《备考指南一轮·数学·》课件-第8章 第7讲

立体几何第八章第7讲立体几何中的向量方法(二)——求角高考要求考情分析1.能用向量方法解决直线与直线，直线与平面，平面与平面的夹角的计算问题．2．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用利用空间向量求角，在高考中，几乎每年会出现大题中的一问，考查数学运算和直观想象的核心素养栏目导航01基础整合自测纠编03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠编1[特别提醒]1．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cosθ＝|cos〈a，n〉|.2．二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补．1．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为(

)A．45°

B．135°C．45°或135°

D．90°【答案】C

2．(2019年海口期末)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则AA1与平面AB1C1所成的角为(

)【答案】A

【答案】A【答案】30°

1．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同．2．求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)√重难突破能力提升2利用空间向量求异面直线所成的角【规律方法】(1)向量法求异面直线所成的角的两种方法：①基向量法：利用线性运算．②坐标法：利用坐标运算．(2)向量的夹角与异面直线所成角的区别：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．【答案】(1)C

(2)A利用空间向量求直线与平面所成的角

(2016年新课标Ⅲ)如图所示，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【规律方法】利用平面的法向量求线面角的注意点：(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角即为所求．(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin2θ＋cos2θ＝1求出其值．不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所夹角的余弦值为所求．利用空间向量求二面角

(2019年惠州模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，PA⊥PB，PC＝2.(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；(2)若PA＝PB，求二面角A－PC－D的余弦值．【规律方法】利用向量求二面角的方法：(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．(2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．追踪命题直击高考3【典例精析】

【考查角度】平面与平面垂直与直线与平面所成的角．【考查目的】考查推理论证能力、空间想象能力和运算求解能力，体现直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养．【拓展延伸】1．异面直线所成的角及二面角与向量夹角的关系(1)异面直线所成角与向量夹角的关系当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角．(2)二面角与向量夹角的关系设二面角的两个面的法向量分别为n1，n2，则〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉是所求的二面角．这时要借助图形来判断所求角是锐角还是钝角，确定〈n1，n2〉是所求角，还是π－〈n1，n2〉是所求角．【真题链接】

1．(2019年新课标Ⅱ)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，求二面角B－EC－C1的正弦值．【解析】(1)证明：长方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C1⊥平面ABB1A1，EC1∩B1C1＝C1，所以B1C1⊥BE.因为BE⊥EC1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AE＝A1E＝1，因为BE⊥平面EB1C1，所以BE⊥EB1，所以AB＝1，则E(1,1,1)，A(1,1,0)，B1(0，1,2)，C1(0,0,2)，C(0,0,0)．【解析】(1)证明：连接BO.因为AB＝BC＝2，AC＝4，所以AB2＋BC2＝AC2，即△ABC是直角三角形．又O为AC的中点，所以OA＝OB＝OC．因为PA＝PB