专项训练06 常考解直角三角形模型(教师版)2025中考数学一轮复习讲练(全国)

专项训练六常考解直角三角形模型1.(2023·日照)日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一,主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务.数学小组的同学要测量灯塔的高度,如图所示,在点B处测得灯塔最高点A的仰角∠ABD=45°,再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD=60°,BC=15.3m,则灯塔的高度AD大约是(结果精确到1m,参考数据:2≈1.41,3≈1.73)()A.31m B.36m C.42m D.53m2.林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面,如图所示.已知彩旗绳与地面形成25°角(即∠BAC=25°),彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32m(即AC=32m),则彩旗绳AB的长度为 ()A.32sin25°m B.32cos25°mC.32sin25°m D.3.(2023·广西)如图,焊接一个钢架,包括底角为37°的等腰三角形外框和3m高的支柱,则共需钢材约m.(结果取整数,参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)

4.(2023·内江)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且满足a2+|c-10|+b-8=12a-36,则sinB的值为5.(2024·宿迁)双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一,由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成.某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动,该小组制定了测量方案,在实地测量后撰写活动报告,报告部分内容如表:测量七凤塔高度测量工具测角仪、皮尺等活动形式以小组为单位测量示意图测量步骤及结果如图,步骤如下:①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BDG=37°;②沿着CA方向走到E处,用皮尺测得CE=24米;③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BFG=45°.……已知测角仪的高度为1.2米,点C,E,A在同一水平直线上.根据以上信息,求塔AB的高度.(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)6.(2024·河北三模)如图,在一个建筑物两侧搭两个长度相同的滑梯(即BC=EF),设计要求左、右两边的滑梯BC,EF的坡度分别为1∶2和1∶0.5.测得AD=3米,CD=5米.(1)求滑梯的长.(2)试猜想两个滑梯BC,EF的位置关系,并证明.(3)小亮(看成点P)从点E沿滑梯EF下滑,请直接写出他与C处距离的最小值.(2024·秦皇岛北戴河区一模)四边形不具有稳定性,工程上可利用这一性质解决问题.如图是某篮球架的侧面示意图,BE,CD,GF为长度固定的支架,支架在A,D,G处与立柱AH连接(AH⊥MN),在B,C处与篮板连接(BC⊥MN),EF是可以调节长度的伸缩臂(旋转点F处的螺栓改变EF的长度,使得支架BE绕点A旋转,从而改变四边形ABCD的形状,以此调节篮板的高度).已知AD=BC,DH=208cm;测得∠GAE=60°时,点C离地面的高度为288cm.调节伸缩臂EF,使得点C离地面的高度升高16cm,判断∠GAE增大还是减小了?增大(或减小)了多少度?(参考数据:sin54°≈0.8,cos54°≈0.6)

【详解答案】基础夯实1.B解析:在Rt△ADB中,∠ABD=45°,∴AD=BD.设AD=xm,则BD=xm,CD=(x-15.3)m.在Rt△ADC中,∠ACD=60°,∴tan∠ACD=ADCD=xx-15.3=3,2.D解析:∵AC表示的是地面,BC表示的是图书馆,∴AC⊥BC.∴△ABC为直角三角形.∴AB=ACcos25°=323.21解析:∵△ABC是等腰三角形,且CD⊥AB,∴AD=BD.∵CD=3m,∴AC=BC=CDsin37°≈30.60=5(m),AD=BD=∴共需钢材约为2AC+2AD+CD=21m.4.45解析:∵a2+|c-10|+b-8=12a-36,∴a2-12a+36+|c-10|+b-8=0.∴(a-6)2+|c-10|+b-8=0.∴a-6=0,c-10=0,b-8=0.解得a=6,b=8,c=10.∴a2+b2=62+82=100=102=c2.∴∠C=90°5.解:由题意得,DF=CE=24米,AG=EF=CD=1.2米,∠BDG=37°,∠BFG=45°,在Rt△BDG中,tan∠BDG=tan37°=BGDG≈0.∴GD=BG0在Rt△BFG中,∵∠BFG=45°,∴FG=BG,∵DF=24米,∴DG-FG=BG0.75解得BG=72,∴AB=72+1.2=73.2(米),∴塔AB的高度为73.2米.6.解:(1)在Rt△ACD中,∵AD=3米,CD=5米,∴AC=CD∵滑梯BC的坡度分别为1∶2,∴AB=2AC=8(米),在Rt△ABC中,BC=AB2+∴滑梯的长为45米.(2)两个滑梯BC,EF的位置关系:BC⊥EF.证明:延长BC交EF于点G,如图1,图1∵左、右两边的滑梯BC,EF的坡度分别为1∶2和1∶0.5,∴ACAB=1∴AB=2AC,DE=2DF,∵BC=EF,BC2=AB2+AC2=5AC2,EF2=DE2+DF2=5DF2,∴AC=DF,又∵∠BAC=∠EDF=90°,∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL),∴∠ABC=∠DEF,∵∠DFE+∠DEF=90°,∴∠DFE+∠ABC=90°,∴∠BGF=90°,∴BC⊥EF.(3)他与C处距离的最小值为25米.解析:理由:小亮(看成点P)从点E沿滑梯EF下滑,他与C处距离的最小值就是CG的长.延长BC交EF于点G,连接BE,如图2,图2由(1)(2)知AB=DE=8米,AC=DF=4米,BC=EF=45米,∴BF=AB+AD+DF=8+3+4=15(米),∵S△BEF=12EF·BG=12BF·∴BG=BF·DEEF∴CG=BG-BC=65-45=25(米),∴他与C处距离的最小值为25米.能力提升解:∠GAE减小,减小6°.理由:如图,当∠GAE=60°时,延长BC与底面交于点K,过D作DQ⊥CK于点Q,∵BC⊥MN,AH⊥MN,∴BC∥AH,∵AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠QCD=∠ADC=∠GAE=60°,∵点C离地面的高度为288cm,DH=208cm,∴CQ=288-208=80(c