2025版高考数学大一轮复习第五章平面向量与复数5.3平面向量的数量积教案理含解析新人教A版

PAGEPAGE1§5.3平面对量的数量积最新考纲考情考向分析1.理解平面对量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面对量的数量积与向量投影的关系.3.驾驭数量积的坐标表达式，会进行平面对量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积推断两个平面对量的垂直关系.主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及推断两个平面对量的垂直关系.一般以选择题、填空题的形式考查，间或会在解答题中出现，属于中档题.1.两个向量的夹角(1)定义已知两个非零向量a，b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉.(2)范围向量夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉.(3)向量垂直假如〈a，b〉＝eq\f(π,2)，则a与b垂直，记作a⊥b.2.向量在轴上的正射影已知向量a和轴l(如图)，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量eq\o(O1A1,\s\up6(→))叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.eq\o(OA,\s\up6(→))＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cosθ.3.向量的数量积(1)向量的数量积(内积)的定义|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)向量数量积的性质①假如e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉；②a⊥b⇔a·b＝0；③a·a＝|a|2，|a|＝eq\r(a·a)；④cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)(|a||b|≠0)；⑤|a·b|≤|a||b|.(3)向量数量积的运算律①交换律：a·b＝b·a.②对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb).③安排律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(4)向量数量积的坐标运算与度量公式设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则①a·b＝a1b1＋a2b2；②a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0；③|a|＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2))；④cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2))).概念方法微思索1.a在b方向上的正投影与b在a方向上的正投影相同吗？提示不相同.因为a在b方向上的正投影为|a|cosθ，而b在a方向上的正投影为|b|cosθ，其中θ为a与b的夹角.2.两个向量的数量积大于0，则夹角肯定为锐角吗？提示不肯定.当夹角为0°时，数量积也大于0.题组一思索辨析1.推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的正投影为数量，而不是向量.(√)(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(√)(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(×)(4)(a·b)c＝a(b·c).(×)(5)两个向量的夹角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(×)(6)若a·b<0，则a和b的夹角为钝角.(×)题组二教材改编2.已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.答案12解析∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.3.已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的正投影为________.答案－2解析由数量积的定义知，b在a方向上的正投影为|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.题组三易错自纠4.已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.答案2eq\r(3)解析方法一|a＋2b|＝eq\r(a＋2b2)＝eq\r(a2＋4a·b＋4b2)＝eq\r(22＋4×2×1×cos60°＋4×12)＝eq\r(12)＝2eq\r(3).方法二(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2eq\r(3).5.已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))方向上的正投影为________.答案eq\f(3\r(2),2)解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(5,5)，由定义知，eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))方向上的正投影为eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(15,5\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).6.已知△ABC的三边长均为1，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________.答案－eq\f(3,2)解析∵〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，∴a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos120°＝－eq\f(1,2)，∴a·b＋b·c＋a·c＝－eq\f(3,2).题型一平面对量数量积的基本运算1.已知a＝(x,1)，b＝(－2,4)，若(a＋b)⊥b，则x等于()A.8B.10C.11D.12答案D解析∵a＝(x,1)，b＝(－2,4)，∴a＋b＝(x－2,5)，又(a＋b)⊥b，∴(x－2)×(－2)＋20＝0，∴x＝12.2.(2024·全国Ⅱ)已知向量a，b满意|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)等于()A.4B.3C.2D.0答案B解析a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.3.(2024·铁岭模拟)设D，E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点，且BC＝2，则eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(4,9)B.eq\f(8,9)C.eq\f(26,9)D.eq\f(26,3)答案C解析如图，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝60°，∵D，E是边BC的两个三等分点，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(BC,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(CB,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AC,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\f(2,9)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋eq\f(5,9)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝eq\f(2,9)×4＋eq\f(5,9)×2×2×eq\f(1,2)＋eq\f(2,9)×4＝eq\f(26,9).思维升华平面对量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解.题型二平面对量数量积的应用命题点1求向量的模例1(1)(2024·抚顺模拟)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝6，D是AB上一点，且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5，则|eq\o(BD,\s\up6(→))|等于()A.1B.2C.3D.4答案C解析如图所示，设eq\o(AD,\s\up6(→))＝keq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝keq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(keq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝keq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝25k－5×6×eq\f(1,2)＝25k－15＝－5，解得k＝eq\f(2,5)，所以|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3.(2)设向量a，b，c满意|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值为()A.4B.2C.eq\r(2)D.1答案A解析因为|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(1,2)，〈a，b〉＝120°.如图所示，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(CA,\s\up6(→))＝a－c，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b－c，∠AOB＝120°.所以∠ACB＝60°，所以∠AOB＋∠ACB＝180°，所以A，O，B，C四点共圆.不妨设为圆M，因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，所以eq\o(AB,\s\up6(→))2＝a2－2a·b＋b2＝12.所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，由正弦定理可得△AOB的外接圆即圆M的直径为2R＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,sin∠AOB)＝4.所以当|eq\o(OC,\s\up6(→))|为圆M的直径时，|c|取得最大值4.命题点2求向量的夹角例2(1)(2024·通辽质检)设向量a，b满意|a|＝2，|b|＝1，a·(a－b)＝3，则a与b的夹角为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)答案B解析由题意得a·(a－b)＝a2－a·b＝4－2×1×cosα＝4－2cosα＝3，∴cosα＝eq\f(1,2)，∵0≤α≤π，∴α＝eq\f(π,3).(2)已知e1，e2是相互垂直的单位向量.若eq\r(3)e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________.答案eq\f(\r(3),3)解析由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，|eq\r(3)e1－e2|＝eq\r(\r(3)e1－e22)＝eq\r(3e\o\al(2,1)－2\r(3)e1·e2＋e\o\al(2,2))＝eq\r(3－0＋1)＝2.同理|e1＋λe2|＝eq\r(1＋λ2).所以cos60°＝eq\f(\r(3)e1－e2·e1＋λe2,|\r(3)e1－e2||e1＋λe2|)＝eq\f(\r(3)e\o\al(2,1)＋\r(3)λ－1e1·e2－λe\o\al(2,2),2\r(1＋λ2))＝eq\f(\r(3)－λ,2\r(1＋λ2))＝eq\f(1,2)，解得λ＝eq\f(\r(3),3).思维升华(1)求解平面对量模的方法①利用公式|a|＝eq\r(x2＋y2).②利用|a|＝eq\r(a2).(2)求平面对量的夹角的方法①定义法：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，θ的取值范围为[0，π].②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中.跟踪训练1(1)(2024·锦州模拟)已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|＝________.答案eq\r(3)解析∵|2a－b|＝1，∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝1，∴4－4|b|cos30°＋b2＝1，整理得|b|2－2eq\r(3)|b|＋3＝(|b|－eq\r(3))2＝0，解得|b|＝eq\r(3).(2)已知|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(2π,3)答案B解析∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝1－eq\r(2)cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝eq\f(\r(2),2)，∴〈a，b〉＝eq\f(π,4).题型三平面对量与三角函数例3已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3x,2)，sin\f(3x,2)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(x,2)，－sin\f(x,2)))，且x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4))).(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值.解(1)a·b＝coseq\f(3x,2)coseq\f(x,2)－sineq\f(3x,2)·sineq\f(x,2)＝cos2x.∵a＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3x,2)＋cos\f(x,2)，sin\f(3x,2)－sin\f(x,2)))，∴|a＋b|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3x,2)＋cos\f(x,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3x,2)－sin\f(x,2)))2)＝eq\r(2＋2cos2x)＝2|cosx|.∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))，∴cosx>0，∴|a＋b|＝2cosx.(2)f(x)＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx－\f(1,2)))2－eq\f(3,2).∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))，∴eq\f(1,2)≤cosx≤1，∴当cosx＝eq\f(1,2)时，f(x)取得最小值－eq\f(3,2)；当cosx＝1时，f(x)取得最大值－1.思维升华平面对量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.跟踪训练2在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，cosx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为eq\f(π,3)，求x的值.解(1)因为m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.所以m·n＝0，即eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)cosx＝0，所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，即eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)cosx＝eq\f(1,2)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，因为0<x<eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,4)<x－eq\f(π,4)<eq\f(π,4)，所以x－eq\f(π,4)＝eq\f(π,6)，即x＝eq\f(5π,12).1.已知a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案B解析依据向量数量积的定义式可知，若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则肯定有a·b>0，所以“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.2.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，若ka－2b与a垂直，则实数k的值为()A.1B.－1C.2D.－2答案B解析向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，则ka－2b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－4，k＋6)).若ka－2b与a垂直，则k－4＋k＋6＝0，解得k＝－1.故选B.3.(2024·乌海模拟)已知向量a，b满意|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(eq\r(3)，eq\r(2))，则|2a－b|等于()A.2eq\r(2)B.eq\r(17)C.eq\r(15)D.2eq\r(5)答案A解析依据题意，|a－b|＝eq\r(3＋2)＝eq\r(5)，则(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝5－2a·b＝5，可得a·b＝0，结合|a|＝1，|b|＝2，可得(2a－b)2＝4a2＋b2－4a·b＝4＋4＝8，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2a－b))＝2eq\r(2)，故选A.4.(2024·辽阳模拟)非零向量a，b满意：|a－b|＝|a|，a·(a－b)＝0，则a－b与b夹角θ的大小为()A.135°B.120°C.60°D.45°答案A解析∵非零向量a，b满意a·(a－b)＝0，∴a2＝a·b，由|a－b|＝|a|可得，a2－2a·b＋b2＝a2，解得|b|＝eq\r(2)|a|，∴cosθ＝eq\f(a－b·b,|a－b||b|)＝eq\f(a·b－|b|2,|a||b|)＝eq\f(|a|2－2|a|2,\r(2)|a|2)＝－eq\f(\r(2),2)，∴θ＝135°，故选A.5.(2024·丹东模拟)已知两个单位向量a和b的夹角为60°，则向量a－b在向量a方向上的正投影为()A.－1B.1C.－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)答案D解析由题意可得|a|＝|b|＝1，且a·b＝|a|×|b|×cos60°＝eq\f(1,2)，a·(a－b)＝a2－a·b＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，则向量a－b在向量a方向上的正投影为eq\f(a－b·a,|a|)＝eq\f(\f(1,2),1)＝eq\f(1,2).故选D.6.(2024·通辽质检)已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点，则eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))的取值范围是()A.[－1,0] B.[－1,2]C.[－1,3] D.[－1,4]答案C解析如图所示，由题意可得，点M所在区域的不等式表示为(x－1)2＋(y－1)2≤1(0≤x≤2,0≤y≤2).可设点M(x，y)，A(0,0)，B(2,0).∴eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝(－x，－y)·(2－x，－y)＝－x(2－x)＋y2＝(x－1)2＋y2－1，由eq\r(x－12＋y2)∈[0,2]，∴eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))∈[－1,3]，故选C.7.(2024·营口模拟)若平面对量a，b满意eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))·b＝7，|a|＝eq\r(3)，|b|＝2，则向量a与b的夹角为________.答案eq\f(π,6)解析∵(a＋b)·b＝a·b＋b2＝7，∴a·b＝7－b2＝3.设向量a与b的夹角为α，则cosα＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(3,2\r(3))＝eq\f(\r(3),2).又0≤α≤π，∴α＝eq\f(π,6)，即向量a与b的夹角为eq\f(π,6).8.已知向量a，b满意|a|＝1，|b|＝eq\r(3)，|a＋b|＝eq\r(2)，则a在b方向上的正投影为________.答案－eq\f(\r(3),3)解析向量a，b满意|a|＝1，|b|＝eq\r(3)，|a＋b|＝eq\r(2)，∴|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(1＋3＋2a·b)＝eq\r(2)，解得a·b＝－1.a在b方向上的正投影为eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(－1,\r(3))＝－eq\f(\r(3),3).9.如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，D是BC的中点，则eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))的值为________.答案－17解析如图，建立平面直角坐标系，则C(0,0)，A(3,0)，B(0,4)，D(0,2).则eq\o(BA,\s\up6(→))＝(3，－4)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－3,2).∴eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝3×(－3)－4×2＝－17.10.已知平面对量a，b，|a|＝1，|b|＝2且a·b＝1，若e为平面单位向量，则(a－b)·e的最大值为________.答案eq\r(3)解析由|a|＝1，|b|＝2，且a·b＝1，得cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(1,2)，∴〈a，b〉＝60°，设a＝(1,0)，b＝(1，eq\r(3))，e＝(cosθ，sinθ)，∴(a－b)·e＝－eq\r(3)sinθ，∴(a－b)·e的最大值为eq\r(3).11.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，求△ABC的面积.解(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，所以a·b＝－6，所以cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－6,4×3)＝－eq\f(1,2).又0≤θ≤π，所以θ＝eq\f(2π,3).(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝eq\r(13).(3)因为eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角θ＝eq\f(2π,3)，所以∠ABC＝π－eq\f(2π,3)＝eq\f(π,3).又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|a|＝4，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|b|＝3，所以S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|·sin∠ABC＝eq\f(1,2)×4×3×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3).12.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，求eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的最小值.解方法一设BC的中点为D，AD的中点为E，则有eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))，则eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝2(eq\o(PE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→)))·(eq\o(PE,\s\up6(→))－eq\o(EA,\s\up6(→)))＝2(eq\o(PE,\s\up6(→))2－eq\o(EA,\s\up6(→))2).而eq\o(AE,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝eq\f(3,4)，当P与E重合时，eq\o(PE,\s\up6(→))2有最小值0，故此时eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))取最小值，最小值为－2eq\o(EA,\s\up6(→))2＝－2×eq\f(3,4)＝－eq\f(3,2).方法二以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则A(－1,0)，B(1,0)，C(0，eq\r(3))，设P(x，y)，取BC的中点D，则Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝2(－1－x，－y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x，\f(\r(3),2)－y))＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x＋1·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＋y·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)))))＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),4)))2－\f(3,4))).因此，当x＝－eq\f(1,4)，y＝eq\f(\r(3),4)时，eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))取最小值，为2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝－eq\f(3,2).13.已知O是△ABC内部一点，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(2,3)答案A解析∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(OC,\s\up6(→))，∴O为三角形的重心，∴△OBC的面积为△ABC面积的eq\f(1,3)，∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|cos∠BAC＝2，∵∠BAC＝60°，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4，△ABC的面积为eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|sin∠BAC＝eq\r(3)，∴△OBC的面积为eq\f(\r(3),3)，故选A.14.(2024·阜新模拟)在△ABC中，∠A＝120°，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－3，点G是△ABC的重心，则|eq\o(AG,\s\up6(→))|的最小值是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(\r(6),3)C.eq\f(\r(2),3)D.eq\f(5,3)答案B解析设BC的中点为D，因为点G是△ABC的重心，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，再令|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝c，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝b，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝bccos120°＝－3，所以bc＝6，所以|eq\o(AG,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,9)(|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|2)＝eq\f(1,9)(c2＋b2－6)≥eq\f(1,9)(2bc－6)＝eq\f(2,3)，所以|eq\o(AG,\s\up6(→))|≥eq\f(\r(6),3)，当且仅当b＝c＝eq\r(6)时取等号，故选B.15.已知eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))是非零不共线的向量，设eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,m＋1)eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\f(m,m＋1)eq\o(OQ,\s\up6(→))，定义点集A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(F\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\o(FP,\s\up6(→))·\o(FM,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(FP,\s\up6(→)))))＝\f(\o(FQ,\s\up6(→))·\o(FM,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(FQ,\s\up6(→)))))))))，当F1，F2∈A时，若对于随意的m≥3，当F1，F2不在直线PQ上时，不等式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(F1F2,\s\up6(→))))≤keq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(PQ,\s\up6(→))))恒成立，则实数k的最小值为________.答案eq\f(3,4)解析由eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,m＋1)eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\f(m,m＋1)eq\o(OQ,\s\up6(→))(m≥3)，可得P，Q，M三点共线且eq\f(PM,QM)＝m，由A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(F\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\o(FP,\s\up6(→))·\o(FM,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(FP,\s\up6(→)))))＝\f(\o(FQ,\s\up6(→))·\o(FM,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(FQ,\s\up6(→)))))))))，可得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(FM,\s\up6(→))))cos∠PFM＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(FM,\s\up6(→))))cos∠QFM，即∠PFM＝∠QFM，则FM为∠PFQ的角平分线，由角平分线的性质定理可得eq\f(PF,QF)＝eq\f(PM,QM)＝m，以P为坐标原点，PQ所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋m，0))，F(x，y)，于是eq\f(\r(x2＋y2),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1－m))2＋y2))＝m，化简得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(