2025版高考数学一轮复习第十章概率第1讲随机事件的概率高效演练分层突破文新人教A版

PAGEPAGE1第1讲随机事务的概率[基础题组练]1．(2024·高考全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7解析：选B.设“只用现金支付”为事务A，“既用现金支付也用非现金支付”为事务B，“不用现金支付”为事务C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4.故选B.2．(2024·福建五校其次次联考)下列说法正确的是()A．事务A，B中至少有一个发生的概率肯定比A，B中恰有一个发生的概率大B．事务A，B同时发生的概率肯定比A，B中恰有一个发生的概率小C．互斥事务肯定是对立事务，对立事务不肯定是互斥事务D．互斥事务不肯定是对立事务，对立事务肯定是互斥事务解析：选D.对于选项A，“事务A，B中至少有一个发生”包括“事务A发生B不发生”“A不发生B发生”和“A，B都发生”，“事务A，B中恰有一个发生”包括“事务A发生B不发生”和“A不发生B发生”，当事务A，B为对立事务时，“事务A，B中至少有一个发生”的概率与“事务A，B中恰有一个发生”的概率相等，故错误；对于选项B，“事务A，B同时发生”与“事务A，B中恰有一个发生”是互斥事务，不能确定概率的大小，故错误；因为对立事务肯定是互斥事务，互斥事务不肯定是对立事务，所以选项C错误，选项D正确．故选D.3．设A与B是互斥事务，A，B的对立事务分别记为A，B，则下列说法正确的是()A．eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))互斥 B．eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))互斥C．P(A＋B)＝P(A)＋P(B) D．P(eq\o(A,\s\up6(－))＋eq\o(B,\s\up6(－)))＝1解析：选C.依据互斥事务的定义可知，A与eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))都有可能同时发生，所以A与eq\o(B,\s\up6(－))互斥，eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))互斥是不正确的；P(A＋B)＝P(A)＋P(B)正确；eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))既不肯定互斥，也不肯定对立，所以D错误．4．掷一个骰子的试验，事务A表示“出现小于5的偶数点”，事务B表示“出现小于5的点数”，若eq\o(B,\s\up6(－))表示B的对立事务，则一次试验中，事务A∪eq\o(B,\s\up6(－))发生的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D．eq\f(5,6)解析：选C.掷一个骰子的试验有6种可能结果．依题意P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，所以P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).因为eq\o(B,\s\up6(－))表示“出现5点或6点”的事务，因此事务A与eq\o(B,\s\up6(－))互斥，从而P(A∪eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)＋P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).5．某城市2024年的空气质量状况如表所示：污染指数T3060100110130140概率peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50<T≤100时，空气质量为良；100<T≤150时，空气质量为稍微污染．则该城市2024年空气质量达到良或优的概率为．解析：由题意可知2024年空气质量达到良或优的概率为p＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)6．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有个．解析：由题意知，摸出黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.设黑球有n个，则eq\f(0.42,21)＝eq\f(0.3,n)，故n＝15.答案：157．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，结果如下：贫困地区参与测试的人数3050100200500800得60分以上的人数162752104256402得60分以上的频率发达地区参与测试的人数3050100200500800得60分以上的人数172956111276440得60分以上的频率(1)计算两地区参与测试的儿童得60分以上的频率(保留两位小数)；(2)依据频率估计两地区参与测试的儿童得60分以上的概率．解：(1)贫困地区表格从左到右分别为0.53，0.54，0.52，0.52，0.51，0.50；发达地区表格从左到右分别为0.57，0.58，0.56，0.56，0.55，0.55.(2)依据频率估计贫困地区参与测试的儿童得60分以上的概率为0.52，发达地区参与测试的儿童得60分以上的概率为0.56.8．某保险公司利用简洁随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01000200030004000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．解：(1)设A表示事务“赔付金额为3000元”，B表示事务“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事务“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为eq\f(24,100)＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.[综合题组练]1．某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，支配一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市全部顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简洁随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分钟)．(2)记A为事务“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事务“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率，得P(A1)＝eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，P(A2)＝eq\f(10,100)＝eq\f(1,10).P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－eq\f(1,5)－eq\f(1,10)＝eq\f(7,10).故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为eq\f(7,10).2．某公司支配购买1台机器，该种机器运用三年后即被淘汰．在购进机器时，可以一次性额外购买几次修理服务，每次修理服务费用200元，另外实际修理一次还需向修理人员支付小费，小费每次50元．在机器运用期间，假如修理次数超过购机时购买的修理服务次数，则每修理一次需支付修理服务费用500元，无需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次修理服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年运用期内的修理次数，得统计表：修理次数89101112频数1020303010记x表示1台机器在三年运用期内的修理次数，y表示1台机器在修理上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的修理服务次数．(1)若n＝10，求y与x的函数解析式；(2)若要求“修理次数不大于n”的频率不小于0.8，求n的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次修理服务，或每台都购买11次修理服务，分别计算这100台机器在修理上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买10次还是11次修理服务？解：(1)y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(200×10＋50x，x≤10，,250×10＋500（x－10），x>10.))即y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(50x＋2000，x≤10，,500x－2500，x>10，))x∈N.(2)因为“修理次数不大于10”的频率＝eq\f(10＋20＋30,100)＝0.6<0.8，“修理次数不大于11”的频率＝eq\f(10＋20＋30＋30,100)＝0.9>0.8，所以若要求“修理次数不大于n”的频率不小于0.8，则n的最小值为11.(3)若每台都购买10次修理服务，则有下表：修理次数x89101112频率0.10.20.30.30.1费用y24002450250030003500此时这100台机器在修理上所需费用的平均数为y1＝2400×0.1＋2450×0.2＋