专题4　圆的综合题

数学

贵州专版2025第二部分

贵州中考专题突破专题四圆的综合题栏目导航与圆的性质有关的证明与计算类型一与切线有关的证明与计算类型二1.证明线段或角相等的思路借助圆和其他几何图形的性质、与圆有关的位置关系，添加适当辅助线构造相等的角、边，或通过三角形全等建立等量关系.2.求圆中线段长度的思路在圆的背景下，识别和构造基本图形，如连接圆心和切点构造直角三角形，利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，利用圆的半径相等构造等腰三角形，利用圆中角之间的关系构造相似三角形，进而利用勾股定理、锐角三角函数、三角形相似求线段的长.与圆的性质有关的证明与计算(8年4考：2024，2021，2018·23，2017·22)类型一核心技法3.求弧长或阴影部分面积的思路(1)利用弧长公式直接计算；(2)阴影部分是规则图形时，利用面积公式直接计算；阴影部分是不规则图形时，常通过和差法、等面积转化法等，构造规则图形，再运用公式计算.例1如图，AB是☉O的直径，AC与☉O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE，DB.(1)请从①DE与☉O相切；②DE⊥AC中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，已知：______，结论：______.将题目补充完整(填写序号)，并完成证明过程；典例精析典例精析解：若选择：①作为条件，②作为结论，证明：连接OD，如图，∵DE与☉O相切于点D，∴∠ODE＝90°.∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB.∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO.∴∠EAD＝∠ADO.∴AE∥DO.∴∠AED＝180°－∠ODE＝90°.∴DE⊥AC；若选择：②作为条件，①作为结论.证明：连接OD，如图1，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°.∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB.∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO.∴∠EAD＝∠ADO.∴AE∥DO.∴∠ODE＝180°－∠AED＝90°.∵OD是☉O的半径，∴DE与☉O相切.若选择：①作为条件，②作为结论，先根据切线的性质可得∠ODE＝90°，再根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得AE∥DO，然后利用平行线的性质可得∠AED＝90°，即可解答；若选择：②作为条件，①作为结论，先根据垂直定义可得∠AED＝90°，再根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得AE∥DO，然后利用平行线的性质可得∠ODE＝90°，即可解答；

针对训练

(2)若EF垂直平分OB，DA＝3，求阴影部分的面积.

1.切线的性质：(1)圆的切线垂直于经过切点的半径；(2)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；(3)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.2.切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.与切线有关的证明与计算(8年4考：2024，2022，2020，2019·23)类型二核心技法3.常见的辅助线的作法：(1)判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；(2)有切线时，常常“遇切点连圆心得半径”.例2(2024赤峰)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，☉O经过B，C两点，与斜边AB交于点E，连接CO并延长交AB于点M，交☉O于点D，过点E作EF∥CD，交AC于点F.(1)求证：EF是☉O的切线；典例精析典例精析证明：连接OE，如图，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°.∴∠COE＝2∠ABC＝90°.∵EF∥CD，∴∠COE＋∠OEF＝180°.∴∠OEF＝90°.∵OE是☉O的半径，∴EF是☉O的切线.第一步：连接OE，根据等腰直角三角形的性质得到∠A＝∠ABC＝45°；第二步：根据圆周角定理得到∠COE＝2∠ABC＝90°；第三步：根据平行线的性质得到∠OEF＝90°；第四步：根据切线的判定定理得到结论.

2.(2024湖北)如图，在Rt△A