新课标2025版高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲椭圆双曲线抛物线练习文新人教A版

PAGE1-第2讲椭圆、双曲线、抛物线一、选择题1．(2024·高考北京卷)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(1,2)，则()A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2C．a＝2b D．3a＝4b解析：选B.由题意得，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,4)，又a2＝b2＋c2，所以eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,4)，eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,4)，所以4b2＝3a2.故选B.2．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A．1 B.eq\r(2)C．2 D．2eq\r(2)解析：选D.设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，eq\f(1,2)×2cb＝1⇒bc＝1，2a＝2eq\r(b2＋c2)≥2eq\r(2bc)＝2eq\r(2)，当且仅当b＝c＝1时，等号成立．故选D.3．若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A．2B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,8)解析：选D.由题意知x2＝eq\f(1,2)y，则F(0，eq\f(1,8))，设P(x0，2xeq\o\al(2,0))，则|PF|＝eq\r(xeq\o\al(2,0)＋（2xeq\o\al(2,0)－\f(1,8)）2)＝eq\r(4xeq\o\al(4,0)＋\f(1,2)xeq\o\al(2,0)＋\f(1,64))＝2xeq\o\al(2,0)＋eq\f(1,8)，所以当xeq\o\al(2,0)＝0时，|PF|min＝eq\f(1,8).4．(2024·高考天津卷)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.2 D.eq\r(5)解析：选D.由题意知F(1，0)，l：x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，则|AB|＝4|OF|＝4，而|AB|＝2×eq\f(b,a)，所以eq\f(b,a)＝2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\f(\r(a2＋4a2),a)＝eq\r(5)，故选D.5．(一题多解)(2024·高考全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)解析：选A.通解：依题意，记F(c，0)，则以OF为直径的圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(c,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(c2,4)，将圆eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(c,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(c2,4)与圆x2＋y2＝a2的方程相减得cx＝a2，即x＝eq\f(a2,c)，所以点P，Q的横坐标均为eq\f(a2,c).由于PQ是圆x2＋y2＝a2的一条弦，因此eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PQ|,2)))eq\s\up12(2)＝a2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)＝a2，即eq\f(c2,4)＝a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a2,c2)))＝eq\f(a2b2,c2)，所以c2＝2ab，即a2＋b2－2ab＝(a－b)2＝0，所以a＝b，因此C的离心率e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\r(2)，故选A.优解一：记F(c，0)．连接OP，PF，则OP⊥PF，所以S△OPF＝eq\f(1,2)|OP|·|PF|＝eq\f(1,2)|OF|·eq\f(1,2)|PQ|，即eq\f(1,2)a·eq\r(c2－a2)＝eq\f(1,2)c·eq\f(1,2)c，即c2＝2ab，即a2＋b2－2ab＝(a－b)2＝0，所以a＝b，因此C的离心率e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\r(2)，故选A.优解二：记F(c，0)．依题意，PQ是以OF为直径的圆的一条弦，因此OF垂直平分PQ.又|PQ|＝|OF|，因此PQ是该圆与OF垂直的直径，所以∠FOP＝45°，点P的横坐标为eq\f(c,2)，纵坐标的肯定值为eq\f(c,2)，于是有eq\r(2)×eq\f(c,2)＝a，即e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)，即C的离心率为eq\r(2)，故选A.6．已知直线l：y＝kx＋2过双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点F和虚轴的上端点B(0，b)，且与圆x2＋y2＝8交于点M，N，若|MN|≥2eq\r(5)，则双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，eq\r(6)] B．(1，eq\f(\r(6),2)]C．[eq\f(\r(6),2)，＋∞) D．[eq\r(6)，＋∞)解析：选C.设圆心到直线l的距离为d(d>0)，因为|MN|≥2eq\r(5)，所以2eq\r(8－d2)≥2eq\r(5)，即0<d≤eq\r(3).又d＝eq\f(2,\r(1＋k2))，所以eq\f(2,\r(1＋k2))≤eq\r(3)，解得|k|≥eq\f(\r(3),3).由直线l：y＝kx＋2过双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点F和虚轴的上端点B(0，b)，得|k|＝eq\f(b,c).所以eq\f(b,c)≥eq\f(\r(3),3)，即eq\f(b2,c2)≥eq\f(1,3)，所以eq\f(c2－a2,c2)≥eq\f(1,3)，即1－eq\f(1,e2)≥eq\f(1,3)，所以e≥eq\f(\r(6),2)，即双曲线的离心率e的取值范围是[eq\f(\r(6),2)，＋∞)．故选C.二、填空题7．已知双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为______．解析：依据对称性，不妨设A在第一象限，A(x，y)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝4，,y＝\f(b,2)x))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,\r(b2＋4))，,y＝\f(4,\r(b2＋4))·\f(b,2)，))所以xy＝eq\f(16,b2＋4)·eq\f(b,2)＝eq\f(b,2)⇒b2＝12，故双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.答案：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝18．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线l，过M(1，0)且斜率为eq\r(3)的直线与l相交于点A，与C的一个交点为点B，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))，则p＝________．解析：设直线AB：y＝eq\r(3)x－eq\r(3)，代入y2＝2px得：3x2＋(－6－2p)x＋3＝0，又因为eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))，即M为A，B的中点，所以xB＋(－eq\f(p,2))＝2，即xB＝2＋eq\f(p,2)，得p2＋4p－12＝0，解得p＝2，p＝－6(舍去)．答案：29．(2024·昆明市质量检测)已知抛物线y2＝4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x－3y＋11＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．解析：如图，设抛物线的准线为m，焦点为F，分别过点P，F作PA⊥m，PM⊥l，FN⊥l，垂足分别为A，M，N.连接PF，因为点P在抛物线上，所以|PA|＝|PF|，所以(d1＋d2)min＝(|PF|＋|PM|)min＝|FN|.点F(1，0)到直线l的距离|FN|＝eq\f(|4＋11|,\r(42＋（－3）2))＝3，所以(d1＋d2)min＝3.答案：3三、解答题10．(2024·长春市质量监测(二))已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的中心是坐标原点O，左、右焦点分别为F1，F2，设P是椭圆C上一点，满意PF2⊥x轴，|PF2|＝eq\f(1,2)，椭圆C的离心率为eq\f(\r(3),2).(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的左焦点且倾斜角为45°的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB的面积．解：(1)由题意知，离心率e＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2)，|PF2|＝eq\f(b2,a)＝eq\f(1,2)，得a＝2，b＝1，所以椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)由条件可知F1(－eq\r(3)，0)，直线l：y＝x＋eq\r(3)，联立直线l和椭圆C的方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋\r(3),\f(x2,4)＋y2＝1))，消去y得5x2＋8eq\r(3)x＋8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(8\r(3),5)，x1·x2＝eq\f(8,5)，所以|y1－y2|＝|x1－x2|＝eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\f(4\r(2),5)，所以S△AOB＝eq\f(1,2)·|y1－y2|·|OF1|＝eq\f(2\r(6),5).11．(2024·高考全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq\f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，求|AB|.解：设直线l：y＝eq\f(3,2)x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由题设得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq\f(3,2)，由题设可得x1＋x2＝eq\f(5,2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－eq\f(12（t－1）,9).从而－eq\f(12（t－1）,9)＝eq\f(5,2)，得t＝－eq\f(7,8).所以l的方程为y＝eq\f(3,2)x－eq\f(7,8).(2)由eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))可得y1＝－3y2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得y2－2y＋2t＝0.所以y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.代入C的方程得x1＝3，x2＝eq\f(1,3).故|AB|＝eq\f(4\r(13),3).12．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为eq\f(1,2)，其中一个顶点是抛物线x2＝－4eq\r(3)y的焦点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，求直线l的方程和点M的坐标．解：(1)设椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由题意得b＝eq\r(3)，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，解得a＝2，c＝1.故椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)因为过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一象限相切，所以直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1(k≠0)．由eq\b\l