小升初-跑道专项题

跑道专项题

一、选择题

1.一条单线铁路上有5个车站A，B，C，D，E，它们之间的路线如图所示，两辆货车同时

从A，E两站相对开出，从A站开出的每小时行60千米，从E站开出的每小时行50千米，

由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道，要使对面开来的列车通过，必须在车站停车，

才能让开行车轨道，那么应安排在某个站相遇，才能使停车等候的时间最短，先到这一站的

那一列货车至少需要停车的时间是().

A.10分钟B.11分钟C.12分钟D.15分钟

2.战士小王从地前往地送信，他每走分钟就休息分钟，到达地共需小时分，从

地原路返回的速度是去时的倍，若他每走分钟就休息分钟．从地返回到地共需（）

分钟．

A.B.C.D.

3.小张、小王、小李同时从湖边同一地点出发，绕湖行走，小张速度是每小时千米，小王

速度是每小时千米，他们两人同方向行走，小李与他们反方向行走，半小时后小张与小李

相遇，再过分钟，小李与小王相遇，那么绕湖一周的行程为（）千米．

A.B.C.D.

4.如图是一个长为米的环形跑道，其中为跑道对称轴上的两点，且之间有一条米

长的直线通道．盛盛和东东同时从点处出发，东东按逆时针方向以速度沿跑道跑步，当

跑到点时继续沿原跑道前进；盛盛按顺时针方向以速度沿跑道跑步，当跑到点处时立

即进入直线通道跑回点处．假设两人跑的时间足够长，如果:，那么东东跑了几圈

之后，两人首次在点处相遇？

A.B.C.D.

二、填空题

1.甲、乙两人在环形跑道上跑步，他们的速度均保持不变，如果两人同时同地出发相背而跑，

分钟后两人第一次相遇，已知甲跑一周需分钟，那么乙跑一周需分钟.

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2.一条环形跑道的长是米，小东和小明在跑道上同一点沿相反方向同时出发，小东每秒

跑米，小明每秒跑米，那么，除第一次出发以外，分钟内两人在途中相遇次．

3.一个充气的救生圈（如下图）．大圆半径是厘米，小圆半径是厘米．有两只蚂蚁同时

从、两点出发，以同样的速度分别沿小圆和大圆爬行．小圆上的蚂蚁爬了圈后，正

好与大圆上的蚂蚁第一次同时回到各自的起点处．

4.一条环形跑道的长是米，小东和小明在跑道上同一点沿相反方向同时出发，小东每秒跑

米，小明每秒跑米，那么，除第一次出发以外，两人在中途相遇了次后又相遇在原

出发点．

5.甲、乙两人在米的环形跑道上赛跑，甲每秒跑米，乙每秒跑米，如果甲让乙先跑

秒，则甲出发后第秒后，甲、乙两人第二次相遇．

6.如图，正方形的边长为，蓝精灵和红精灵在这里玩追逐游戏．蓝精灵在点，红

精灵在点，它们俩同时按逆时针方向绕着正方形转圈，蓝精灵的速度为米分钟，

每跑分钟就休息分钟，红精灵的速度为米分钟，每跑分钟就休息分钟．

(1)分钟后蓝精灵和红精灵的距离是米．

(2)经过分钟红精灵追上蓝精灵．

7.环湖健身玄武湖环湖健身步道全长千米，是南京市的一条“网红健身步道”．一天，军

军和爸爸同时从同一个起点出发沿这条环湖健身步道反向慢跑，经过一段时间两人相遇．另

一天，军军和爸爸还从原来的起点出发，速度也和上次保持一样，不过这回两人同向慢跑，

爸爸追上军军所用时间是上次相遇所用时间的倍．爸爸的速度是军军的倍．

8.一条环形跑道长米，强仔和杨绵绵两人同时同地反向出发，第一次相遇时两人的路程

和是米．

9.题图中，外圆的周长为米，阴影部分是个“逗号”．小明和小强分别从，同时出发跑

步．小明从出发，按箭头方向沿“逗号”四周每秒跑米；小强从出发，按顺时针方向沿外

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圆周每秒跑米．当小强第一次追上小明时，小强共跑了米．

10.如图，大圈是米跑道，由到的跑道长是米，直线距离是米。父子俩同时从点

出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿子跑大圈，父亲每跑到点便沿直线跑。父亲每

米用秒，儿子每米用秒。如果他们按这样的速度跑，儿子在跑第圈时，第一次

与父亲相遇。

三、应用题

1.甲、乙两人以匀速绕圆形跑道相向跑步，出发点在圆直径的两端，如果他们同时出发，并

在甲跑完米时第一次相遇，乙跑一圈还差米时两人第二次相遇，求跑道的长度是多少米？

2.小兵和小月一起去操场散步．小兵走一圈要分钟，小月走一圈要分钟．如果两人同时

同地出发，相背而行，多少分钟后两人相遇？

3.一条环形跑道长米，小青每分钟跑米，小兰每分钟跑米，两人同时同地同向出发，

经过多少分钟两人相遇？

4.如图，在一个正方形环形跑道上，甲乙丙三人同时从点出发，逆时针环行．已知，甲、

乙、丙跑一圈的时间分别为、、分钟．

(1)出发后多少分钟后，甲乙丙第一次同时经过点？

(2)出发后多少分钟（分钟数为整数）后，以甲乙丙所在的位置为顶点所组成三角形的面积

第一次恰好为正方形面积的一半？

5.某一运动场的米环型跑道上，小王从点，小李从点同时出发反向而行，分钟后小王

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与小李相遇，再过分钟，小王到达点，又再过分钟，小王与小李再次相遇，问小王与小

李每分钟各走多少米？

6.在一个米的环形跑道上，兄弟两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔

分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，

则两人每隔分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？

7.甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿反方向跑，

每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙速度是甲速度的，

甲跑第二圈时速度比第一圈提高了，乙跑第二圈时速度提高了．已知甲、乙二人第二次

相遇点距第一次相遇点米，问：这条椭圆形跑道长多少米？

8.甲、乙在椭圆形跑道上训练，同时从同一地点出发反向而跑，每人跑完第一圈回到出发点

立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的，甲跑第二圈时速度比第一

圈提高，乙跑第二圈时速度比第一圈提高了，已知甲、乙二人相遇点距第一次相遇点

米，问这条椭圆形跑道长多少米?

9.如图，长方形跑道中，，为边的三等分点，在上且，甲、乙两

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人从点同时出发，反向而行，在点相遇；如果甲的速度提高米秒，而乙的速度降低米

秒，则两人在点相遇；如果甲的速度提高米秒，而乙的速度降低米秒，则两人在点相

遇，求甲、乙两人原来的速度和．

10.如下图所示的三条圆形跑道，每条跑道的长都是千米，、、三位运动员同时从交

点出发，分别沿三条跑道跑步，他们的速度分别是每小时千米，每小时千米，每小时千

米．问：从出发到三人第一次相遇，他们共跑了多少千米？

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跑道专项题

参考答案

1、【答案】B

【解析】安排在D站相遇.A，E总路程两车速度之和4.5(小时)也就是说4.5小时后会相

遇.4.5小时时从E出发的车还没有到D站，还差5千米，而从A出发的车过了D站5千米，

所以A出发的车只能在D站等从E出发的车经过.A在D站等小时时E车还没到D站，

还差5千米，E车再走5千米到达D站，用时小时，此时等待时间短，即:

(分钟)，所以选B.

2、【答案】C

【解析】去的过程中一共花了分钟，说明走路时间一共

是分．回来过程中速度为原来的倍，走路的时间则为原来的，即

分钟，即一共走了次，第次走完之后不用休息，则一共花了

分钟．

3、【答案】C

【解析】圆周上的二次相遇．

方法一：如图，

小王和小张的路程差：（千米）

小王与小李的速度和：（千米/分）

小李的速度：（千米/分）

全程：（千米）

方法二：设小李每小时行千米，由题意得

解得

（千米）．

4、【答案】C

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【解析】设东东跑了圈后，两人首次在点处相遇．再设甲乙两人的速度分别为，

．由题意可得，在处相遇时，他们跑步的时间是，盛盛跑的路程为

．因为盛盛跑通道回到处，所以应为的整数倍，从而得知

的最小值应为．所以东东跑了圈（即米）后，两人首次在点相遇．

5、【答案】

【解析】看成工程问题，我们设总路程为，速度和为，甲速为，乙速为，乙

跑一周用分钟.

6、【答案】

【解析】两人共跑圈米时会相遇一次．

（米），

（次）（米）．

7、【答案】

【解析】由于两只蚂蚁的速度相同，所以大、小圆上的蚂蚁爬一圈的时间的比应该等于圈

长的比．而圈长的比又等于半径的比，即：．

要问两只蚂蚁第一次相遇时小圆上的蚂蚁爬了几圈，就是要找一个最小的时间它是大、小圆

上蚂蚁各自爬行一圈所需时间的整数倍．适当地选取时间单位，使小圆上的蚂蚁爬一圈个

单位的时间，而大圆上的蚂蚁爬一圈用个单位的时间．这样一来，问题就化为和的最

小公倍数的问题了．

和的最小公倍数是，

（圈）

答：小圆上的蚂蚁爬了圈后，再次碰到大圆上的蚂蚁．

8、【答案】

【解析】（秒）（每经过秒两个相遇一次），

（米）（每相遇一次小东比小明多跑米），

（次）（一共相遇次再次在原点相遇），

（次）（中途相遇了次）．

9、【答案】

【解析】赛跑即两人同向而行，属于追及问题，

（秒），故甲出发后第秒后甲、乙两人第二次相遇．

10、【答案】(1)

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(2)

【解析】(1)根据题意，蓝精灵每分钟休息分钟，，

就是分钟内只休息次，（分钟）．

所以蓝精灵跑的距离为（米）．

红精灵每分钟休息分钟，，

就是分钟内只休息次，（分钟）．

所以蓝精灵跑的距离为（米）．

所以蓝精灵和红精灵的距离是（米）．

(2)根据题意，蓝精灵每跑分钟就休息分钟，红精灵每跑分钟就休息分钟，

因为蓝精灵和红精灵相隔距离为米，

所以红精灵追上蓝精灵时，红精灵比蓝精灵多跑了米.

所以红精灵跑米花费分钟，米花费分钟，米花费分钟，米花费

分钟，米花费分钟

蓝精灵跑米花费分钟，米花费分钟，米花费分钟，米花费分

钟，所以在第分钟时，红精灵在休息，蓝精灵休息结束时，红精灵刚好追上蓝精灵，在

点相遇.

答：分钟．

11、【答案】

【解析】爸爸追上军军所用时间是相遇所用时间的倍，那么速度和是速度差的倍，

，所以．

12、【答案】

【解析】略

13、【答案】

【解析】两人初始相距米，追米需要（秒），此时小明在圆内的弧线上，

小强在外圆周上，两人遇不到．此时，小强需要再追米才能追上．（秒），

这时小强能在外圆周追上小明．因此小强一共跑了（米）．

14、【答案】3

【解析】父亲和儿子只能在由沿逆时针方向到这一段跑道上相遇，儿子比父亲跑得快，

相遇时为儿子追上父亲。

儿子跑一圈用时，即儿子每过秒到达点一次。

同理，父亲跑一圈用时，即每过秒到达点一次。

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在从到逆时针方向的一段跑道上，儿子要跑，父亲要跑

。因此，只要在父亲到达点后的秒之内，儿子也到达点，儿子就能

从后面追上父亲。

①儿子跑完一圈回到点，用时，此时父亲已经离开点，所以儿子无法追上

父亲；

②儿子跑完两圈回到点，用时，此时父亲离开点，儿子刚好

能追上父亲。

因为儿子之前已经跑完圈，所以是正在跑第圈时，第一次与父亲相遇。

15、【答案】．

【解析】方法一：到第二次相遇,甲一共跑了米,即跑道长米.

方法二：从开始出发到第一次相遇，两人合走半圈，其中甲跑了米；从开始出发到第二次

相遇，两人合走一圈半，路程是第一次相遇时的倍，因此甲跑了（米），相当

于半圈多了米，因此半圈的长度为（米），一圈的长度为（米）．

方法三：注意分析：

①两人起跑到第一次相遇一共跑了半圈，到第二次相遇又一起跑了一圈，因此“第一次相遇

到第二次相遇”的时间是“开始跑到第一次相遇”的时间的二倍．俩人跑的总时间为．

②两人跑的路程：先跑了半圈，后来又跑了圈，共圈；乙跑的路程圈米；则甲跑的

路程：圈米．

设俩人一起跑了半圈的时间为（即到第一次相遇俩人跑的时间），跑道长为．

所以有：甲的速度：

乙的速度：

方法一：根据前面的分析，利用甲列方程：

解得：

方法二：同理利用乙列方程，有：

解得

不用方程的话：（米）．

式子的意义：甲跑的总路程(，俩人能够跑了三个半圈，所以甲跑了个)除去乙少跑

的米剩下的刚好为半圈的路程，因此有上式．

16、【答案】分钟．

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【解析】

（分钟）．

答：相背而行，分钟后两人相遇．

17、【答案】分钟.

【解析】小青每分钟比小兰多跑米一圈是米，（分钟），所以跑分钟．

18、【答案】(1)．

(2)．

【解析】(1)分钟．

(2)引理：长方形的内接三角形面积不超过此长方形面积的一半，等号成立的条件是三角形

某两个顶点恰在长方形的两个相邻顶点处，第三个顶点在长方形的对边上．证明如下：

①若此三角形只有个顶点在长方形顶点上，适当割补图形，能证明面积必然小于一半；

②若此三角形有某两点在同一条边上，易见面积不超过一半，且等号成立条件恰如上述条

件：

③若此三角形的个顶点分属长方形的三条边，则可转化成情形①，面积一定小于一半；

④若此三角形某有两个顶点恰在长方形的两个对顶点上，而此三角形的第个顶点不在长方

形顶点处，也易见面积小于一半；

⑤若此三角形某有两个顶点恰在长方形的两个相邻顶点处，则第个顶点若不在对边上，则

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面积小于一半；若在对边上（含顶点处）则面积等于一半；

综合以上几种情况，引理得证．下面求解原题．

根据引理的等号成立条件，可知甲、乙、丙必须有某两人站在相邻的顶点处，第三人在对边

上时，才能满足“三角形面积恰为正方形一半”这个条件．甲、乙、丙的速度比为

，下面以甲乙、乙丙、甲丙站在相邻顶点的时刻来分类讨论：

寻找甲乙站在相邻顶点处的时刻：由于甲乙速度比为，故甲跑个边长时，乙必然跑了

个边长，两人之间的路程差距是个边长，但，故知甲站在顶点处时，

乙要么站在顶点处，要么和甲站在同一位置，故知不可能有甲乙站在相邻顶点处的时刻．

寻找乙丙站在相邻顶点处的时刻：由于乙丙速度比为，故乙跑个边长时，丙必然跑了

个边长，两人之间的路程差距是个边长，解同余方程，得，，，

当乙跑个边长在点，丙跑个边长在点时，甲跑了个边长在上，不符引理要求；

当乙跑个边长在点，丙跑个边长在点时，甲跑了个边长在点上，不符引理要求；

当乙跑个边长在点，丙跑个边长在点时，甲跑了个边长在上，符合引理要求，

用时（分钟）．

寻找甲丙站在相邻顶点处的时刻：由于甲丙速度比为，故甲跑个边长时，丙必然跑了

个边长，两人之间的路程差距是个边长，解同余方程，得，，，

当甲跑个边长在点，丙跑个边长在点时，乙跑了个边长在上，不符引理要求；

当甲跑个边长在点，丙跑个边长在点时，乙跑了个边长在上，符合引理要求，

用时（分钟）．

综上，由于，故第一次符合条件的时刻是在分钟之后．

19、【答案】小王：米/分小李：米/分

【解析】根据题意：小王与小李的速度比是，设小王的速度是米/分，

小李的速度是米/分，根据题意可得方程：

，解得，

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所以小王的速度是：（米/分），

小李的速度是：（米/分）．

答：小王的速度是米/分，小李的速度是米/分．

20、【答案】分钟、分钟

【解析】，表示哥哥、弟弟的速度差；

，表示哥哥、弟弟的速度和；

，表示较快的速度；

，表示较慢的速度；

（分钟），表示跑得快者用的时间；

（分钟），表示跑得慢者用的时间．

21、【答案】米．

【解析】

设：，，小时，，

，（甲跑第二圈速度）

，（乙跑第二圈速度）

（小时），

，（当乙跑到出发点时甲已返回小时，行份路程）

（小时），（乙返回行小时与甲第二次相遇）