第七单元 解决问题的策略（教师版）-2022-2023学年五年级数学下册单元复习讲义（苏教版）

苏教版数学五年级下册第七单元解决问题的策略知识点01：用转化法解决求复杂图形周长和面积的问题把复杂的图形通过切割、拼接、平移、旋转等方法转化成简单规则的图形。知识点02：用转化法解决特殊的计算问题借助数形结合从不同的角度灵活地分析问题，使复杂的计算简单化。知识点03：转化的策略把数学问题转化为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使原问题得以解决的一种策略。应用转化的策略能够使问题化繁为简，化未知为已知。考点01：“式”的规律【典例分析01】下面是亮亮写的一则日记。2022年8月13日星期六晴今天，我和爸爸聊到了回文数。我告诉爸爸，像1056501这样的数就是回文数。爸爸说：“不止有回文数，还有回文算式呢!”他写出四个两位数和三位数相乘的回文算式让我观察。13×341﹣143×3134×473＝374×4362×286＝682×2636×693＝396×63爸爸还出了三道题，让我按照上面回文算式的规律填一填。（1）12×231＝□□□×□□（2）23×□□□＝253×□□（3）□□×275＝572×□□我很快做出了第一题和第二题。做第三题时，我以为填任意一个两位数都可以，就随意写了一个，但后来算了一下发现不行，这是怎么回事呢？我要好好研究研究。认真阅读亮亮的日记，观察前四个回文算式，然后按规律把后三个回文算式写完整（每个□里只填一个数字），并把思考过程写在下面。【分析】观察可得，回文算式等号左边的第一个乘数的个位上的数字与十位上的数字相加的和是第二个乘数的十位上的数字，第二个乘数的个位上的数字与百位上的数字是第一个乘数十位上和个位上的数字。等号右边的三位数的百位、十位、个位上的数字分别是左边三位数从右往左的数字，两位数的数字是左边两位数字的个位与十位的交换。【解答】解：（1）12×231＝□□□×□□等号左边第一个乘数是12，1+2＝3，第二个乘数就是231；右边第一个乘数是231的倒写132，两位数是12的倒写21。12×231＝132×21（2）23×□□□＝253×□□2+3＝5，等号左边的三位数就是352；等号右边的三位数是253，两位数是32。23×352＝253×32（3）□□×275＝572×□□等号左边三位数是275，两位数就是52；等号右边的三位数是275的倒写572，两位数是52的倒写25。52×275＝572×25【点评】仔细观察，比较总结规律是解决本题的关键。【变式训练01】根据规律写出答案。1×1＝111×11＝121111×111＝123211111×1111＝123432111111×11111＝1234543211111111×1111111＝1234567654321【分析】1×1＝111×11＝121111×111＝123211111×1111＝1234321因数各个位上的数字都是1，当因数是n位数时，积各个位上数字是由1排到n，再由n排到1，即：123……n……321。此题要注意小数点的位置。【解答】解：1×1＝111×11＝121111×111＝123211111×1111＝123432111111×11111＝1234543211111111×1111111＝1234567654321故答案为：123454321，1234567654321。【点评】主要考查了“式”的规律，同时考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律。【变式训练02】已知1÷A＝0.0909…；2÷A＝0.1818…；3÷A＝0.2727…；4÷A＝0.3636…；那么9÷A的商是0.8181…．【分析】算式的规律是：都和第一个算式比较，除数不变，被除数分别扩大2、3、4、5倍，那么循环节09也分别扩大2、3、4、5倍，据此直接写出的数即可．【解答】解：1÷A＝0.0909…；2÷A＝0.1818…；3÷A＝0.2727…；4÷A＝0.3636…；那么：9÷A＝0.8181…故答案为：0.8181…．【点评】“式”的规律：关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律，然后再利用这个变化规律再回到问题中去解决问题．【变式训练03】找规律填一填。（1）（2）1×3+1＝2×4+1＝3×5+1＝4×6+1＝2×2＝3×3＝4×4＝5×5＝【分析】（1）根据图示，按照一个比一个少7的规律解答即可；（2）第一行的第一个因数依次多1，第二个因数也是依次多1，据此解答即可；第二行，两个因数相同，并且因数依次加1，据此解答即可。【解答】解：（1）解答如下：（2）1×3+1＝42×4+1＝93×5+1＝164×6+1＝252×2＝43×3＝94×4＝165×5＝25故答案为：6；4；5；5。【点评】本题考查了找规律解决问题知识，结合题意分析解答即可。考点02：组合图形的面积【典例分析02】王大爷家有一块梯形菜地，菜地中有一条小河通道（如下图）。如果菜地每平方米每年能收入2.5元，那么，这块菜地每年可给王大爷带来多少元的收入？【分析】由图可知，菜地的面积等于上底28米、下底32米、高12米的梯形面积减去底3米、高12米的平行四边形的面积，根据梯形面积公式S＝（a+b）h÷2和平行四边形面积公式S＝ah计算出菜地的面积后再乘2.5即可。【解答】解：（32+28）×12÷2﹣3×12＝360﹣36＝324（平方米）324×2.5＝810（元）答：这块菜地每年可给王大爷带来810元的收入。【点评】解答本题需准确分析组合图形的组成，熟练掌握梯形和平行四边形面积公式。【变式训练01】求下图的面积。【分析】由图可知，组合图形由一个底15、高12的三角形和一个上底13、下底21、高15的梯形组成，根据三角形面积公式S＝ah÷2和梯形面积公式S＝（a+b）h÷2计算即可。【解答】解：15×12÷2+（13+21）×15÷2＝90+255＝345答：组合图形的面积是345。【点评】解答本题需明确组合图形的组成，熟练掌握三角形和梯形的面积公式。【变式训练02】中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。下图中外面正方形的面积是36dm2，你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？【分析】先用36平方分米除以4，求出右图中每个小正方形的面积，也就求出了圆半径的平方；再用正方形的面积减去圆面积即可。【解答】解：36÷4＝9（平方分米）36﹣3.14×9＝36﹣28.26＝7.74（平方分米）答：正方形和圆之间部分的面积是7.74平方分米。【点评】解答本题的关键是分析出每个小正方形的面积等于圆半径的平方。【变式训练03】（1）求阴影部分的面积。（单位：分米）（2）如图，A点是中点，B点是三等分点，已知大三角形的面积是60平方厘米，求阴影三角形的面积。【分析】（1）阴影部分的面积等于梯形面积减去空白的三角形面积，据此解答即可；（2）根据题意，如图：A点是中点，已知大三角形的面积是60平方厘米，所以三角形ACD的面积是大三角形面积的一半，是60÷2＝30（平方厘米），又因为B点是三等分点，结合图示可知，阴影三角形的面积是三角形ACD面积的。据此解答即可。【解答】解：（1）（8+16）×6÷2﹣8×6÷2＝72﹣24＝48（平方分米）答：阴影部分的面积48平方分米。（2）如图：因为A点是中点，大三角形的面积是60平方厘米，所以三角形ACD的面积是大三角形面积的一半，是60÷2＝30（平方厘米）；又因为B点是三等分点，结合图示可知，阴影三角形的面积是三角形ACD面积的。30×＝10（平方厘米）答：阴影部分的面积是10平方厘米。【点评】本题考查了组合图形面积计算知识，结合题意分析解答即可。一．选择题（共5小题）1．已知：123456789×9＝1111111101，123456789×18＝2222222202，123456789×27＝3333333303，下列的选项哪个是错误的？（）A．123456789×36＝4444444404 B．123456789×45＝6666666606 C．123456789×63＝7777777707【分析】前三个算式第一个因数不变，第二个因数扩大多少倍，积就扩大多少倍。按照这样的规律直接判断得数即可。【解答】解：123456789×45＝5555555505所以B选项是错误的。故选：B。【点评】“式”的规律：关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律，然后再利用这个变化规律再回到问题中去解决问题。2．观察以下算式：1×8+1＝9，12×8+2＝98，123×8+3＝987，推测123456×8+6＝（）A．9876 B．98765 C．987654 D．9876543【分析】通过算式得出规律，从1开始的几个连续自然数组成的几位数乘8加几，加的这个数从1开始依次递增1，结果是从9递减1的几个连续自然数组成的几位数，得数的位数和第一个因数的位数相同；依照此规律解答即可。【解答】解：1×8+1＝912×8+2＝98123×8+3＝987123456×8+6＝987654故选：C。【点评】认真观察，找到规律是解决此题的关键。3．1×9+2＝1112×9+3＝111……123456×9+7＝（）A．1111111 B．111111 C．11111 D．1111【分析】1×9+2＝11，12×9+3＝111，……，不难发现规律，故可猜测：（12……n）×9+（n+1）＝111……1（n+1个）。据此解答即可。【解答】解：1×9+2＝1112×9+3＝111……不难发现规律，故可猜测：（12……n）×9+（n+1）＝111……1（n+1个）所以：123456×9+7＝1111111故选：A。【点评】解答此类问题，首先应仔细观察给出的特例，从中寻找规律，根据规律解答。4．将等腰三角形ABC沿虚线对折，折下来的部分恰好拼成了一个长方形（如图）。已知三角形ABC的底是6cm，高是4cm，图中涂色部分的面积是（）cm2。A．24 B．12 C．6 D．3【分析】将等腰三角形ABC沿虚线对折，折下来的部分恰好拼成了一个长方形，这个长方形的长等于三角形ABC底的一半，宽等于三角形ABC高的一半，所以，长方形的面积等于三角形ABC面积的一半；图中涂色部分的面积等于长方形内两个小三角形的面积和；长方形内两个小三角形的面积和等于长方形的一半，所以，图中涂色部分的面积是长方形面积的一半，也就是三角形ABC的面积的，据此解答。【解答】解：6×4÷2×＝12×＝3（cm2）答：图中涂色部分的面积是3cm2。故选：D。【点评】本题主要考查了三角形的面积是与等底等高的长方形的面积的一半。5．如图是少先队中队旗。下面四个选项是计算中队旗面积的不同方法。图（）的方法与算式“80×60﹣60×20÷2”相对应。A． B． C． D．【分析】由图可知，算式“80×60﹣60×20÷2”表示的是长80厘米、宽60厘米的长方形的面积减去底60厘米、高20厘米的三角形的面积，据此解答即可。【解答】解：算式“80×60﹣60×20÷2”表示的是长80厘米、宽60厘米的长方形的面积减去底60厘米、高20厘米的三角形的面积。选项B符合题意。故选：B。【点评】本题主要考查了组合图形面积的灵活应用。二．填空题（共5小题）6．如图，有一块正方形的草坪，周边用边长为6分米的方砖铺了一条宽15分米的小路（如图阴影部分），共用方砖300块．则小路所围草坪的面积是27225平方分米．【分析】根据题意，可将阴影部分分为两部分，如下图，A、B、C、D部分都是以边长15分米的正方形，面积E＝面积F＝面积G＝面积H，那么阴影部分的面积等于所有方砖的面积，根据阴影部分的面积等于所有方砖的面积，可计算出E部分的面积，再根据图形E的宽是15分米，可计算出图形E的长，也就是正方形草坪的长，然后再根据正方形的面积即可得到答案．【解答】解：图形A、B、C、D的面积相等，图形E、F、G、H的面积相等，设图形E的面积为x，阴影部分的面积就为：15×15×4+4x＝6×6×300900+4x＝10800，4x＝10800﹣900，4x＝9900，x＝2475，图形ED的长为：2475÷15＝165（分米），正方形草坪的面积为：165×165＝27225（平方分米），故答案为：27225．【点评】解答此题的关键是根据阴影部分的面积等于所有方砖的面积，然后再将图形进行分割，计算出图形E部分的边长，利用正方形的面积公式进行计算即可．7．给儿童活动场地涂色分区，如图。场地是边长8米的等边三角形，以顶点为圆心，以边长的一半为半径画弧，扇形区域涂蓝色（阴影部分），中间涂白色（空白部分），则中间白色部分的周长是12.56米。【分析】已知等边三角形边长为8米，圆的半径是8÷2＝4（米），三角形的内角和是180度，所以三个扇形的周长相当于半圆的周长，中间白色部分的周长等于半圆的周长，根据圆的周长计算公式解答即可。【解答】解：8÷2＝4（米）3.14×4×2÷2＝12.56×2÷2＝12.56（米）答：中间白色部分的周长是12.56米。故答案为：12.56。【点评】本题主要考查了圆的周长的灵活应用。8．如图的小花瓶中，1个小正方形的面积是1平方厘米，那么整个花瓶的面积是5平方厘米．【分析】根据利用数方格计算图形面积的方法，不满格的按半格计算，整格有3个，半格有4个，据此解答．【解答】解：3+0.5×4＝3+2＝5（平方厘米）答：整个花瓶的面积是5平方厘米．故答案为：5．【点评】此题考查的目的是理解掌握利用数方格计算图形面积的方法及应用．不满格的按半格计算．9．计算，并根据算式的特点继续往下写一道在横线上，并写出得数。11×9+2＝10112×9+3＝11113×9+4＝121【分析】观察算式可得规律：算式每次增加9+1＝10；据此解答即可。【解答】解：11×9+2＝10112×9+3＝11113×9+4＝121故答案为：111，121。【点评】解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题。10．根据规律填空。1+3＝4＝22，1+3+5＝9＝321+3+5+7＝16＝421+3+5+7+9+11+13＝49＝72【分析】分析这些等式可知：1+3＝4＝22，1+3+5＝9＝32，1+3+5+7＝16＝42，这些等式的最左边是连续的奇数相加，最右边是左边奇数个数的平方，即：1+3+5+7+……+（2n﹣1）＝n2，由此求解即可。【解答】解：1+3＝4＝221+3+5＝9＝321+3+5+7＝16＝421+3+5+7+9+11+13＝49＝72故答案为：16，42；49，72。【点评】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，找到变化的规律进而求解。三．判断题（共5小题）11．根据几个乘法算式找出的得数的规律，适用于所有具有同一特征算式的结果．√．【分析】根据几个乘法算式找出的得数的规律，适用于所有具有同一特征算式的结果．如1×9＝9、12×9＝108、123×9＝1107…如果第一个因数是1、12、123、1234…第二个因数都是9，其积所有数位的数字之和等于9，个位分别是9、8、7、6…十位都是0，其余数位上都是1．【解答】解：如1×9＝912×9＝108123×9＝1107…根据几个乘法算式找出的得数的规律，适用于所有具有同一特征算式的结果，这种说法正确．故答案为：√．【点评】只要几个乘法算式变化有一定的规律，其积也有一定规律．根据找出的规律可以写出符合这一规律所有算式的积．12．同底同高的两个三角形，形状不一定相同，但它们的面积一定相等．√．【分析】根据三角形的面积公式：面积＝底×高÷2可知：面积相等，形状不一定相同，据此解答即可．【解答】解：因为三角形的面积＝底×高÷2，所以只要是等底等高的三角形，不管形状如何，面积一定相等．故答案为：√．【点评】本题主要是灵活利用三角形的面积公式：三角形面积＝底×高÷2解决问题．13．根据3×4＝12，33×34＝1122，333×334＝111222，3333×3334＝11112222，可以推算出33333×33334＝1111122222。√【分析】当因数是3和4时，它们的积是12，当因数是33、34时，积是1122，当因数是333，334时积是111222，它们的规律是当在每个因数的前面添上一个3时，它的积的前面就添一个1，后面就要添一个2。也就是因数有3的个数与积中1的个数和2的个数相同；据此解答。【解答】解：根据3×4＝12，33×34＝1122，333×334＝111222，3333×3334＝11112222，可以推算出33333×33334＝1111122222。说法正确。故答案为：√。【点评】本题的关键是找出题目中的规律再进行解答。14．如图，长方形ABCD，图中甲与乙两部分的面积相等。√（判断对错【分析】BD是长方形的对角线，把长方形ABCD平均分成了两份，再根据两个空白长方形的对角线也在BD上进一步解答即可。【解答】解：BD是长方形的对角线，所以三角形ABD与三角形BCD面积相等，又因为两个空白长方形的对角线也在BD上，两边的空白三角形的面积相等，所以图中甲与乙两部分的面积相等，因此原题说法正确。故答案为：√。【点评】解答本题关键是明确图形的特征。15．如图中正方形的面积是6.25cm2，则这个圆的面积是19.625cm2。√【分析】设圆的半径为rcm，则正方形的边长为rcm，根据正方形的面积S＝a×a，所以r×r＝6.25，即r2＝6.25，再根据圆的面积公式S＝πr2即可求出圆的面积，然后再进一步解答。【解答】解：设圆的半径为rcm，则正方形的边长为rcm；正方形的面积是6.25cm2，所以，r2＝6.25所以圆的面积是：3.14×6.25＝19.625（cm2）因此，原题说法正确。故答案为：√。【点评】解答此题的关键是根据题意与正方形的面积公式，求出半径的平方，再整体代入圆的面积公式即可。四．应用题（共5小题）16．幸福小区有一块平行四边形空地，小区居民计划把它建成一块公共绿地。为方便居民，业主委员会在这块空地上设计了一条长10米、宽2米的长方形小路（如图所示）。绿地的面积有多大？【分析】根据题意，观察图可知，绿地的面积＝底为（30﹣2）米、高为10米的平行四边形的面积，然后再根据平行四边形的面积公式S＝ah进行解答。【解答】解：（30﹣2）×10＝28×10＝280（平方米）答：绿地的面积是320平方米。【点评】考查了平行四边形的面积公式的运用。17．某小区要在空地上（如图中的阴影部分）铺满草坪。如果铺1m2草坪的价格是13元，那么铺草坪需要多少元？【分析】阴影部分的面积等于梯形的面积减去平行四边形的面积，再用阴影部分的面积乘13即可解题。【解答】解：（6+9+7+9+8）×16÷2＝39×16÷2＝312（平方米）16×9＝144（平方米）312﹣144＝168（平方米）168×13＝2184（元）答：铺草坪需要2184元。【点评】本题的关键是求出草坪的面积，草坪面积＝梯形面积﹣平行四边形的面积。18．自学下面这段材料，然后回答问题。我们知道，在整数中“两个数的和等于这两个数的积”的情形并不多，例如：2+2＝2×2。但是在分数中，这种现象却很普遍。请观察下面的几个例子：因为：+＝4，×＝4，所以+＝×。因为：+＝5，×＝5，所以+＝×。根据以上结果，我们发现了这样的一个规律：两个分数，如果它们的分子相同，并且两个分母的和等于分子，那么这两个分数的和等于它们的积。例如：+＝×。【分析】（1）根据所给例子，我们发现了这样一个规律，两个分数，分子相同，并且两个分数的分母的和等于分子，两个分数的和等于它们的积。（2）根据找出的规律，写出符合规律的算式即可。【解答】解：（1）根据以上结果，我们发现了这样一个规律，两个分数，如果分子相同，并且两个分母的和等于分子，那么这两个分数的和等于它们的积。（2）根据规律写出算式为：。故答案为：分子；两个分母的和等于分子；；；；。【点评】解决本题的关键是根据所给例子，我们发现了这样一个规律，两个分数，分子相同，并且两个分数的分母的和等于分子，两个数的和等于它们的积，再利用规律写算式即可。19．在计算一个数与15相乘时，有一种简便的算法﹣﹣“加半添0”法．例如，计算24×15，先用24的一半（即12）与24相加，得36；再在36的末尾添一个0，得360．你能用这种方法计算下面各题吗？26×1528×1532×1548×15【分析】根据巧算的方法：“加半添0”法解答即可．【解答】解：26÷2+26＝39所以26×15＝39028÷2+28＝42所以28×15＝42032÷2+32＝48所以32×15＝48048÷2+48＝72所以48×15＝720【点评】解答此题的关键是找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题．20．如图，已知直角梯形ABCD面积是40cm2，ACFE是长方形，已知BC＝10cm，CD＝5cm，求阴影部分的面积。【分析】根据梯形的面积公式S＝（a+b）h÷2，用梯形的面积×2÷高﹣下底，可以求出梯形的上底，也就是AD的长度；在长方形ACEF中，三角形ACD与长方形ACEF是等底等高的，所以，三角形ACD的面积是长方形ACEF面积是一半，所以，阴影部分的面积与三角形ACD的面积相等，求出三角形ACD的面积，也就是阴影部分的面积。【解答】解：40×2÷5﹣10＝16﹣10＝6（cm）6×5÷2＝15（cm2）答：阴影部分的面积是15cm2。【点评】本题关键是明确三角形的面积是与它等底等高的长方形的面积的一半。一．选择题（共5小题）1．如图，阴影部分的面积（）空白部分的面积。A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定【分析】图中空白三角形的底是长方形的长，高等于长方形的宽，所以空白三角形的面积等于长方形面积的一半；可知阴影部分的面积也等于长方形面积的一半，与空白三角形的面积相等。【解答】解：空白三角形的底是长方形的长，高等于长方形的宽，所以空白三角形的面积等于阴影部分的面积，都等于长方形面积的一半。故选：B。【点评】解答本题的关键分析出空白三角形的面积等于长方形面积的一半。2．仔细观察下面几个算式的规律，12345.679×54的得数应是（）（1）12345.679×9＝111111.111（2）12345.679×18＝222222.222（3）12345.679×27＝333333.333A．444444.444 B．555555.555 C．666666.666 D．777777.777【分析】已知12345.679×9＝111111.111，12345.679×18＝222222.222，12345.679×27＝333333.333，可得规律：①这几个算式的积都是整数部分是六位，小数部分是三位，且各个数位上的数字完全相同；②因数12345.679不变，除了第一个算式中另一个因数的数字是9，积是111111.111之外，剩下的算式中，另一个因数的两个数字之和都是9，它们的积中的数字都是第二个因数的最高数位上的数字加1，据此即可解答问题。【解答】解：根据题干分析可得：12345.679×9＝111111.11112345.679×18＝222222.22212345.679×27＝333333.333则12345.679×54＝666666.666故选：C。【点评】此题考查乘法中的计算规律，利用数字特点，发现计算的规律，利用规律解决问题。3．根据规律填出得数：3×4＝123.3×3.4＝11.223.33×33.4＝111.2223.333×333.4＝（）。A．1112.1222 B．1111.1222 C．1111.2222 D．1112.2222【分析】观察3个算式得出在3×4＝12时，在因数3的小数部分每多加一位，并且此位上的数是3，那么得数的整数部分就多加一位，并且此位数上的是1；在因数4的左边加上小数点后，在整数部分每增加一位，此位上的数字是3，那么得数的小数部分就增加一位，此位数上的数字是2，由此规律，即可写出要求的式子的值。【解答】解：3×4＝123.3×3.4＝11.223.33×33.4＝111.2223.333×333.4＝1111.2222故选：C。【点评】解答此题的关键是根据所给出式子的特点，找出规律，再根据规律解决问题。4．根据规律算一算：2+4＝2×32+4+6＝3×42+4+6+8＝4×5……2+4+6+……+20＝（）A．7×8 B．8×9 C．9×10 D．10×11【分析】首先观察并发现规律，然后结合规律写出最终结果，选出答案即可。结合2+4＝2×3，2+4+6＝3×4，2+4+6+8＝4×5发现规律：有几个数相加，则结果的第一个乘数就为几，第二个乘数为几加一；2+4+6+……+20一共有10个数相加，则结果为10×（10+1）＝10×11。【解答】解：2+4＝2×3，2+4+6＝3×4，2+4+6+8＝4×5……2+4+6+……+20＝10×（10+1）＝10×11故选：D。【点评】本题考查式中的规律。找到共同特征解决问题即可。5．如图，甲、乙、丙三位同学用相同的正方形卡纸剪图形，甲剪了一个最大的扇形，乙剪了一个最大的圆，丙剪了四个最大的圆，三个人剩下的卡纸（）A．甲最多 B．乙最多 C．丙最多 D．一样多【分析】要比较三位同学剩下的手工纸面积，可先比较三个人用去的手工纸面积，据此判断剩下面积的大小。【解答】解：设正方形边长为4。甲用去的面积：π×42×＝4π乙用去的面积：π×（4÷2）2＝4π丙用去的面积：π（4÷2÷2）2×4＝4π甲用去的面积＝乙用去的面积＝丙用去的面积，所以三个人剩下的手工纸一样多。故选：D。【点评】熟练掌握圆和扇形的面积公式是解答本题的关键。二．填空题（共5小题）6．如图，甲、乙两个图形都是正方形（单位：cm），甲图形的面积是x2cm2，甲乙组合图形的周长是（4x+2y）cm。【分析】甲图是一个边长为x厘米的正方形，根据正方形面积公式S＝a2计算出面积即可；甲乙组合图形的周长可以看作甲正方形的周长加上乙正方形的两条边长，据此计算出组合图形的周长即可。【解答】解：x×x＝x2（平方厘米）x×4+y×2＝（4x+2y）（厘米）答：甲图形的面积是x2平方厘米，甲乙组合图形的周长是（4x+2y）厘米。故答案为：x2，（4x+2y）。【点评】本题主要考查用字母表示数以及正方形的面积和组合图形周长的计算，需熟练掌握正方形面积和周长公式并灵活运用。7．图中阴影部分的周长是16.56厘米，面积是4平方厘米（π取3.14）。【分析】由题意可知，阴影部分的周长是以2厘米为半径的圆周长的一半，再加上4厘米；根据平移的知识可知，阴影部分的面积等于正方形的面积。【解答】解：3.14×22+4＝12.56+4＝16.56（厘米）2×2＝4（平方厘米）答：阴影部分的周长是16.56厘米，面积是4平方厘米。故答案为：16.56；4。【点评】此题主要依据旋转、平移的方法，然后利用规则图形的面积和或差进行求解。8．如图的正方形的周长是64厘米，中间有一个长方形，长方形的四个顶点恰好把正方形每边分作两段，其中长的那段长度是短的那段长度的三倍．长方形的面积是96平方厘米．【分析】根据题意，可知正方形的边长为16厘米，其中长的那段长度是短的那段长度的三倍，即把正方形的边长平均分为4部分，每一部分的长为4，那么正方形的边长短的长度为4厘米，长的长度为12厘米，那么正方形就分成了以4厘米为腰的等腰三角形、以12厘米为腰的等腰三角形和长方形，长方形的面积就等于正方形的面积减去2个以4厘米为腰的等腰三角形再减去2个以12厘米为腰的等腰三角形即可，列式解答即可得到答案．【解答】解：正方形的边长为64÷4＝16（厘米），长方形的四个顶点恰好把正方形每边分作两段，长的那段长度是短的那段长度的三倍，则：1+3＝4，每段长为：16÷4＝4（厘米），短的那段长度为：4厘米，长的那段为：4×3＝12（厘米），以4厘米为腰的等腰三角形的面积为：4×4÷2＝8（平方厘米），以12厘米为腰的等腰三角形的面积为：12×12÷2＝72（平方厘米），长方形的面积为：16×16﹣2×8﹣2×72＝256﹣16﹣144，＝240﹣144，＝96（平方厘米），答：长方形的面积是96平方厘米．故答案为：96．【点评】解答此题的关键是先求4个三角形的面积，然后再用正方形的面积减去4个三角形的面积即是长方形的面积．9．观察下面的算式：5×9＝4555×99＝5445555×999＝5544455555×9999＝55544445…则555555×999999＝555554444445．【分析】通过仔细观察，得出规律：n个5×n个9＝（n﹣1）个5，n个4，最后是一个5．因此，当n＝6时，据此规律，很快就可写出．【解答】解：555555×999999＝555554444445；故答案为：555554444445．【点评】此题属于找规律的题目，解答这类问题，应仔细观察给出的例子，找出规律，据规律解答．10．已知3×4＝12，3.3×3.4＝11.22，3.33×33.4＝111.222，3.333×333.4＝1111.2222，则3.3333×3333.4＝11111.22222。【分析】积的规律是：积的各位数字是由1和2组成，小数点前面是1小数点后面是2；因数的位数都相同，积中1和2的个数等于其中一个因数的位数；然后据此规律解答即可。【解答】解：根据分析可得：3.3333×3333.4＝11111.22222。故答案为：11111.22222。【点评】本题关键是找到积的规律和积与因数的位数的关系，然后再利用这个规律去解答问题。三．判断题（共5小题）11．在1+3+5+7+9+…中，从“1”到数“13”的和是49．√．【分析】在1+3+5+7+9+…中首先求出“13”是第几项（由于项数比较少，可能用数的方法），由于相邻两数的差是1，所以项数等于（末项﹣首项）÷2+1，据即可求13是第几项；前n项和的计算公式是（末项+首项）×，根据公式可求出前13项的和，根据计算结果进行判断．【解答】解：在1+3+5+7+9+…中，从“1”到数“13”的项数为：（13﹣1）÷2+1＝12÷2+1＝6+1＝7前6项的和为：（13+1）×＝14×3.5＝49因此，在1+3+5+7+9+…中，从“1”到数“13”的和是49，原题的说法是正确的．故答案为：√．【点评】此题项数较少，写出所有项，通过计算即可得到正确的结果．如果项数较多，只能先总结出求项数、前n项和公式解答．12．一串珠子按三颗白珠一颗红珠的规律串成，第25颗是红色的．×．【分析】珠子周期性的排列规律是：把“3颗白珠1颗红珠”4个珠子看成一组，求出25里面有多少个这样的一组，还余几，再根据余数推算．【解答】解：1+3＝4（个）；25÷4＝6（组）…1（个）；余数是1，第25个就和第1个的颜色相同，是白色．答：第25颗是白色的．故答案为：×．【点评】解决这类问题往往是把重复出现的部分看成一组，先找出排列的周期性规律，再根据规律求解．13．如图，梯形中两个涂色三角形甲、乙面积是相等的。√【分析】由图可知，甲乙两个三角形分别加上顶部的空白三角形后组成两个新的三角形，由于这两个新三角形是等底等高的，面积相等，所以甲乙两个三角形的面积是相等的；据此即可判断。【解答】解：甲乙两个三角形分别加上顶部的空白三角形后组成两个新的三角形，这两个新三角形是等底等高，面积相等，空白部分是公共部分，所以甲、乙两个三角形的面积相等；故原题说法正确。故答案为：√。【点评】此类题目可借助“等底等高的三角形面积相等”来解答。14．周长相等的圆和正方形，它们的面积也相等。×判断对错）【分析】设圆和正方形的周长是C，则正方形的边长是C÷4，圆的半径是C÷2π；根据它们的面积公式求出它们的面积，进行比较即可判断。【解答】解：设圆和正方形周长是C，则正方形的边长是，圆的半径是，则圆的面积为：（）2×π＝正方形的面积为：（）2＝所以圆的面积大。故答案为：×。【点评】此题主要考查周长相等的正方形和圆，圆的面积比正方形的面积大。15．移动三角形后阴影部分面积大小不变。√【分析】通过平移的方法，把阴影部分左边的三角形移动到右边，虽然形状变了，但是面积不变。据此判断。【解答】解：把阴影部分左边的三角形移动到右边，虽然形状变了，但是面积不变。因此通过中的结论是正确的。故答案为：√。【点评】此题考查的目的是理解掌握长方形面积的意义及应用，平移方法及应用。四．应用题（共5小题）16．如图，一枚古钱币的直径为20mm，中间正方形孔的边长为6mm，这枚古钱币的面积是多少？【分析】用圆的面积减去正方形面积即可。利用圆的面积公式：S＝πr2，正方形面积公式：S＝a2，计算即可。【解答】解：3.14×（20÷2）2﹣6×6＝314﹣36＝278（平方毫米）答：这枚古钱币的面积是278平方毫米。【点评】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可。17．小明在学习分数除注时做了下面的3道计算题，小明发现：“一个数（0除外）除以一个分数，所得的商一定大于它本身”．①如果让你继续研究分数除法，你还想研究什么问题，请在下面写出来．②请对你提出的问题进行研究，看看能得出什么结论？【分析】①观察给出的算式中除数都是真分数，都小于1，所以得到的商都是大于被除数；所以可以找一些除数是大于1的分数，再进行计算；②根据①的计算结果，得出结论．【解答】解：①问题：除数大于1时，被除数与商的大小关系是怎么样的？6÷＝6×＝44＜6；3.6÷＝3.6×＝2.72.7＜3.6；÷＝×＝＜．②根据①可得：一个数（0除外）除以一个大于1的数，商小于这个数．【点评】两个不为0的数相除，当除数大于1时，商小于被除数；当除数等于1时，商等于被除数；当除数小于1时，商大于被除数．18．先观察前三题计算结果，再直接写出最后两题的得数。0.1+0.11＝0.210.1+0.11+0.111＝0.3210.1+0.11+0.111+0.1111＝0.43210.1+0.11+0.111+0.1111+…+0.1111111＝0.76543210.1+0.11+0.111+0.1111+…+0.111111111＝0.987654321【分析】通过观察：0.1+0.11＝0.210.1+0.11+0.111＝0.3210.1+0.11+0.111+0.1111＝0.4321得出规律：得数看最后一个加数，如果最后一个加数的小数点后的有n（n≤9）个1，得数的小数点后的数就从n依次从大到小排列到1，据此解答即可。【解答】解：0.1+0.11＝0.210.1+0.11+0.111＝0.3210.1+0.11+0.111+0.1111＝0.43210.1+0.11+0.111+0.1111+…+0.1111111＝0.76543210.1+0.11+0.111+0.1111+…+0.111111111＝0.987654321故答案为：0.7654321；0.987654321。【点评】解决本题的关键是找出规律：得数看最后一个加数，如果最后一个加数的小数点后的有n（n≤9）个1，得数的小数点后的数就从n依次从大到小排列到1。19．在一张直径是10厘米的圆中剪下一个最大的正方形（如图所示），剩下阴影部分的面积是多少平方厘米？【分析】在圆形上剪的最大正方形的对角线，就是圆的直径，并且正方形的对角线互相垂直，所以就把正方形分成了四个小的直角三角形；小的直角三角形的直角边相等都是圆的半径，所以可求出正方形的面积；用圆的面积减去正方形的面积，就是剩下的面积。【解答】解：10÷2＝5（厘米）3.14×52＝78.5（平方厘米）5×5÷2×4＝25÷2×4＝12.5×4＝50（平方厘米）78.5﹣50＝28.5（平方厘米）答：剩下阴影部分的面积是28.5平方厘米。【点评】此题考查圆的面积与正方形的面积公式的实际应用，理解圆中剪出一个最大的正方形，圆的直径是正方形的对角线是关键。20．如图是公园的树池座椅，座椅宽0.8米，这个座椅的面积是多少平方米（π取3）？【分析】根据圆环的面积＝大圆的面积﹣小圆的面积，据此求解即可。【解答】解：3×（2÷2+0.8）2﹣3×（2÷2）2＝3×3.24﹣3＝9.72﹣3＝6.72（平方米）答：这个座椅的面积是6.72平方米。【点评】熟练掌握圆的面积公式是解答此题的关键。一．选择题（共5小题）1．（2022秋•朝阳区期末）仔细观察下面这组算式：1×8+1＝912×8+2＝98123×8+3＝9871234×8+4＝9876根据上面算式中的规律，四位同学又分别写出了一个算式。他们写出的这些算式中，符合上面规律的是（）A．明明和丽丽 B．明明和小军 C．红红和丽丽 D．红红和小军【分析】规律：这些算式都是两个数相乘加上一个数。第一个乘数是由从1开始的连续自然数组成的，第二个乘数都是8，加上的数和第一个乘数的个位数相同，得数是从9开始的连续自然数的倒序，位数与第一个乘数的位数相同。【解答】解：1×8+1＝912×8+2＝98123×8+3＝9871234×8+4＝9876根据以上的规律可得：12345×8+5＝98765123456×8+6＝987654所以，他们写出的这些算式中，符合上面规律的是明明和小军。故答案为：B。【点评】找出已给算式的规律，是解答此题的关键。2．（2022秋•永川区期末）根据前4道题的规律，第5题的括号中应该填（）（1）1÷11＝0.0909……（2）2÷11＝0.1818……（3）3÷11＝0.2727……（4）4÷11＝0.3636……（5）（）÷11＝0.7272……A．5 B．6 C．7 D．8【分析】用心观察商的规律，商都是循环小数，循环节的两位数字的和为9，且循环节的第一个数字依次加1。据此解答。【解答】解：（1）1÷11＝0.0909……（2）2÷11＝0.1818……（3）3÷11＝0.2727……（4）4÷11＝0.3636……（5）8÷11＝0.7272……故选：D。【点评】本题考查“式”的规律，找到循环节的规律是解本题的关键。3．（2022秋•通山县期末）如图，在这个梯形中，两块阴影部分面积的关系是（）A．甲＞乙 B．甲＜乙 C．甲＝乙 D．无法比较【分析】根据等底等高的三角形的面积相等，甲、乙都加上上面空白三角形的面积后等底等高，所以甲乙的面积相等。【解答】解：两块阴影部分面积的关系是相等。故选：C。【点评】本题主要考查组合图形的面积，关键是根据图形的组成解答。4．（2022秋•西塞山区期末）图中每个小方格表示1平方厘米，比较阴影部分的面积，（）图与其他三个图形不相等。A． B． C． D．【分析】根据图分别得出A、B、C、D四个图形的面积，然后进行比较即可。【解答】解：A图形的面积是3平方厘米；B图形的面积是3平方厘米；C图形的面积是2.5平方厘米；D图形的面积是3平方厘米；所以C图形的面积与其它三个不相等。故选：C。【点评】本题考查了面积计算比较知识，求出四个图形的面积，是解答此题的关键。5．（2022春•孟津县期末）由算式142857×1＝142857、142857×2＝285714、142857×3＝428571，可以得出142857×6＝（）A．571428 B．714285 C．857142 D．999999【分析】观察所给出的式子，知道142857与自然数相乘的积是由1、4、2、8、5、7这几个数轮回组成的，当142857×6时，末位上的数是2，2后面的数8、5、7就分别轮到最高位、最高位的下一位，再下一位，由此得出答案。【解答】解：因为142857×6时，末位上的数是2，所以，142857×6＝857142故选：C。【点评】解答本题的关键是，根据所给出的式子，找出规律，即142857与自然数相乘的积是由1、4、2、8、5、7这几个数轮回组成的。二．填空题（共5小题）6．（2022秋•房山区期末）学校有一个长9米、宽4米的长方形花圃（如图）。为了让同学们行走方便，在花圃中间铺了一条小路，把原来的长方形花圃变成了两个正方形花圃。这条小路的宽是1米。【分析】两个正方形花圃的边长是4米，则小路长等于9米减去两个4米。据此解答。【解答】解：9﹣4﹣4＝5﹣4＝1（米）答：这条小路的宽是1米。故答案为：1。【点评】熟练掌握长方形和正方形的特点是解答此题的关键。7．（2022秋•大兴区期末）如图中两个圆的直径分别是8厘米和6厘米，阴影部分的面积是21.98厘米2。【分析】阴影部分的面积等于直径为8厘米的大圆面积减去直径为6厘米的小圆的面积，根据圆的面积＝π×半径的平方计算即可解答。【解答】解：3.14×（8÷2）2﹣3.14×（6÷2）2＝3.14×16﹣3.14×9＝50.24﹣28.26＝21.98（平方厘米）答：阴影部分的面积是21.98平方厘米。故答案为：21.98。【点评】解答此题的关键是根据图，判断出阴影部分的面积是由哪些图形的面积相减所得，由此再根据相应的面积公式解答即可。8．（2022秋•合川区期末）27÷9＝3，207÷9＝23，2007÷9＝223，20007÷9＝2223⋯⋯，按这样的规律，第6个算式是2000007÷9＝222223。【分析】观察可得，后一个算式被除数的中间每增加1个0，商的最高位就增加1个2，被除数的中间有几个0，商里面就有几个2。【解答】解：27÷9＝3，207÷9＝23，2007÷9＝223，20007÷9＝2223⋯⋯，按这样的规律，第6个算式2000007÷9＝222223。故答案为：2000007÷9＝222223。【点评】仔细观察，总结规律是解决本题的关键。9．（2022秋•武汉期末）在一个长方形中有两个大小相同的圆（如图），涂色部分的面积是8m2，则一个圆的面积是25.12m2。【分析】设圆的半径为r，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，求出r2；再根据圆的面积公式：S＝πr2，即可求解。【解答】解：设圆的半径为r。2r×r÷2＝8r2＝83.14×8＝25.12（平方米）答：一个圆的面积是25.12平方米。故答案为：25.12。【点评】本题主要考查了组合图形的面积，解题的关键是把不规则图形转化为规则图形的面积。10．（2022秋•昌黎县期末）仔细观察左面的算式，找出规律，再完成右面的算式。12345679×9＝11111111112345679×36＝44444444412345679×18＝22222222212345679×63＝77777777712345679×27＝33333333312345679×81＝999999999【分析】如果一个因数不变，另一个因数扩大几倍（0除外），积也会随之扩大相同的倍数，第一个因数都是12345679，第二个因数分别是9，9的2倍、9的3倍……其积分别是111111111、222222222、333333333；据此解答即可得到答案。【解答】解：12345679×9＝11111111112345679×36＝44444444412345679×18＝22222222212345679×63＝77777777712345679×27＝33333333312345679×81＝999999999故答案为：444444444；777777777；81。【点评】关键是根据给出的式子与所求式子的关系，找出规律，进而解决问题。三．判断题（共5小题）11．（2019秋•沈阳期末）根据33×4＝132，333×4＝1332，3333×4＝13332，可知33333×4＝133332．√【分析】根据观察知：第2个因数都是4，其结果最高位都是1、最低位都是2、中间都是3，3的个数比第一个因数中3的个数少1，据此解答．【解答】解：33×4＝132，333×4＝1332，3333×4＝13332，可知：33333×4＝133332．原题说法正确。故答案为：√．【点评】找出算式中各个因数的变化规律是解题的关键．12．（2022•海东市）如图，阴影部分的面积等于空白部分的面积。√【分析】图中阴影三角形的底是长方形的长，高等于长方形的宽，所以阴影三角形的面积等于长方形面积的一半；可知空白部分的面积也等于长方形面积的一半，与阴影三角形的面积相等。据此解答。【解答】解：阴影三角形的底是长方形的长，高等于长方形的宽，所以阴影三角形的面积等于长方形面积的一半；所以阴影部分的面积等于空白部分的面积，都等于长方形面积的一半。原题说法正确。故答案为：√。【点评】解答本题的关键分析出阴影三角形的面积等于长方形面积的一半。13．根据99×96＝9504，999×996＝995004这个规律，可以得出9999×9996＝99950004。√【分析】根据三个算式：99×96＝9504999×996＝9950049999×9996＝99950004，则发现规律：两个因数每增加一个9，则结果相应的前面增加一个9，中间增加一个0；照此规律，依次写出，即可得解。【解答】解：99×96＝9504999×996＝9950049999×9996＝99950004所以题干的说法是正确的。故答案为：√。【点评】认真观察，找出规律是解决此题的关键14．（2022秋•镇巴县期末）图中，每个正方形的面积都相等，阴