2024高考数学一轮复习课时作业21两角和与差的正弦余弦和正切公式理

PAGEPAGE1课时作业21两角和与差的正弦、余弦和正切公式[基础达标]一、选择题1．计算－sin133°cos197°－cos47°cos73°的结果为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)解析：－sin133°cos197°－cos47°cos73°＝－sin47°(－cos17°)－cos47°sin17°＝sin(47°－17°)＝sin30°＝eq\f(1,2).答案：A2．[2024·唐山联考]已知α是第三象限的角，且tanα＝2，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝()A．－eq\f(\r(10),10)B.eq\f(\r(10),10)C．－eq\f(3\r(10),10)D.eq\f(3\r(10),10)解析：因为α是第三象限的角，tanα＝2，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(sinα,cosα)＝tanα，,sin2α＋cos2α＝1，))所以cosα＝－eq\r(\f(1,1＋tan2α))＝－eq\f(\r(5),5)，sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4)＝－eq\f(2\r(5),5)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(3\r(10),10)，选择C.答案：C3．[2024·河北三市联考]若2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝3sin(π－θ)，则tanθ等于()A．－eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(2\r(3),3)D．2eq\r(3)解析：由已知得sinθ＋eq\r(3)cosθ＝3sinθ，即2sinθ＝eq\r(3)cosθ，所以tanθ＝eq\f(\r(3),2).故选B.答案：B4．[2024·福州市高三期末]若2sinx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝1，则cos2x＝()A．－eq\f(8,9)B．－eq\f(7,9)C.eq\f(7,9)D．－eq\f(7,25)解析：因为2sinx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝1，所以3sinx＝1，所以sinx＝eq\f(1,3)，所以cos2x＝1－2sin2x＝eq\f(7,9).故选C.答案：C5．[2024·全国卷Ⅰ]已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝eq\f(2,3)，则|a－b|＝()A.eq\f(1,5)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(2\r(5),5)D．1解析：由cos2α＝eq\f(2,3)，得cos2α－sin2α＝eq\f(2,3)，∴eq\f(cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(2,3)，即eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(2,3)，∴tanα＝±eq\f(\r(5),5)，即eq\f(b－a,2－1)＝±eq\f(\r(5),5)，∴|a－b|＝eq\f(\r(5),5).故选B.答案：B二、填空题6．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝－eq\f(\r(3),3)，则cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝________.解析：cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝cosx＋eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\f(3,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝eq\r(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)))＝－1.答案：－17．[2024·全国卷Ⅱ]已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(5π,4)))＝eq\f(1,5)，则tanα＝________.解析：taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(5π,4)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(tanα－1,1＋tanα)＝eq\f(1,5)，解得tanα＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)8．[2024·洛阳统考]已知sinα＋cosα＝eq\f(\r(5),2)，则cos4α＝________.解析：由sinα＋cosα＝eq\f(\r(5),2)，得sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝eq\f(5,4)，所以sin2α＝eq\f(1,4)，从而cos4α＝1－2sin22α＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＝eq\f(7,8).答案：eq\f(7,8)三、简答题9．[2024·广东六校联考]已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))，x∈R.(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))的值；(2)若cosθ＝eq\f(4,5)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)))的值．解析：(1)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋\f(π,12)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝－eq\f(1,2).(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)＋\f(π,12)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)(sin2θ－cos2θ)．因为cosθ＝eq\f(4,5)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以sinθ＝eq\f(3,5)，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝eq\f(24,25)，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝eq\f(7,25)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)))＝eq\f(\r(2),2)(sin2θ－cos2θ)＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24,25)－\f(7,25)))＝eq\f(17\r(2),50).10．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanα＝eq\f(1,2)，求tan2α和sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))的值．解析：∵tanα＝eq\f(1,2)，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\f(1,2),1－\f(1,4))＝eq\f(4,3).且eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(1,2)，即cosα＝2sinα.又sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1.而α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosα＝eq\f(2\r(5),5).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝sinαcoseq\f(π,4)－cosαsineq\f(π,4)＝eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(2\r(5),5)×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(\r(10),10).[实力挑战]11．已知sinα＋cosα＝eq\f(3\r(5),5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))).(1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解析：(1)由题意得(sinα＋cosα)2＝eq\f(9,5)，即1＋sin2α＝eq\f(9,5)，∴sin2α＝eq\f(4,5).又2α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴cos2α＝eq\r(1－sin22α)＝eq\f(3,5)，∴tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(4,3).(2)∵β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，β－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(4,5)，于是sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(24,25).又sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝－cos2β，∴cos2β＝－eq\f(24,25)，又2β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sin2β＝eq\f(7,25)，又cos2α＝e