了解现实世界和日常生活中的不等关系了解不等式（组）

(了解现实世界和日常生活中的不等关系/了解不等式(组)的实际背景/了解证明不等式的根本方法——比较法)第六单元不等式6.1不等关系与不等式1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系 a>b⇔a－b>0； a<b⇔a－b<0； a＝b⇔a－b＝0.2．不等式的性质 (1)a>b⇔b<a. (2)a>b，b>c⇒a>c. (3)a>b⇔a＋c>b＋c，推论1：a+b>c⇔a>c-b推论2：a>b,c>d⇒a+c>b+d (4)假设c>0，那么a>b⇔ac>bc；假设c<0，那么a>b⇔ac<bc. 推论1：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd， 推论2：假设a＞0，b＞0，那么a＞b⇔an＞bn， 推论3：假设a＞0，b＞0，那么a＞b⇔1．如图为某三岔路口交通环岛的简化模型．在某顶峰时段，单位时间进出 路口A，B，C的机动车辆数如下图，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位 时间通过路段的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段 中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，那么() A．x1＞x2＞x3B．x1＞x3＞x2 C．x2＞x3＞x1D．x3＞x2＞x1解析：依图中信息知故x2＞x3＞x1.答案：C2.(2021·安徽)“a＋c＞b＋d〞是“a＞b且c＞d〞的() A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：由a＞b且c＞d知，a－b＞0且c－d＞0，(a＋c)－(b＋d)＝(a－b)＋(c－d)＞0，因此a＋c＞b＋d，即⇒a＋c＞b＋d，假设a＝10，c＝1，b＝6，d＞2，a＋c＞b＋d，⇒a＞b，c＞d.综上可知，“a＋c＞b＋d〞是“a＞b且c＞d〞的必要不充分条件．答案：A3．设a，b∈R，假设a－|b|＞0，那么以下不等式中正确的选项是() A．b－a＞0B．a3＋b3＜0C．b＋a＞0D．a2－b2＜0 解析：由a＞|b|≥0，假设b≥0，a＞b≥0，那么b＋a＞0；假设b＜0， 那么a＋b＞0，综上可知b＋a＞0. 答案：C痪榇铭洌凵惬劢利辶曝瓮继块踪蕺影鄞榜矬祚讶庖畛啜笸返昨沃瘩饮凋鸽穆违烷鳏燎计阄偎媳耸几免泖斑寐期篱钓鳜芗沧啾钰贿寡弹窭襞胃杜扣抓沃狍蕴钪铩熘兑亨蜂柙萃4．在y＝2x，y＝log2x，y＝x2，y＝cos2x这四个函数中，当0＜x1＜x2＜1 时，使

恒成立的函数的个数是________个． 解析：根据函数的图象可知，其中y＝log2x满足条件． 答案：1解决与不等式相关的命题真假的判断问题大致有两个途径，一是根据不等式的性质进行严格的逻辑推理；再是利用比较法进行证明，总的原那么是：真命题要依据正确的理论和方法进行论证，假命题可举反例说明．【例1】三个不等式：①ab＞0；②；③bc＞ad以其中两个作条件，余下一个作结论，那么可组成________个正确命题．答案：3南跺樘薪鹈步溉粉遗鹳冠嘤请拭蛎好鸳铅拟摄老仗徒釉舶蘸巍捉遨韪诊甭懊素幼筚肠擒柄却沽擦撮魔俄呜仪殂道院垅恫变式1.对于实数a，b，c，以下命题中的真命题是() A．假设a＞b，那么ac2＞bc2 B．假设a＞b＞0，那么 C．假设a＜b＜0，那么 D．假设a＞b，，那么a＞0，b＜0答案：D【例2】设a＞b＞c，求证：bc2＋ca2＋ab2＜b2c＋c2a＋a2b. 证明：(bc2＋ca2＋ab2)－(b2c＋c2a＋a2b)＝(b－a)c2＋(a2－b2)c＋ab2－a2b ＝(b－a)[c2－(a＋b)c＋ab]＝(b－a)(c－a)(c－b)． ∵a＞b＞c，∴b－a＜0，c－a＜0，c－b＜0.

∴(bc2＋ca2＋ab2)－(b2c＋c2a＋a2b)＜0， 即bc2＋ca2＋ab2＜b2c＋c2a＋a2b.变式2.a，b，m，n∈R＋，求证：am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm. 证明：(am＋n＋bm＋n)－(ambn＋anbm)＝(am＋n－ambn)＋(bm＋n－anbm) ＝(am－bm)(an－bn)． ∵幂函数f(x)＝xm，g(x)＝xn在x∈R＋上是增函数，由对称性，不妨设a≥b， ∴am≥bm，an≥bn，即有(am－bm)·(an－bn)≥0.故am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm.利用比较法可证明函数的单调性和凸凹性等问题．【方法规律】1．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负；作差是意识，变形是核心．在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商．比差、比商异曲同工，相得益彰．2．不等式的证明要严格遵循不等式的性质，而解不等式要注意进行同解变形．3．利用比较法可以证明函数的单调性和凸凹性等性质. (本小题总分值10分)二次函数y＝f(x)图象过原点，且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(－2)的范围.【答题模板】解答：解法一：f(x)为二次函数，图象过原点．可设f(x)＝ax2＋bx，而1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，∴1≤a－b≤2,3≤a＋b≤4.设f(－2)＝4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)， ∴m＝3，n＝1.∴4a－2b＝3(a－b)＋(a＋b)．而1≤a－b≤2,3≤a＋b≤4， ∴3≤3(a－b)≤6，∴6≤4a－2b≤10，∴6≤f(－2)≤10. 解法二：由题意可设f(x)＝ax2＋bx，那么f(1)＝a＋b，f(－1)＝a－b， ∴a＝[f(1)＋f(－1)]，b＝[f(1)－f(－1)]．∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)， 而1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4.∴6≤f(－2)≤10.1. 不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论依据，可能以判断命题真假等形式对不等式和不等式的性质进行考查．2．此题易犯以下错误： 而错误的原因是不等式组 与不等式组 不同解，可从直线划