)；(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．解：(1)由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为eq\f(9.6－8×2r,8)＝1.2－2r，所以塑料片面积S＝πr2＋2πr(1.2－2r)＝πr2＋2.4πr－4πr2＝－3πr2＋2.4πr＝－3π(r2－0.8r)．所以当r＝0.4米时，S有最大值，约为1.51平方米．(2)若灯笼底面半径为0.3米，则高为1.2－2×0.3＝0.6(米)．制作灯笼的三视图如图[实力提升]1．在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A．4π B．eq\f(9π,2)C．6π D．eq\f(32π,3)解析：选B.由题意可得若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R＝eq\f(3,2)，该球的体积最大，Vmax＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4π,3)×eq\f(27,8)＝eq\f(9π,2).2．(2024·瑞安市龙翔中学高三月考)如图，已知在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，AB＝1，PA·AC＝1，∠ABC＝θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜θ≤\f(π,2)))，则四棱锥P­ABCD的体积V的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),6)，\f(1,3))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),12)，\f(1,6)))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),6)，\f(1,3))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),12)，\f(1,6)))解析：选A.由已知，四边形ABCD的面积S＝sinθ，由余弦定理可求得AC＝eq\r(2－2cosθ)，所以PA＝eq\f(1,\r(2－2cosθ))，所以V＝eq\f(1,3)·eq\f(sinθ,\r(2－2cosθ))，所以V＝eq\f(\r(2),6)·eq\r(\f(sin2θ,1－cosθ))＝eq\f(\r(2),6)·eq\r(1＋cosθ).所以，当cosθ＝0，即θ＝eq\f(π,2)时，四棱锥P­ABCD的体积V的最小值是eq\f(\r(2),6)；当cosθ＝1，即θ＝0时，四棱锥P­ABCD的体积V的最大值是eq\f(1,3).因为0＜θ≤eq\f(π,2)，所以P­ABCD的体积V的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),6)，\f(1,3))).3．(2024·浙江名校协作体高三联考)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是eq\r(3)cm3，则正视图中的x的值是________cm，该几何体的表面积是________cm2.解析：由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，其直观图如图所示，由棱锥的体积公式得，eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×eq\r(3)x＝eq\r(3)⇒x＝2，侧面ADS，CDS，ABS为直角三角形，侧面BCS是以BC为底的等腰三角形，所以该几何体的表面积为S＝eq\f(1,2)[(1＋2)×eq\r(3)＋2×2＋eq\r(3)×2＋1×eq\r(7)＋2×eq\r(7)]＝eq\f(5\r(3)＋3\r(7)＋4,2).答案：2eq\f(5\r(3)＋3\r(7)＋4,2)4．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满意PD＝DA，PB＝BA，则四面体PBCD的体积的最大值是________．解析：由AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，可得AC＝2eq\r(3)，要求四面体PBCD的体积，关键是找寻底面三角形BCD的面积S△BCD和点P到平面BCD的距离h.易知h≤2.设AD＝x，则DP＝x，DC＝2eq\r(3)－x，S△DBC＝eq\f(1,2)×(2eq\r(3)－x)×2×sin30°＝eq\f(2\r(3)－x,2)，其中x∈(0，2eq\r(3))，且h≤x，所以VP­BCD＝eq\f(1,3)×S△BCD×h＝eq\f(2\r(3)－x,6)×h≤eq\f(2\r(3)－x,6)·x≤eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3)－x＋x,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)，当且仅当2eq\r(3)－x＝x，即x＝eq\r(3)时取等号．故四面体PBCD的体积的最大值是eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)5．已知一个几何体的三视图如图所示．(1)求此几何体的表面积；(2)假如点P，Q在正视图中所示位置，P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P到Q点的最短路径的长．解：(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．S圆锥侧＝eq\f(1,2)(2πa)·(eq\r(2)a)＝eq\r(2)πa2，S圆柱侧＝(2πa)·(2a)＝4πa2，S圆柱底＝πa2，所以S表＝eq\r(2)πa2＋4πa2＋πa2＝(eq\r(2)＋5)πa2.(2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图．则PQ＝eq\r(AP