专项训练09 利用“将军饮马”解决线段最值问题 (教师版)2025中考数学一轮复习讲练(全国)

专项训练九利用“将军饮马”解决线段最值问题1.在一条沿直线MN铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区,现要求在MN上选取一点P,向两个小区铺设电缆.下面四种铺设方案中,使用电缆材料最少的是()A. B. C. D.2.如图,在五边形ABCDE中,∠BAE=α(∠BAE为钝角),∠B=∠E=90°,在BC,DE上分别找一点M,N,当△AMN周长最小时,∠MAN的度数为 ()A.12α B.α-90° C.2α-180° D.α-3.如图,等边三角形ABC的边长为2,过点B的直线l⊥AB,且△ABC与△A'BC'关于直线l对称,D为线段BC'上一动点,则AD+CD的最小值是 ()A.4 B.32 C.23 D.2+34.(2023·宜宾)如图,M是正方形ABCD边CD的中点,P是正方形内一点,连接BP,线段BP以点B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ,连接MQ.若AB=4,MP=1,则MQ的最小值为.

5.如图,E,F是正方形ABCD的边AB的三等分点,P是对角线AC上的动点,当PE+PF取得最小值时,APPC的值是6.(2023·达州)在△ABC中,AB=43,∠C=60°,在边BC上有一点P,且BP=12AC,连接AP,则AP的最小值为7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以点C为顶点的正方形CDEF(C,D,E,F四个顶点按逆时针方向排列)可以绕点C自由转动,且CD=2,连接AF,BD.(1)求证:△FCA≌△DCB.(2)在正方形CDEF旋转过程中,求BD+22AD的最小值1.如图,网格纸上每个小正方形的边长为1,点A,点C均在格点上,点P为x轴上任意一点,则△PAC周长的最小值为.

2.(2023·自贡)如图1,一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起,M,N分别是斜边DE,AB的中点,DE=2,AB=4.(1)将△CDE绕顶点C旋转一周,请直接写出点M,N距离的最大值和最小值.(2)将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°(如图2),求MN的长.图1图23.(2023·宜宾)如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰直角三角形ABC的直角顶点C(3,0),顶点A,B(6,m)恰好落在反比例函数y=kx第一象限的图象上(1)分别求反比例函数的解析式和直线AB所对应的一次函数的解析式.(2)在x轴上是否存在一点P,使△ABP周长的值最小?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.

【详解答案】基础夯实1.A2.C解析:如图,作点A关于BC对称的点A',作点A关于DE对称的点A'',则A''E=AE,A'B=AB,连接A'A'',分别交线段BC和线段DE于点M和点N,连接AM,AN,这时候△AMN的周长取最小值.∵∠B=∠E=90°,∴A'M=AM,AN=A''N,∴∠AA'M=∠A'AM,∠AA''N=∠A''AN,∴∠AMN=2∠A'AM,∠ANM=2∠A''AN,∵∠MAN+∠MAB+∠NAE=α,∠MAN+∠AMN+∠ANM=180°,∴∠MAN+2∠BAM+2∠EAN=180°,∴∠BAM+∠EAN=180°-α,∴∠MAN=α-(180°-α)=2α-180°.故选C.3.A解析:连接CC',如图所示.∵△ABC、△A'BC'均为等边三角形,∴∠ABC=∠A'=60°,A'B=BC=A'C',∴A'C'∥BC,∴四边形A'BCC'为菱形,∴点C关于BC'对称的点是A',∴当点D与点B重合时,AD+CD取最小值,最小值为AA'的长.∵AA'=AB+A'B=2+2=4,∴AD+CD的最小值为4.故选A.4.210-1解析:如图,连接BM,将BM以点B为中心逆时针旋转90°,点M的对应点为点E.∵点P的运动轨迹是以点M为圆心,1为半径的半圆,∴点Q的运动轨迹是以点E为圆心,1为半径的半圆.当M,Q,E三点共线时,MQ的值最小.∵四边形ABCD是正方形,∴CD=AB=BC=4,∠C=90°.∵M是CD的中点,∴CM=2.∴BM=CM2+BC2=22+42=25.由旋转,得BM=BE,∠MBE=90°.∴ME=2BM=210.∴MQ=ME5.27解析:如图,作点F关于AC的对称点F',连接EF'交AC于点P',过点F'作AD的垂线段,交AC于点K.由题意,得此时点F'落在AD上,且根据对称的性质,当点P与点P'重合时,PE+PF取得最小值.设正方形ABCD的边长为a,则AF'=AF=23a.∵四边形ABCD是正方形,∴∠F'AK=45°,∠P'AE=45°,AC=2a.∵F'K⊥AF',∴∠F'AK=∠F'KA=45°.∴∠F'KP'=∠EAP'=45°.∴AK=223a.∵∠F'P'K=∠EP'A,∴△F'KP'∽△EAP'.∴F'KEA=KP'AP'=2.∴AP'=13AK=292a.∴CP'=AC-6.213-2解析:如图,作△ABC的外接圆,圆心为点M,连接AM,BM,CM,过点M作MD⊥AB于点D,过点B作BN⊥AB,交BP的垂直平分线于点N,连接AN,BN,PN,以点N为圆心,BN(PN)的长为半径作圆.∵∠ACB=60°,点M为△ABC的外接圆的圆心,∴∠AMB=2∠ACB=120°,AM=BM.∴∠MAB=∠MBA=180°-∠AMB2=30°.∴MD=12AM.∵MD⊥AB,∴AD=12AB=23.在Rt△ADM中,∵AM2=MD2+AD2,∴AM2=12AM2+∴AM=4,即AM=BM=CM=4.由作图可知BN⊥AB,点N在BP的垂直平分线上,∴∠PBN=∠BPN=90°-∠ABC.∴∠PNB=180°-(∠PBN+∠BPN)=2∠ABC.又∵点M为△ABC的外接圆的圆心,∴∠AMC=2∠ABC.∴∠AMC=∠PNB.∵CMPN=AMBN,∴△AMC∽△PNB.∴CMBN=ACPB.∵BP=12AC,∴CMBN=ACPB=2,即BN=12CM=2.∴PN=BN=2.在Rt△ABN中,AN=AB2+7.解:(1)证明:∵四边形CDEF是正方形,∴CF=CD,∠FCD=∠ACB=90°,∴∠ACF=∠BCD,∵AC=BC,∴△FCA≌△DCB(SAS).(2)如图,取AC的中点M,连接DM,BM.∵CD=2,CA=2,CM=1,∴CD2=CM·CA,∴CDCA∵∠DCM=∠ACD,∴△DCM∽△ACD,∴DMAD∴DM=22AD∴BD+22AD=BD+DM≥BM∴BD+22AD的最小值为BM∵BM=CB∴BD+22AD的最小值为5能力提升1.22+210解析:如图,点P即为所求.∵A(2,4),C(4,2),C'(4,-2),∴AC=22+22=22,AC'=∴△PAC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+AP+PC'=AC+AC'=22+210.2.解:(1)点M,N距离的最大值为3,最小值为1.(2)如图,连接MC,过点N作NP⊥MC,交MC的延长线于点P.∵△CDE绕顶点C逆时针旋转120°,∴∠BCE=120°.∵∠BCN=∠ECM=45°,∴∠MCN=(∠BCE+∠ECM)-∠BCN=∠BCE=120°.∴∠NCP=180°-∠MCN=60°.∴∠CNP=90°-∠NCP=30°.∴CP=12CN=1在Rt△CNP中,NP=NC2-在Rt△MNP中,MP=MC+CP=1+1=2,∴MN=NP3.解:(1)如图1,过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作BD⊥x轴于点D,则∠AEC=∠CDB=90°.图1∵点C(3,0),B(6,m),∴OC=3,OD=6,BD=m.∴CD=OD-OC=3.∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠ACB=90°,AC=BC.∵∠ACE+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°,∴∠ACE=∠CBD.∴△ACE≌△CBD(AAS).∴AE=CD=3,CE=BD=m.∴OE=OC-EC=3-m.∴点A的坐标是(3-m,3).∵点A,B(6,m)恰好落在反比例函数y=kx∴3(3-m)=6m.解得m=1.∴点A的坐标是(2,3),点B的坐标是(6,1).∴k=6m=6.∴反比例函数的解析式是y=6x设直线AB所对应的一次函数的解析式为y=px+q.把点A(2,3),B(6,1)代入,得2p+∴直线AB所对应的一次函数的解析式为y=-12x+4图2(2)存在.如图2,延长AE至点A',使得EA'=EA,连接A'B交x轴于点P,连接AP.∴点A与点A'关于x轴对称.∴AP=A'P,点A'(2,-3).∵AP+PB=A'P+PB=A'B,∴AP+PB的最小值是A'B的长度.∵AB=(2-6)2∴