高级计量经济分析及Stata应用 课件 第10章 联立方程模型

第10章联立方程模型上海师范大学商学院联立方程模型授课大纲10.1联立方程模型概述10.2联立方程模型的识别10.3多元回归10.4似不相关回归10.5三阶段最小二乘法10.6系统广义矩估计10.7全息最大似然估计法10.8非线性似不相关估计2025/4/14310.1联立方程模型概述

变量与随机项之间相互联系的多个计量经济方程联立，并同时做计量经济分析的方程组，就是联立方程模型。M个方程组成的联立方程模型的结构式表达式为：2025/4/144（10.1）10.1.2联立方程模型的公式式中，为内生变量；为外生变量；其第一个下标为第t个观测值()，第二个下标表示第i个内生变量（）,或第j个外生变量（）。为内生变量的系数；为外生变量的系数。为结构方程的扰动项。完整的方差系统中内生变量个数等于方程个数M。

2025/4/14510.1联立方程模型概述联立方程模型的矩阵表达式为：（10.2）用矩阵表示为：（10.3）10.1联立方程模型概述其中，系数矩阵与的每一列对应一个方程，如第一个方程为：（10.4）扰动项由第t期各方程的扰动项组成，假设扰动项满足经典假设。记其协方差矩阵为：10.1联立方程模型概述（10.5）为求解联立方程组(10.3)，把联立方程模型整理为：（10.6）假设非退化，在上式两边同时右乘，（10.7）（10.8）10.1联立方程模型概述方程(10.8)称为联立方程模型的简化式，其系数矩阵为，其扰动项为，故。简化式扰动项与外生变量不相关，因为：（10.9）简化式扰动项的协方差矩阵为（10.10）10.2联立方程模型的识别10.2.1联立方程模型识别10.2.2结构式识别条件10.2.3

简化式识别条件2025/4/141010.2.1联立方程模型的识别的概念

判别联立方程模型是否可以估计，就是联立方程模型的识别。即从已知简化式确定起结构式方程的系数问题就是联立方程系统的识别问题。（1）如果从联立方程系统的简化式形式，能够估计出所有的结构式参数，则称该联立方程模型是可以识别的。

（2）如果无法从简化式形式得到结构式方程参数的估计值，这个联立方程模型就是不可识别的。2025/4/141110.2.1联立方程模型的识别的概念

（3）方程中每个需要估计参数的随机方程都存在识别问题，如果一个模型中所有的随机方程都可以识别的，则认为联立方程系统是可以识别的。反过来，只要存在一个不可识别的随机方程，则联立方程系统是不可识别的。（4）当某一个随机方程在给定有关变量的样本观测值时，其参数具有确定的估计值。一种情况是只有唯一一组参数估计值，此时称这个方程为恰好识别；另外一种是具有多种参数估计值，则称为过度识别。2025/4/141210.2.2结构式识别条件

假设联立方程模型的结构式为：。第i个方程包含个内生变量（含被解释变量）和先决变量（含常数项），系统中的内生变量和先决变量的数目为k和g。矩阵表示第i个方程中未包含的变量（包括内生变量和先决变量）在其他k-1个方程中对应的系数所组成的矩阵，则判断第i个结构方程识别状态的结构式识别条件为：

1.如果，则第i个结构方程不可识别；注：矩阵的秩是线性代数中的一个基本概念，它描述了矩阵中行向量或列向量的最大线性无关组中向量的个数。矩阵的秩可以用来判断矩阵是否可逆，以及线性方程组是否有解、解的个数等。2025/4/141310.2.2结构式识别条件

2.如果，则第i个结构方程可以识别，并且：（1）如果，则第i个结构方程恰好识别，即秩条件；（2）如果，则第i个结构方程过度识别，为阶条件。2025/4/141410.2.3简化式识别条件

2025/4/1415对于简化式模型，识别条件为：1.如果，则第i结构方程不可识别；2.如果，则第i结构方程可以识别，并且：（1）如果，则第i个结构方程恰好识别，即秩条件；（2）如果，则第i个结构方程过度识别，为阶条件。10.3多元回归10.3.1联立方程模型估计的分类10.3.2联立方程模型估计参数的表达式10.3.3多元回归的stata命令2025/4/141610.3.1联立方程模型估计的分类

2025/4/1417联立方程模型的估计方法可以分为两类。【1】单一方程估计法，也称作有限信息估计法；该方法对联立方程组中的每一个方程分别进行估计。【2】系统估计法，也称作全信息估计法，该方法把联立方程模型的多个方程作为一个系统进行联合估计。

其中，单一方程估计法又包括：普通最小二乘法、间接最小二乘法、两阶段最小二乘法、广义矩估计法、有限信息最大似然估计法等，具体如下：10.3.1联立方程模型估计的分类

2025/4/1418（1）普通最小二乘法由于存在内生解释变量，一般来说OLS是不一致的。但是对于特殊的递归模型，即为下三角矩阵，而协方差矩阵为对角矩阵，即不同方程之间的扰动项不相关的情形，OLS依然是一致估计的。（2）间接最小二乘法在恰好识别的情况下，可以先用OLS来一致地估计简化式参数，然后通过结构式参数与简化式参数的恒等关系，求解结构式参数。这种方法就是间接最小二乘法（ILS）。其估计结果是一致的，但不是最有效的。10.3.1联立方程模型估计的分类

2025/4/1419（3）两阶段最小二乘法

在结构方程可识别的情况下，其排斥的外生变量个数大于或等于包含的内生解释变量个数。而所有排斥的外生变量都是有效工具变量，所以可以用工具变量法估计。如果结构方程的扰动项满足同方差、无自相关的经典假设，则两阶段最小二乘法（2SLS）是最有效率的工具变量法。也是最常用的单一方程估计法。（4）广义矩估计法在过度识别的情况下，如果结构方程的扰动项存在异方差或者自相关，则广义矩估计法比两阶段最小二乘法更有效。在恰好识别的情况下，二者等价。10.3.1联立方程模型估计的分类

2025/4/1420（5）有限信息最大似然估计法如果假定结构方程的扰动项服从正态分布，就可以使用最大似然估计法对单一方程进行估计。这种方法称之为有限信息最大似然估计法（LIML）。在大样本情况下，LIML与2SLS是渐进等价的。但是小样本性质不如2SLS。然而如果存在弱工具变量，则LIML比2SLS更稳健。10.3.2联立方程模型估计参数的表达式

2025/4/1421对于q个方程和p个外生变量（包括常数项）的联立方程模型，参数估计值用p×q矩阵表示为：(10.11)式中，为内生变量的n×q维矩阵；为外生变量的n×q维矩阵；W为权重矩阵，可以设定为W=I，或，或

。

10.3.2联立方程模型估计参数的表达式

2025/4/1422（1）残差协方差矩阵为：

(10.12)估计值的协方差估计值为。（2）拉格朗日乘数检验统计量，即卡方检验统计量及其分布为：

(10.13)式中，r是方程残差之间的相关系数估计值；n是观察值数。10.3.3多元回归的stata命令

2025/4/1423mvreg—Multivariateregression：（1）多元回归估计的实现函数及语法规则为：mvregdepvars=indepvars[if][in][weight][,options]mvreg适用于具有相同自变量的多个因变量的多元回归模型。（2）菜单操作：Statistics>Multivariateanalysis>MANOVA,multivariateregression,andrelated>Multivariateregression

10.3.3多元回归的stata命令

2025/4/1424例10.1利用汽车数据auto.dta，我们将空间变量（净空、行李箱和转弯）的多元回归拟合为一组其他变量，包括三个性能变量（排量、传动比和mpg）。实现程序与结果为：*下载数据.clearall.sysuseauto*拟合多元回归模型.mvregheadroomtrunkturn=pricempgdisplgear_ratiolengthweight

10.3.3多元回归的stata命令

2025/4/142510.3.3多元回归的stata命令

2025/4/1426*重现结果，抑制标题和系数表，但报告相关矩阵

.mvreg,notablenoheadercorr

*检验三个变量在三个方程中的显著性

.testmpgdisplacementgear_ratio

10.3.3多元回归的stata命令

2025/4/1427**三个方程的联合显著性检验

.test[headroom]

.test[trunk],accum

10.3.3多元回归的stata命令

2025/4/1428.test[turn],accum

10.4似不相关回归

2025/4/142910.4.1似不相关回归的概念10.4.2似不相关回归的形式10.4.3似不相关回归的估计10.4.4似不相关回归的检验10.4.5似不相关回归的stata命令

10.4.1似不相关回归的概念

各方程的变量之间没有内在联系，但各方程的扰动项之间存在相关性，就是似不相关回归（SUR）。2025/4/143010.4.2似不相关回归的形式

假设n个方程，n个被解释变量，每个方程有T（）个观测值，在第i个方程中，共有个解释变量，则似不相关回归模型设定为：2025/4/1431(10.14)把所有方程联立可得：10.4.2似不相关回归的形式

2025/4/1432(10.15)扰动项的协差矩阵为：10.4.2似不相关回归的形式

2025/4/1433(10.16)扰动项的协差矩阵为：10.4.2似不相关回归的形式

2025/4/1434(10.17)假设同一方程不同期的扰动项不存在自相关，且方差也相同，记第i个方程的方差为，则协方差矩阵中的主对角线上的第（i,i）个矩阵为：假设不同方程的扰动项之间存在同期相关，即：(10.18)10.4.2似不相关回归的形式

2025/4/1435(10.19)则协方差矩阵中的第（i,j）个矩阵（）为：则协方差矩阵为：(10.20)10.4.2似不相关回归的形式

2025/4/1436对于任意两个矩阵与B，克罗内克尔乘积为：。使用克罗内克尔乘积，协方差矩阵可以简化为：(10.21)10.4.2似不相关回归的形式

2025/4/1437其中，

为同期协方差矩阵。根据克罗内克尔乘积的性质，协方差矩阵的逆矩阵为：

(10.22)10.4.3似不相关回归的估计

2025/4/1438假设协方差矩阵已知，则GLS是最有效的估计方法：

(10.23)协方差矩阵未知时，首先要估计，然后进行FGLS估计。

假设每个方程的OLS残差向量为，则用单一方程OLS残差一致估计的第（i,j）个残差之间的协方差为：(10.24)10.4.3似不相关回归的估计

2025/4/1439因此有：把代入方程(10.23)可得似不相关估计量：(10.25)使用FGLS后得到新的残差，可以再一次计算，不断迭代直至系数估计值收敛为止。10.4.4似不相关回归的检验

2025/4/1440SUR模型假设：各方程扰动项之间存在同期相关。因此使用SUR模型之前先用验证该假设是否成立。该检验的原假设H0为：为对角矩阵。LM检验统计量为：(10.26)其中，根据残差计算的扰动项之间的同期相关系数，则为同期相关系数矩阵主对角线以下各项的平方和。10.4.5似不相关回归的stata命令

2025/4/1441sureg拟合了看似无关的回归模型（Zellner1962；ZellnerandHuang1962；Zellner1963）。首字母缩略词SURE和SUR通常用于估算。其语法为：（1）基本语法：sureg(depvar1varlist1)(depvar2varlist2)...(depvarNvarlistN)[if][in][weight]（2）完整语法：sureg([eqname1:]depvar1a[depvar1b...=]varlist1[,noconstant])([eqname2:]depvar2a[depvar2b...=]varlist2[,noconstant])...([eqnameN:]depvarNa[depvarNb...=]varlistN[,noconstant])[if][in][weight][,options]10.4.5似不相关回归的stata命令

2025/4/1442模型设定选项（options）有：isure：迭代直到估计值收敛；constraints(constraints)：应用指定的线性约束。dfadj.的选项有：small：小报告小样本统计；dfk：使用小样本调整；dfk2：使用交替调整。（3）菜单操作：Statistics>Linearmodelsandrelated>Multiple-equationmodels>Seeminglyunrelatedregression10.4.5似不相关回归的stata命令

2025/4/1443例10.2当我们用同一组右侧变量拟合模型时，看似不相关的回归结果（就系数和标准误差而言）与单独拟合模型（比如使用回归）相同。嵌套模型时也是如此。即使在这种情况下，当我们想要执行联合测试时，sureg也是有用的。

例如，假设

由于模型具有相同的解释变量集，我们可以分别估计这两个方程。然而，我们仍然可以选择使用sureg对其进行评估，因为我们希望执行联合测试。

10.4.5似不相关回归的stata命令

2025/4/1444*使用速记语法（DatasetsforStataBaseReferenceManual,Release18）.sureg(priceforeignweightlength)(mpgdispl=foreignweight)结果略。*使用全局宏

.globalprice(priceforeignweightlength).globalmpg(mpgforeignweight).globaldispl(displforeignweight).sureg$price$mpg$displ结果略。

10.4.5似不相关回归的stata命令

2025/4/1445

*有限制的似不相关回归sureg.constraint1[price]foreign=[mpg]foreign.constraint2[price]foreign=[displacement]foreign.sureg(priceforeignlength)(mpgdisplacement=foreignweight),const(12)10.4.5似不相关回归的stata命令

2025/4/144610.5三阶段最小二乘法2025/4/144710.5.1三阶段最小二乘法基本思路10.5.2三阶段最小二乘法的估计过程10.5.3三阶段最小二乘法的stata命令

10.5.1三阶段最小二乘法基本思路2025/4/1448当方程右边变量与误差项相关并且存在异方差，同时残差项相关时，3LSL是有效方法。因为二阶段最小二乘法是单方程估计方法，没有考虑到残差之间的协方差，所以，一般说来，它不是很有效。

三阶段最小二乘法的基本思路是：先用2SLS估计每个方程，然后再对整个联立方程系统利用广义最小二乘法估计。

（1）在第一阶段，先估计联立方程系统的简化形式。10.5.1三阶段最小二乘法基本思路2025/4/1449（2）第二阶段，用全部内生变量的拟合值得到联立方程系统中所有方程的2SLS估计。一旦计算出2SLS的参数，每个方程的残差值就可以用来估计方程之间的方差和协方差，类似于SUR的估计过程。（3）第三阶段也就是最后阶段，将得到广义最小二乘法的参数估计量。很显然，3SLS能得到比2SLS更有效的参数估计量，因为它考虑了方程之间的相关关系。10.5.2三阶段最小二乘法的估计过程2025/4/1450联立方程模型的第j个方程为：(10.27)其中，；。把所有方程联立叠加可得联立方程模型为：10.5.2三阶段最小二乘法的估计过程2025/4/1451(10.28)假设，记为第j个方程的解释变量对所有外生变量（工具变量）回归的拟合值，则第j个方程的两阶段最小二乘法估计值为：10.5.2三阶段最小二乘法的估计过程2025/4/1452(10.29)定义，则所有方程的单一方程2SLS估计值为：(10.30)10.5.2三阶段最小二乘法的估计过程2025/4/1453(10.31)利用单一方程2SLS估计得到的协方差矩阵估计值的元素为：(10.32)定义3SLS估计值为：对于3SLS，也可以进行迭代优化，即用3SLS残差重新估计协方差矩阵，再使用GLS，如此反复，直至收敛。10.5.3三阶段最小二乘法估计的stata命令2025/4/1454三阶段最小二乘法实现的reg3命令的基本语法：

reg3(depvar1varlist1)(depvar2varlist2)...(depvarNvarlistN)[if][in][weight]1、完整语法：

reg3([eqname1:]depvar1a[depvar1b...=]varlist1[,noconstant])([eqname2:]depvar2a[depvar2b...=]varlist2[,noconstant])...([eqnameN:]depvarNa[depvarNb...=]varlistN[,noconstant])[if][in][weight][,options]10.5.3三阶段最小二乘法估计的stata命令2025/4/1455（1）模型设定选项（options）有：ireg3：迭代直到估计值收敛；constraints(constraints)：应用指定的线性约束；exog（varlist）：系统方程中未指定的外生变量；endog（varlist）：额外的右侧内生变量；inst（varlist）：外部变量的完整列表；allexog：所有右边的变量都是外生的；noconstant：从变量列表中压缩常数。10.5.3三阶段最小二乘法估计的stata命令2025/4/1456（2）估计方法选项（options）有：3sls：三阶段最小二乘法（默认值）；2sls：两阶段最小二乘法；ols：普通最小二乘法（ols）；sure：确定看似无关的回归估计（确定）；mvreg：带OLS自由度调整的sure；corr(correlation)：非结构化或独立的相关性结构；默认值是非结构化的。10.5.3三阶段最小二乘法估计的stata命令2025/4/14572、菜单操作为：

Statistics>Endogenouscovariates>Three-stageleastsquaresreg3估计一个结构方程组，其中一些方程包含解释变量中的内生变量。通过三阶段最小二乘法（3SLS）进行估计；通常，内生的解释变量是系统中其他方程的因变量。reg3支持迭代GLS估计和线性约束。reg3还可以通过看似无关的回归估计（SERE）、多元回归（MVREG）和逐方程普通最小二乘法（OLS）或两阶段最小二乘法（2SLS）来估计方程组。10.5.3三阶段最小二乘法估计的stata命令2025/4/1458例10.3三阶段最小二乘法

一个简单的宏观经济模型将消费（consump）与支付的私人和政府工资（wagepriv和wagegovt）联系起来。同时，私人工资取决于消费、政府总支出（政府）和经济中滞后的资本存量（资本1）。虽然这不是一个合理的模型，但它确实符合简单的标准。这个模型可以写成

10.5.3三阶段最小二乘法估计的stata命令2025/4/1459如果我们假设这是一个完整的系统，那么消费和工资将是内生变量，而工资、政府和资本是外生的。关于这些变量的美国经济数据取自克莱因（1950）。这个模型用三阶段最小二乘法拟合估计参数的实现代码即结果为：*下载数据.clearall.webuseklein*三阶段最小二乘估计系统.reg3(consumpwageprivwagegovt)(wageprivconsumpgovtcapital1)10.5.3三阶段最小二乘法估计的stata命令2025/4/146010.5.3三阶段最小二乘法估计的stata命令2025/4/1461*单方程OLS估计

.reg3(consumpwageprivwagegovt)(wageprivconsumpgovtcapital1),ols.estimatesstoreOLS*单方程2SLS估计

.reg3(consumpwageprivwagegovt)(wageprivconsumpgovtcapital1),2sls.estimatesstoreTWO_SLS*显示3SLS第一阶段结果

.reg3(consumpwageprivwagegovt)(wageprivconsumpgovtcapital1),first.estimatesstoreThree_SLS*迭代3SLS估计

.reg3(consumpwageprivwagegovt)(wageprivconsumpgovtcapital1),ireg3.estimatesstoreThree_SLS_iter*为便于比较，列表显示四个结果

.esttabOLSTWO_SLSThree_SLSThree_SLS_iter,r2mtitles10.5.3三阶段最小二乘法估计的stata命令2025/4/146210.6系统广义矩估计2025/4/1463GMM估计基于假设方程组中的扰动项和一组工具变量不相关。

GMM估计是将准则函数定义为工具变量与扰动项的相关函数，使其最小化得到的参数为估计值。如果在准则函数中选取适当的权数矩阵，广义矩法可用于解决方程间存在异方差和未知分布的残差相关。广义矩估计法的基本思想是待估计的参数需要满足一系列的理论矩条件，广义矩估计量是通过最小化下面的准则函数来定义的：

(10.33)10.7全息最大似然估计法2025/4/1464完全信息极大似然法(fullinformationmaximumlikelihood，FIML)是极大似然法（ML）的直接推广，是基于整个系统的系统估计方法，它能够同时处理所有的方程和所有的参数。如果似然函数能准确的设定，FIML会根据已经得到样本观测值，使整个联立方程系统的似然函数达到最大，以得到所有结构参数的估计量。

当同期误差项具有一个联合正态分布时，利用此方法求得的估计量是所有的估计量中最有效的。10.7全息最大似然估计法2025/4/1465对于联立方程系统，假设u服从零均值，方差矩阵为V=

IT的多元正态分布。则可以写出Y的对数似然函数为:其中：B是内生变量的k

k

阶结构参数矩阵。对上面的极大似然函数进行求解，就可以得到结构参数的FIML估计量。但是这个非线性方程系统求解非常复杂，需要采用牛顿迭代方法或阻尼迭代方法等。(10.34)10.8非线性似不相关回归2025/4/1466非线性似不相关回归(nlsur)通过FGNLS拟合非线性方程组。对于个观测值和个方程，非线性联立方程模型为：(10.35)10.8非线性似不相关回归2025/4/1467式中，为第i观测值的误差项，误差项可以相关。其第i个观测的联立方程系统为：其广义非线性最小二乘系统估计值为：式中，是维的正定权重矩阵。(10.36)(10.37)10.8非线性似不相关回归2025/4/1468如果假设误差项独立，且服从多元正态分布，则非线性联立方程模型的对数似然函数为：式中，,。(10.38)10.8非线性似不相关回归2025/4/1469非线性方程组的估计命令及语法为（1）交互式版本语法：

nlsur(depvar_1=<sexp_1>)(depvar_2=<sexp_2>)...[if][in][weight][,options]（2）可编程替代表达式版本语法：

nlsursexp_prog:depvar_1depvar_2...[varlist][if][in][weight][,options]（3）函数计算器程序版本：nlsurfunc_prog@depvar_1depvar_2...[varlist][if][in][weight],nequations(#){parameters(namelist)|nparameters(#)}[options]其中，depvar_j是方程j的因变量；<sexp>j是方程式j的可替代表达式；sexp_prog是一个可替代的表达程序；和func_prog是一个函数计算器程序。10.8非线性似不相关回归2025/4/1470模型设定选项（options）有：fgnls：使用两步FGNLS估计法（默认值）；ifgnls：使用迭代FGNLS估计法；nls：使用nls估计法；variables(varlist)：模型中的变量initial(initial_values)：参数的初始值*nequations(#)：模型中方程的数量（仅限函数计算器程序版本）*parameters(namelist)：模型中的参数（仅限functionevaluator程序版本）*nparameters(#)：模型中的参数数量（仅限functionevaluator程序版本）sexp_options：可替换表达式程序的选项func_options：函