2025版高考数学二轮复习压轴大题拉分练4

PAGEPAGE1压轴大题拉分练(04)(满分：24分时间：30分钟)1．(12分)已知M是直线l：x＝－1上的动点，点F的坐标是(1,0)，过M的直线l′与l垂直，并且l′与线段MF的垂直平分线相交于点N．(1)求点N的轨迹C的方程；(2)设曲线C上的动点A关于x轴的对称点为A′，点P的坐标为(2,0)，直线AP与曲线C的另一个交点为B(B与A′不重合)，是否存在一个定点T，使得T，A′，B三点共线？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，|NM|＝|NF|，即曲线C为抛物线，其焦点为F(1,0)，准线方程为l：x＝－1，所以曲线C的方程为y2＝4x．(2)设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,4)，a))，则A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,4)，－a))，直线AP的斜率为kAP＝eq\f(a,\f(a2,4)－2)＝eq\f(4a,a2－8)，直线AB的方程为y＝eq\f(4a,a2－8)(x－2)．由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝\f(4a,a2－8)x－2))得ay2－(a2－8)y－8a＝0．设B(x0，y0)，则ay0＝－8，y0＝－eq\f(8,a)，x0＝eq\f(16,a2)，所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,a2)，－\f(8,a)))，又A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,4)，－a))，所以A′B的方程为y＋a＝－eq\f(4a,8＋a2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a2,4)))．令y＝0，得x＝－2．即直线A′B与x轴交于定点T(－2,0)．因此存在定点T(－2,0)，使得T，A′，B三点共线．2．(12分)已知a∈R，函数f(x)＝ex－ax.(e≈2.71828…是自然对数的底数)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数F(x)＝f(x)－(ex－2ax＋2lnx＋a)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内无零点，求a的最大值．解：(1)∵f(x)＝ex－ax，∴f′(x)＝ex－a，当a≤0时，在f′(x)＞0上R恒成立，f(x)增区间为(－∞，＋∞)，无减区间；当a＞0时，令f′(x)＝0得x＝lna，f(x)的增区间为(lna，＋∞)，减区间为(－∞，lna)．(2)函数F(x)＝f(x)－(ex－2ax＋2lnx＋a)＝ax－2lnx－a，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，∴F′(x)＝a－eq\f(2,x)＝eq\f(ax－2,x)，①当a≤0时，F′(x)＜0在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上恒成立，函数F(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上单调递减，则F(x)＞Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(a,2)－2lneq\f(1,2)－a＝ln4－eq\f(a,2)＞0，∴a≤0时，函数F(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上无零点；②当a＞0时，令F′(x)＝0得，x＝eq\f(2,a)，令F′(x)＞0，得x＞eq\f(2,a)，令F′(x)＜0，得0＜x＜eq\f(2,a)，因此，函数F(x)的单调递增区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，＋∞))，单调递减区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,a)))．(ⅰ)当eq\f(2,a)≥eq\f(1,2)，即0＜a≤4时，函数F(x)的单调递减区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，∴F(x)＞Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(a,2)－2lneq\f(1,2)－a＝ln4－eq\f(a,2)．要使函数F(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内无零点，则ln4－eq\f(a,2)≥0，得a≤4ln2；(ⅱ)当eq\f(2,a)＜eq\f(1,2)，即a＞4时，函数F(x)的单调递减区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,a)))，单调递增区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，\f(1,2)))，∴F(x)min＝Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))＝2－2lneq\f(2,a)－a＝2－ln4＋2lna－a，设g(a)＝2－ln4＋2lna－a，∴g′(a)＝eq\f(2,a)－1＝eq\f(2－a,a)＜0，∴g(a)在(4，＋∞)上单调递减，∴g(a)＜g(4)＝2－ln4＋2ln4－4＝ln4－2＝2(ln2－lne)＜0，而当x→＋∞时，F(x)→＋∞，∴函数F(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\